Matemática I
Elaborado por
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
Prof. Rodrigo Leone, D.Sc.
Seção 4
Versão 2009-1
ADM 01004 Matemática I
Prof. da Disciplina
Luiz Gonzaga Damasceno, M. Sc.
2
Seção 4
Conteúdo da Seção
 Tipos de Funções
– Função Composta
– Função Inversa
– Dependência entre Variáveis
 Função Polinomial
– Função Linear
– Representação Gráfica
 Aplicações Reais e Casos
3
Seção 4
Função Composta
Dadas duas funções f e g, a
função composta, indicada
por g  f , é definida por
( g  f )( x ) = g( f (x))
4
Seção 4
Função Composta
Exemplos

f ( x ) = x + 1 e g( x ) = 3 x + 2 ,
Dadas as funções
determine as funções abaixo:
a) f  g(x)
f  g(x) = f (g(x)) = f (3x + 2) = (3x + 2) + 1 = 3x + 3
b)
g  f (x)
g  f (x) = g( f (x)) = g(x + 1) = 3(x + 1) + 2 = 3x + 5
5
Seção 4
Função Composta
Exemplos
 Dadas as funções f (x) = x e g(x ) = 2 − 4 x , determine a
função f  g(x) , seu domínio e sua imagem.
f o g ( x ) = f (g ( x ))
f( 2 − 4 x) =
(
2 − 4x
Domínio : − ∞ , 1 
2
Imagem : R +
6
Seção 4
Caso LCL Telefonia Ltda.
 A LCL Telefonia Ltda. produz celulares para empresas de
telecomunicações. A produção consiste de duas etapas
distintas, que são executadas cada uma em um galpão
diferente da empresa. A primeira etapa consiste da
produção do circuito integrado, na qual existe uma perda
de 5% das placas produzidas. A segunda etapa, na
montagem dos aparelhos, que tem uma perda de 10% de
produtos.
A LCL recebeu um pedido de 1.000 celulares de um de
seus clientes, e o gerente de produção deseja determinar
quantos circuitos impressos deve mandar produzir para
atender a esse pedido.
7
Seção 4
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução
 Considere x o número de componentes que
entram em uma etapa de produção.
 A função de produção de circuito é dada por
f (x) = 0,95x
 A função de montagem dos celulares é dada por
g(x) = 0,9 x
8
Seção 4
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução
Ordem
de Fabricação
de x circuitos
Produção de
Circuitos
f (x) = 0,95x
Circuitos sem defeito
Montagem
dos
Celulares
g(x) = 0,9 x
Demanda do Cliente
9
Seção 4
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução
x
x
Produção de
Circuitos
g of
f (x )
Fixação de
Chips
g ( f(x) )
10
Seção 4
Caso LCL Telefonia Ltda.
Solução
 Logo, a função gof(x) é dada por
g( f (x)) = 0,9(0,95x) = 0,855x
 O que desejamos é o valor de x para que o valor
de gof (x) seja igual a 1.000.
0,855x = 1.000
1.000
x=
= 1.169,59 ≅ 1.170 circuitos
0,855
11
Seção 4
Função Inversa
 Se f é o conjunto de pares ordenados (x,y) e se
existe uma função f -1 tal que
x = f − 1 (y) se e somente se y = f (x)
então, f –1, que é o conjunto dos pares
ordenados (y,x), é chamada a inversa da
função f.
 f e f -1 são chamadas funções inversas.
12
Seção 4
Função Inversa
Exemplos

Determinar a função inversa da função
y = 4x − 3
Solução :
f ( x) = y = 4 x − 3 ⇒ x = 4 y − 3
explicitando y, temos
x+ 3
−1
x + 3 = 4y ⇒ 4y = x + 3 ⇒ y =
= f ( x)
4
13
Seção 4
Função Inversa
Exemplos
 Determinar a função inversa da função
2x
f : ℜ − { − 5} → ℜ , sendo f (x) = y =
x+ 5
Solução :
2x
2y
y=
⇒ x=
⇒ xy + 5 x = 2 y ⇒ xy − 2 y = − 5 x
x+ 5
y+ 5
5x
y ( x − 2) = − 5 x ⇒ y = −
= f − 1 ( x)
x− 2
5x
−1
−1
f : ℜ − { 2} → ℜ
f ( x) = −
x− 2
14
Seção 4
Função Inversa
 Para que uma função f admita a inversa, ela precisa ser
bijetora, isto é, injetora e sobrejetora.
injetora
15
sobrejetora
Seção 4
Dependência entre Variáveis
 Uma variável y é diretamente proporcional à n-ésima
potência da variável x (n>0) se
y = kx
n
onde k é uma constante não nula.
 k é denominada Constante de Proporcionalidade
16
Seção 4
Dependência entre Variáveis
 Uma variável y é inversamente proporcional à
n-ésima potência da variável x (n>0) se
k
y= n
x
onde k é uma constante não nula.
