CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO: O PENSAMENTO
VARIACIONAL E A ALFABETIZAÇÃO FUNCIONAL
Ingo Valter Schreiner
UNIVATES – Centro Universitário-Lajeado, RS
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INTRODUÇÃO
Este minicurso é baseado numa investigação na minha sala de aula do Ensino
Médio e do Ensino Superior. Destina-se a professores e licenciandos de Matemática e
de Física que estão interessados em discutir e compreender os obstáculos que os alunos
enfrentam no estudo das funções. As atividades que serão desenvolvidas durante o
minicurso, podem ser realizadas com a necessária adequação no Ensino Médio e
Superior e servirão para enfocar estes obstáculos à aprendizagem e oportunizar um
debate sobre estratégias que poderão ser tomadas em sala de aula para superá-los.
JUSTIFICATIVA
No meu trabalho docente como professor de Física e Matemática preocupavame sempre com a aprendizagem dos meus alunos. Muitas vezes esta não era aquela que
eu esperava deles. Este fato inquietava-me e motivava-me a replanejar constantemente a
seleção dos conteúdos, as atividades didáticas e a avaliação do meu trabalho com os
alunos.
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Através do meu colega e professor de Física João Batista S. Harres e do
professor Rafael Porlán Ariza de Sevilha, Espanha, tomei conhecimento de trabalhos de
investigação na escola. Isso motivou-me a investigar melhor o meu trabalho escolar.
Optei pela construção do conceito de função: queria saber por que os alunos aprendem
ou não aprendem funções, como desenvolvem o pensamento variacional, quando e
como constroem conceitos como variável, dependência, taxa de variação e limite; queria
investigar de que maneira situações do cotidiano contribuem para a construção da
concepção de função. Observava que os estudantes universitários que já estudaram
funções no Ensino Médio não possuem uma boa concepção de função. Esta deficiência
não lhes permite entender as relações entre variáveis, interpretar gráficos, compreender
derivadas e integrais e usar a matemática como ferramenta.
Para compreender esta problemática faço as seguintes considerações:
a) Analisando os livros didáticos de Matemática do Ensino Médio, notamos
que eles apresentam e definem o conceito de função a partir do conceito de relação entre
dois conjuntos, uma
relação que obedece a algumas características especiais. Esta
relação não caracteriza ação dinâmica nem variação. A seguir a função é representada
por uma equação na forma algébrica y = f(x). Mas uma equação lembra uma balança em
equilíbrio, e o equilíbrio é estático. O gráfico cartesiano de uma função é utilizado para
ilustrá-la, este gráfico geralmente é uma reta ou uma curva. Este gráfico não comunica
aos alunos variação ou ação dinâmica. Essas abordagens que encontramos nos livros
didáticos contribuem para a construção de uma concepção de função como algo
estático. Considero esta concepção estática como sendo um dos obstáculos à construção
do conceito dinâmico de função.
b) Sabemos que as funções tiveram sua origem na Física. Elas surgiram para
modelar matematicamente situações de movimento, trabalho, impulso e outras com
origem no cotidiano. Todas essas situações são dinâmicas e envolvem ação,
transformação e variação.
c) Na geometria podemos usar as transformações como reflexão, translação,
rotação, homotetia e deslocamento para descrever e modelar de forma dinâmica as
propriedades geométricas. Estas transformações têm as mesmas características da
função.
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Baseado nestas considerações resgatei em minhas aulas o enfoque histórico e
a modelagem no estudo das funções para desenvolver o pensamento variacional.
As aulas começaram a ficar interessantes e participativas. Ao modelar
situações do cotidiano e da Física, constatei que os alunos conseguiam construir
modelos mentais das situações analisadas com possibilidade de melhorá-los mediante a
socialização de suas idéias e através de um aprofundamento da investigação sobre estas
situações. Eles entendiam como as grandezas nas situações em estudo variavam e
tinham condições de fazer previsões futuras e passadas.
