Sinais e Sistemas
Aplicações das séries e transformadas
de Fourier
• Séries de Fourier
• Aplicações em Geral
• Transformada de Fourier (TF)
• Aplicações específicas da TF
• Conclusões
Baseado no seguinte material:
http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeF
ourier.pdf
ALLapolli
Séries de Fourier
Transformada de Fourier
Exponencial Complexa:
x(t ) 

C e
k  
k
jk0t
1
Ck   x(t )e  jk0t dt
T0 T0
Trigonométrica:
a0 
x(t )    (ak cos k0t  bk senk0t )
2 k 1
ak  Ck  Ck
bk  j (Ck  Ck )
1
Ck  (ak  jbk )
2
1
C k  (ak  jbk )
2
2
0 
T0
2
ak   x(t ) cos(k0t )dt
T0 T0
2
bk   x(t ) sen (k0t )dt
T0 T0
ak  2 Re(Ck )
bk  2 Im(Ck )
Transformada de Fourier
Séries de Fourier
Harmônica:

x(t )  C0   Ck cos(k0t   k )
k 1
a0
C0 
2
Ck  a  b
2
k
2
k
 bk
 k  arctg 
 ak



Transformada de Fourier
Séries de Fourier
Funções Periódicas são representadas por
séries de Fourier
Funções não periódicas são representadas por
transformadas de Fourier (espectro do sinal)
Uma representação de x(t) é uma
decomposição em componentes que também
são funções trigonométricas
Transformada de Fourier
Aplicações em Geral
 Física
 Química
 Teoria dos números
 Análise Combinatória
 Processamento de sinais
 Teoria das probabilidades
 Estatística
 Criptografia
Sinal
Fenômeno variável no tempo e no
espaço.
Os sinais são funções de uma ou
mais variáveis independentes
contendo informações acerca do
comportamento ou natureza de
um fenômeno físico.
Exemplos:
f(x) => Som
F(x,y) => Imagem
F(x,y,t) => Vídeo
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
X ( )  x(t ) 

