O Problema Inverso do Cálculo Variacional
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Lucas Henrique Calixto
Valeriano A. de Oliveira
Faculdade de Ciências Integradas do Pontal, FACIP
Universidade Federal de Uberlândia, UFU,
Campus do Pontal, Ituiutaba, MG
E-mail: [email protected], [email protected]
RESUMO
O problema clássico de Cálculo Variacional pode ser posto como minimizar o funcional
Z b
I(y) =
L(x, y(x), y 0 (x))dx,
a
sujeito as condições de contorno
y(a) = ya , e/ou y(b) = yb ,
com y : [a, b] → R, onde [a, b] é fixo e a aplicação L : [a, b] × R × R → R é conhecida. Pode-se
considerar também restrições Lagrangeanas
g(x, y(x), y 0 (x)) = 0, x ∈ [a, b], g : [a, b] × R × R → R,
ou restrições isoperimétricas
Z b
g(x, y(x), y 0 (x))dx = c, g : [a, b] × R × R → R, c ∈ R.
a
As condições necessárias de otimalidade para os problemas variacionais são dadas pela equação
de Euler-Lagrange. Para mais detalhes o leitor pode consultar Baumeister e Leitão [1] e Komzsik
[2].
É frequente nos depararmos com equações diferenciais com certas condições de contorno que
são de difı́cil resolução. Então seria interessante se pudermos obter um problema equivalente
de resolução eventualmente menos complicada. Através de um procedimento que pode ser
visto como o inverso do processo de Euler-Lagrange, é possı́vel chegarmos a uma formulação
variacional do problema de valor de contorno.
Não é necessariamente fácil, ou até pode não ser possı́vel, reconstruir o problema variacional
a partir de uma equação diferencial. Para equações diferenciais, ordinárias ou parciais, que
contém um operador linear auto-adjunto positivo, isto pode ser executado.
Sejam f uma função dada e A um operador diferencial tal que
hAu, vi = hu, Avi ∀ u, v,
e
hAu, ui > 0 ∀ u 6= 0.
Consideremos a seguinte equação diferencial
Au = f.
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Bolsista de Iniciação Cientı́fica FAPEMIG
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Se esta equação possui uma solução, tal solução corresponde ao valor mı́nimo do funcional
I(u) = hAu, ui + 2hu, f i.
Isto pode ser provado pela simples aplicação da equação de Euler-Lagrange apropriada a este
funcional. Tal abordagem têm aplicações, por exemplo, em problemas de Sturm-Liouville, problemas de condução de calor, mecânica dos fluidos, etc. Veja Komzsik [2] e Weinstock [3].
Neste trabalho, aplicamos o processo inverso em duas situações:
• na equação de Poisson
∆u(x, y) =
∂2u
∂2u
(x, y) + 2 (x, y) = f (x, y),
2
∂x
∂y
com condições de contorno do tipo Dirichlet na fronteira do domı́nio de interesse: u(x, y) =
0, (x, y) ∈ ∂D, onde D é o domı́nio de soluções e ∂D é sua fronteira.
• em problemas de autovalores
∆u(x, y) − λu(x, y) = 0,
com condição de contorno u(x, y) = 0, (x, y) ∈ ∂D.
No caso da Equação de Poisson, o problema variacional obtido foi
#
2 2
Z Z "
∂u
∂u
(x, y) +
(x, y) + 2u(x, y)f (x, y) dxdy.
min I(x, y) =
∂x
∂y
D
Para o problema de autovalores, a formulação variacional encontrada foi
2 2 #
Z Z "
∂u
∂u
(x, y) +
(x, y)
min I(x, y) =
dxdy
∂x
∂y
Z ZD
[u(x, y)]2 dxdy = 1.
s.a. g(x, y) =
D
Nos dois casos, após a aplicação da Equação de Euler-Lagrange obtivemos a equivalência entre
os problemas. No problema de autovalores, verificamos que o multiplicador de Lagrange do
problema variacional é o autovalor.
Como aplicação dos resultados, através da formulação variacional foi possı́vel determinar os
autovalores e as autosoluções em alguns casos particulares, como o da equação de Legendre (que
é um sub-caso do problema de Sturm-Liouville).
Palavras-chave: Cálculo Variacional, Equação de Poisson, Problemas de Autovalores.
Agradecimentos
Este trabalho conta com o apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais
- FAPEMIG - Processo n.o CEX - APQ-00686-09. Os autores agradecem à FAPEMIG pelo
apoio financeiro para a participação do evento.
Referências
[1] J. Baumeister, A. Leitão, “Introdução à Teoria de Controle e Programação Dinâmica”,
Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
[2] L. Komzsik, “Applied Calculus of Variations for Engineers”, CRC Press, Taylor & Francis
Group, Boca Raton, 2009.
[3] R. Weinstock, “Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering”, Dover
Publications, Inc., New York, 1974.
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