Mesmo assim, apesar de já terem desenvolvido um pensamento variacional, a
construção do conceito de função ainda não era satisfatória, pois eles não conseguiam
encontrar um modelo matemático, ou seja, uma equação, uma fórmula y=f(x) ou um
gráfico cartesiano que descrevesse o comportamento variacional das grandezas
envolvidas. Percebia também a dificuldade dos alunos em interpretar a variação da
grandeza y em relação à grandeza x em equações do tipo y=f(x). Eles não conseguiam
construir um modelo mental das funções representadas pelas equações, um modelo
mental que lhes permitisse imaginar como as grandezas variam e fazer previsões futuras
e passadas.
Estas duas dificuldades apontam para outro obstáculo na construção do
conceito de função. É o obstáculo à construção de uma linguagem matemática para as
funções. Chamarei a construção desta linguagem matemática com sua representação
simbólica e sua leitura de alfabetização funcional.
Destaco acima dois instrumentos imprescindíveis na construção do conceito
de função: o pensamento variacional desenvolvido através da construção de modelos
mentais de funções e a alfabetização funcional desenvolvida através da representação
simbólica do pensamento variacional com sua leitura. Estes dois instrumentos, quando
não forem desenvolvidos pelos alunos, certamente serão um obstáculo à construção do
conceito de função.
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ATIVIDADES
Na primeira atividade do minicurso serão apresentadas sete situações do
cotidiano ou da Física em forma de texto: a) esfriamento de água aquecida, b) a altura
do nível da água numa garrafa plástica que possui um orifício na parte inferior pelo
qual
a água escoa, c) o alcance do jato de água que sai do orifício da garrafa,
d) tempo de reação de um sonrisal na água, e) bola que desce um plano inclinado, f)
queima de uma vela e, g) esticamento de uma mola. Em cada uma das situações é
possível descrever a variação de uma grandeza em relação a outra. Cada participante
deverá descrever individualmente sua maneira de entender o relacionamento das
grandezas nesta situação e construir o seu modelo mental desta relação. Em seguida os
participantes, reunidos em pequenos grupos organizados por situação, relatam suas
idéias prévias e seus modelos mentais e elaboram socialmente um ou diversos modelos
mentais possíveis, fazendo previsões futuras e passadas. Os grupos ainda procurarão
construir, a partir daí, modelos matemáticos como gráficos, equações ou fórmulas para
os modelos mentais. Neste momento cada grupo terá a disposição material e
instrumentos de medida para investigar quantitativamente as relações entre as grandezas
de sua situação agora real e concreta. Esta investigação quantitativa poderá confirmar,
melhorar ou mesmo descartar o modelo mental anteriormente construido. Nesse último
caso o grupo poderá retomar o processo e construir um novo modelo mental que
descreverá a situação investigada de forma melhor.
Com um modelo mental satisfatório o grupo deverá construir um modelo
matemático em forma de equação ou gráfico. Este modelo matemático também deve ser
testado para confirmá-lo, melhorá-lo ou descartá-lo, verificando como ele se ajusta ao
modelo mental. No caso em que ele não se ajustar, o grupo deverá retomar a busca de
um modelo matemático melhor.
Esta construção do modelo matemático é a descrição matemática e funcional
da variação das grandezas envolvidas na situação.
Por fim cada grupo fará um relato de sua investigação e da sua criação de
modelos mentais e matemáticos, abrindo o debate sobre os obstáculos à construção do
conceito de função detectados no grupo.
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A segunda atividade é a recíproca da anterior. Os participantes do minicurso
partirão de modelos matemáticos de funções dados na forma de equação y=f(x) ou de
gráfico cartesiano e deverão construir modelos mentais destas funções. Estes modelos
mentais os participantes poderão deixar correr com o objetivo de sentir como as
grandezas na função variam, como a função age e fazer previsões futuras e passadas.
Esta atividade quer mostrar o que é e como se processa a leitura significativa de
modelos matemáticos escritos em linguagem funcional como equações e gráficos.
Espero que com estas duas atividades e com o debate dos participantes deste
minicurso possamos compartilhar experiências e compreender melhor o processo da
construção do conceito de função e, a partir daí, desenhar estratégias de ação para o
ensino e a aprendizagem de funções na nossa sala de aula.
PALAVRAS CHAVE: Função, pensamento variacional, alfabetização funcional.