FUNÇÕES QUADRÁTICAS
y = a.(0) 2 + b.0 + c
Também denominada de função do Segundo grau,
2
pois é da forma ax + bx + c , sendo a ≠ 0.
A curva descrita pela expressão é uma parábola, sua
concavidade varia de acordo com o sinal de a, ou
seja se a > 0 a concavidade é voltada para cima , e
se a < 0 a concavidade é voltada para baixo.
y =c
Soma e Produto das Raízes
Sabendo que ∆ 0 a soma das raízes é – b/a e o
produto é c/a , essas relações de soma e produto
foram estudadas por Geriard e por isso tem o nome
de relações de Geriard.
x1 + x 2 =
x 1. x 2 =
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac
− 2b − b
+
=
=
2a
2a
2a
a
− b + b 2 − 4ac − b − b 2 − 4ac
b2 − ∆ c
.
=
=
2a
2a
a
4a 2
Forma Fatorada
Devido à dificuldade muitas vezes encontrada em se
determinar o gráfico atribuindo valores à x e assim
calculando f(x) , a exemplo da função afim existe
uma outra forma de estabelecer o gráfico da função.
A forma canônica é usada nessas situações, sendo
ela:
f (x) = a x +
b
2a
2
−
∆
4a 2
Raízes ou Zeros da Função
Algebricamente são os valores que anulam a função,
ou seja quando f(x) = 0 = y.
Graficamente são os pontos que a parábola
intercepta o eixo X. A formula de Bhaskara é
utilizada para determinar esses valores.
f ( x ) = a( x − x1 )( x − x 2 )
Vértice da Parábola
Pelo vértice da parábola é possível traçar um eixo de
simetria , perpendicular a x.Portanto:
x + x2
−b
xv = 1
=
2
2a
substituindo xv em yv ,temos:
−∆
yv =
4a
Logo o vértice, também conhecido como ponto de
−b −∆
;
máximo/mínimo é: V
2a 4a
Domínio e Imagem da Função
− b ± b 2 − 4ac
x=
2a
ID = IR
−∆
,+∞ , se > 0
4a
Se a > 0 Im =
∆ > 0 - a equação apresentará duas raízes:
EXERCÍCIOS
95.Determine m e n para que o vértice da parábola
2
de equação y = x – mx + n seja (-1,2).
x1 =
2
− b + b − 4ac
2a
x2 =
2
− b − b − 4ac
2a
∆ = 0 – apresenta duas raízes iguais
x1 = x2 =
−b
2a
∆ < 0 – não apresenta raízes em IR
Analogamente a função Afim , para saber onde a
parábola corta o eixo y , basta fazer x = 0 , então:
Prof. Elaine Brito
Im = − ∞,
−∆
4a
∆ = b 2 − 4ac é chamado de discriminante , ele que
determina quantas raízes a função possui.
96. Determine o conjunto imagem da função f(x) =
2
2x – 8x + 1 de domínio IR.
2
97. Determine m para que a função f(x) = (3m-12)x –
5x – 1 tenha valor máximo.
98. De todos os retângulos de perímetro 40 cm,
determine o de área máxima.
Construção do Gráfico
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Pa construir o gráfico da parábola precisamos de
informações do tipo:
• Sinal de a, se positivo concavidade para cima se
negativo par abaixo.
• Raízes ou zeros da função
• Vértice da parábola , sabendo que por Xv passa
uma paralela a Y que é o eixo de simetria da
parábola
• Se ∆ = 0 a parábola tangência x no Xv = -b/2a
• Se ∆ > 0, a parábola intercepta o eixo dos x em:
P1
−b− ∆
−b+ ∆
, 0 e P2
,0
2a
2a
Análise de Sinal
A exemplo da função Afim , o estudo de sinais nada
mais é do que verificar para que valores de x , y é
positivo , negativo ou igual a zero. Inicialmente
precisamos calcular o discriminante (∆).
Teremos então:
∆< 0 : f(x) tem o sinal de a , se a > 0 então f(x) > 0
e se a < 0 então f(x) < 0.
∆ = 0 : f(x) tem sinal de a, se a ≤ 0 então f(x) ≤ 0 e
se a 0 então f(x) 0
∆> 0 : f(x) tem sinal de a para todo x, tal que x < x1
ou x > x2 e f(x) tem o sinal de – a para todo x, talque
x1<x<x2.
Inequação do 2º Grau
Analogamente a inequação do primeiro grau é
importante o entendimento da análise de sinais, pois
a resolução da inequação do 2º. grau consiste em
analisar o sinal da equação e extrair a parte
solicitada ou seja s tivermos uma inequação :
2
x - 2x + 2 > 0 , ou seja pede-se os valores de x para
os quais y é positivo.
1- Verificar a , a =1 > 0
2
2- Calcular ∆ = (-2) – 4 . 1 . 2 = - 4 < 0 , como
∆ é negativo f(x) tem o sinal de a ( > 0 )
3- Verificar o que é pedido pela equação
2
x - 2x + 2 > 0 , logo S: IR
No caso de inqueçôes produto ou quociente(divisão
de inequações) a resolução é similar a da inequação
do primeiro grau, ou seja resolve-se o numerador e o
denominador separadamente e faz-se a interseção
das duas retas achando a solução da inequação.
a receita (quantidade vendida vezes o preço de
venda) obtida foi de R$ 1250,00 qual foi a
quantidade vendida?
100. Determine os zeros reais da função: f(x) = x4 –
2
3x – 4.
101. Uma conta perfurada de um colar é enfiada em
um arame fino com o formato da parábola y = x2 – 6.
Do ponto P de coordenadas (4,10) deixa-se a conta
deslizar no arame até chegar ao ponto Q de
ordenada - 6. Qual a distância horizontal percorrida
pela conta (diferença entre as abscissas de P e Q)?
102. Quais as condições de x para que a expressão
2
2
ax + bx + c, em que -b – 4ac > 0 e a < 0, seja
extritamente possitiva?
103. Qual é a condição necessária e suficiente para
2
que o trinômio do 2º grau f(x) = ax + bx + c tenha
sinal constante em IR.
104.Resolva as inequações em IR:
2
2
a) x -3x + 2 > 0
b) x – 6x + 9 0
2
2
c) -x + 3/2x + 10 0
d) 4x – 4x + 1 > 0
4x 2 + x − 5
6 x 2 + 12 x + 17
e)
>
0
f)
≥ −1
2x 2 − 3x − 2
− 2x 2 + 7 x − 5
4
2
4
g) x – 10x +9 ≤ 0
2
h) 3x - 5x +4 > 0
2
105. Para que valores de x o trinômio -x + 3x – 4 é
negativo?
2
106. Se A= {x IR | x -3x + 2 ≤ 0} e B = {x
4x + 3 > 0} , determine A ∩ B .
2
IR| x –
107. Dentre os números inteiros que são soluções da
2
inequação (x – 21x + 20) . (3 – x) > 0 , qual é o
maior?
108. Determine m de modo que a função quadrática
2
f(x)= mx + (2m – 1)x + (m+1) seja positiva para todo
x real.
109. Qual é o conjunto de valores de p para os quais
2
a inequação x + 2x + p > 10 é verdadeira para
qualquer x pertencente a IR?
EXERCÍCIOS
99. Uma empresa produz e vende determinado tipo
de produto. A quantidade que ela consegue vender
varia conforme o preço, da seguinte forma:a um
preço y ela consegue vender x unidades do produto,
de acordo com a equação y = 50 – x/2. Sabendo que
Prof. Elaine Brito
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