x
(
t
)
e

 jt
dt

1
x(t )   X ( ) 
2
1

 X ()e

 jt
d
Transformada de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Propriedade
Linearidade
Deslocamento de tempo
Deslocamento de frequência
Sinal
Transformada de
Fourier
x(t)
X()
x1(t)
X1()
x2(t)
X2()
a1x1(t)+a2x2(t)
a1X1()+a2X2()
x(t-t0)
𝑒 −𝑗𝜔𝑡0 𝑋(𝜔)
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 𝑥(𝑡)
Escalamento de tempo
x(at)
Inversão de tempo
x(-t)
X(-0)
1
𝜔
𝑋
𝑎
𝑎
X()
Dualidade
X(t)
2x(-)
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
jX()
Diferenciação no tempo
Transformada de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Propriedade
Diferenciação em frequência
Sinal
Transformada de Fourier
(-jt)x(t)
𝑑𝑋(𝜔)
𝑑𝜔
𝑡
Integração
𝑥 𝜏 𝑑𝜏
−∞
1
𝜋𝑋 0 𝛿 𝜔 + 𝑋(𝜔)
𝑗𝜔
Convolução
x1(t)*x2(t)
X1()X2()
Multiplicação
x1(t)x2(t)
x(t)=xp(t)+xi(t)
1
𝑋 (𝜔) ∗ 𝑋2 (𝜔)
2𝜋 1
X()=A()+jB()
X(-)=X()*
Componente par
xp(t)
Re[X()]=A()
Componente impar
xi(t)
jIm[X()]=jB()
Sinal Real
Transformada de Fourier
Propriedades da Transformada de Fourier
Propriedades
∞
∞
𝑥1 𝜆 𝑋2 𝜆 𝑑𝜆 =
−∞
∞
Relações de Parseval
1
𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑑𝜆 =
2𝜋
−∞
∞
1
2
𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 =
2𝜋
−∞
𝑋1 𝜆 𝑥2 𝜆 𝑑𝜆
−∞
∞
𝑋1 𝜆 𝑥2 𝜆 𝑑𝜆
−∞
∞
𝑋(𝜔) 2 𝑑𝜔
−∞
A propriedade da dualidade, em destaque é
normalmente utilizada para transformada em
casos em que se conhece a transformada em um
dos sentidos e que a transformada inversa é
exige calculo complexo como integral de resíduo.
Transformada de Fourier
Alguns Pares de Transformada de Fourier
x(t)
d(t)
d(t-t0)
1
𝑒 𝑗𝜔0 𝑡
cos0t
sen0t
u(t)
u(-t)
e-atu(t),a>0
X()
1
𝑒 −𝑗𝜔𝑡0
2d()
2d(-0)
[d(-0)+d(-0)]
j[d(-0)-d(-0)]
1
𝜋𝛿(𝜔) +
𝑗𝜔
1
𝜋𝛿 𝜔 −
𝑗𝜔
1
𝑗𝜔 + 𝑎
Transformada de Fourier
Alguns Pares de Transformada de Fourier
x(t)
1
𝑎2 + 𝑡 2
2
𝑒 −𝑎𝑡 , 𝑎
1
0
X()
e-a||
𝜋 −𝜔2 /4𝑎
𝑒
𝑎
𝑠𝑒𝑛𝜔𝑎
2𝑎
𝜔𝑎
>0
𝑡 <𝑎
𝑡 >𝑎
𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡
𝜋𝑡
−1,
𝑠𝑔𝑛 𝑡 = 0,
1,
1
0
𝑡<0
𝑡=0
𝑡>0
2
𝑗𝜔
∞
∞
𝛿(𝑡 − 𝑘𝑇0 )
𝑘=−∞
𝑤 <𝑎
𝑤 >𝑎
𝜔0
𝛿(𝜔 − 𝑘𝜔0 )
𝑘=−∞
Transformada de Fourier
Aplicações específicas da TF
Descrição
Filtragem
Segmentação
Compressão
Reconstrução
Reconhecimento de Padrões
Transformada de Fourier
Aplicações específicas da TF
Decomposição de um sinal unidimensional
Função composta: Constituída da superposição
de vários harmônicos
Descrição das componentes
da função
𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 7𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 5𝑠𝑒𝑛(3𝑥) + 4cos(5𝑥)
Aplicações específicas da TF
Onda Quadrada
Transformada de Fourier
Expansão em série de Fourier de uma onda quadrada:
3
C0=A/2
2
Amp
Amplitude
2
1
0
-2
-6
-4
-2
0
-2
0
2
4
𝐴 = 2; a = 1; 𝑇0 = 4𝑎; 𝜔0 =
6
x(t)
Amp
-4
2
2𝜋
2𝐴
;𝐶 =
𝑇0
𝜋
3
4
t(s) 6
0
-2
-6
-4
-2
0
2
4
t(s) 6
C.cos(30t)/3
2
Amp
-6
2
C.cos(0t)
0
0
-6
1
2
Amp
2
0
-4
-2
0
2
4
t(s) 6
C.cos(50t)/5
0
-2
-6
-4
-2
0
2
4
-1
-2
t(s)
6
C.cos(7w0*t)/7
2
Amp
Amplitude
-2
0
-2
-3
-6
-4
-2
0
2
4
t(s)
𝑥 𝑡 = 𝐶0 + 𝐶 cos 𝜔0 𝑡 −
6
-6
-4
-2
0
2
cos 3𝜔0 𝑡
cos 5𝜔0 𝑡
cos(7𝜔0 𝑡)
+
−
3
5
7
4
t(s) 6
Transformada de Fourier
Aplicações específicas da TF
A utilização de um número infinito de amostras
no domínio do tempo, consequentemente, um
número infinito de pontos no domínio da
frequência é um problema para a
implementação da transformada de Fourier na
prática (utilização de computadores).
Dessa forma, utiliza-se a Transformada Discreta
de Fourier (DFT) que utiliza um número finito
de pontos no domínio do tempo e define uma
representação discreta do sinal no domínio da
frequência.
Transformada de Fourier
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
X ()  x[n] 

 x[n]e
 jn
n  
1
x[n]   X () 
2
1
 X ( )e
2
 jt
d
Transformada de Fourier
Exemplos:
Sistema de comunicação (modulação)
Multiplica-se um sinal f(t) por um sinal senoidal.
Transladar o espectro de frequência
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem (Domínio da Frequência)
• No domínio original: Convolução
• No domínio da Frequência: Transformada, seguida
de um produto e uma transformada inversa.
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier
Exemplos:
Sinais Biológicos
• O eletrocardiograma é realizados em uma largura
de banda menor: o interesse principal é medir o
ritmo desprezando pormenores morfológicos.
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagem
• O coeficiente F(0,0) denota
intensidade média da imagem.
a
• Os Coeficientes de baixos índices
(frequências) são componentes da
imagem que variam pouco.
• Os coeficientes de alta frequência são
associados a variações bruscas de
intensidade.
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagem
• Espectros de Fourier de impressão digital.
Sem ruído
Com ruído
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagem
Filtragem Passa-Alta
Filtragem
Passa-Baixa
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem
Transformada de Fourier
Exemplos:
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem: minimização de ruído
Transformada de Fourier
Exemplos:
Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos,
bordas)
Transformada de Fourier
Exemplos: Imagens Médicas
Filtragem Passa-Alta (Realce de contornos,
bordas)
Transformada de Fourier
Conclusões
• Fenômenos periódicos ocorrem de maneira
recorrente em várias aplicações. Estes podem
ser modelados pelas séries de Fourier.
• As séries de Fourier podem ser estendidas para
funções não periódicas utilizando-se as
Transformadas de Fourier.
• Tanto as séries como as transformadas de
Fourier são eficientes para resolução de
problemas em diversas áreas.