17
Seção 4
Dependência entre Variáveis
 De uma forma geral diz-se que uma variável z é
conjuntamente proporcional à uma variável x e
inversamente proporcional a uma variável y se
x
y= k
y
onde k é uma constante não nula.
18
Seção 4
Função Polinomial
 Uma função de f : ℜ → ℜ
n
f (x) = a0 x + a1 x
n− 1
+ a2 x
é dita Polinomial de grau n se
n− 2
+ ... + an − 1 x + an
em que
a0 ≠ 0
e n é um inteiro não-negativo.
19
Seção 4
Função Polinomial do 1o Grau
 Uma função polinomial é dita do 1o grau se
f :ℜ → ℜ
n
f (x) = a0 x + a1
com
a0 ≠ 0 e n = 1
onde a0 é o coeficiente angular e a1 é o coeficiente linear.
f :ℜ → ℜ
20
f ( x) = a0 x + a1
Seção 4
Função Polinomial do 1o Grau
 A função polinomial do 1o grau cuja lei de formação é dada
por f (x) = a0 x + a1 é dita Função Linear se a1 = 0:
f ( x ) = a0 x
Se a0 = 1 e a1 = 0, a função é chamada de Função
Identidade:
f (x) = x
21
Seção 4
Função Polinomial do 1o Grau
 Geralmente, a letra y é utilizada para designar o valor da
função em um ponto genérico x, isto é, a função polinomial
do 1º grau pode ser escrita como
y = mx + b,
m≠ 0
 Por conveniência, substituímos a0 por m e a1 por b.
22
Seção 4
Função Polinomial do 1º Grau
Representação Gráfica
y = 2x + 7
Coeficiente linear (b):
ordenada do ponto
x=0
α
23
Coeficiente angular (m):
Valor da tangente do
ângulo que a reta faz
com o eixo das
abscissas
Seção 4
Função Polinomial do 1º Grau
Representação Gráfica
Coeficiente linear (b):
ordenada do ponto
x=0
2
y = − 5− x
3
24
α
Coeficiente angular (m):
Valor da tangente do
ângulo que a reta faz
com o eixo das
abscissas
Seção 4
Função Polinomial do 1º Grau
Representação Gráfica
25
m>0
b>0
m<0
b>0
m>0
b<0
m<0
b<0
Seção 4
Função Polinomial do 1o Grau
 A equação da reta que passa por dois pontos,
P1(x1, y1) e P2(x2, y2), é dada por
y 2 − y 1 y − y1
=
x 2 − x 1 x − x1
 O coeficiente angular m é definido por
y 2 − y1
m=
x 2 − x1
26
Seção 4
Caso LCL Eletromecânica Ltda.
 A LCL Eletromecânica Ltda. tem um custo unitário
de produção de geradores em função da quantidade mensal produzida. Para uma produção de 30
unidades, o custo unitário é de R$ 20,00 e, para
uma produção de 100 unidades, esse custo é de
R$ 10,00. Descreva matematicamente a função
que descreve o valor do custo unitário em função
da quantidade produzida.
27
Seção 4
Caso LCL Eletromecânica Ltda.
Solução
P1 = (30; 20) e P2 = (100; 10)
y2 − y1 y − y1
=
x2 − x1
x − x1
10 − 20
=
100 − 30
− 10 y −
=
70
x−
28
y − 20
x − 30
20
30
Seção 4
Caso LCL Eletromecânica Ltda.
Solução
− 10 × ( x − 30) = 70 × ( y − 20)
− 10 x + 300 = 70 y − 1400
1
170
y = − x+
7
7
29
Seção 4
Caso LCL Financeira Ltda.
 A LCL Financeira Ltda. realiza operações de CDC
(Crédito Direto ao Consumidor). Como uma
vantagem competitiva sobre a concorrência, ela
divulga que seus empréstimos utilizam a cobrança
de juros simples, isto é, um percentual de 10% a.m.
sobre o capital inicial do empréstimo. Um cliente
deseja tomar um CDC no valor de R$ 100.000,00 e
devolver em três meses o valor do empréstimo
acrescido dos juros. Quanto o cliente terá que
devolver ao final do período?
30
Seção 4
Caso LCL Financeira Ltda.
Solução
 O valor de juros é de 10% ao mês sobre o valor
emprestado.
 O que desejamos saber é a função que descreve o
saldo devedor do empréstimo em função do número
de meses entre o início e o final do empréstimo.
 No mês zero (momento do empréstimo) o valor do
saldo devedor é igual ao valor do empréstimo, isto é,
para x=0, o valor do saldo é igual a R$ 100.000,00.
 Ao final do 1º mês (x = 1), o valor do saldo devedor é
igual a R$ 110.000,00 (juros=0,10 x 100000).
31
Seção 4
Caso LCL Financeira Ltda.
Solução
P1 = (0;100000) e P2 = (1;110000)
y 2 − y1 y − y1
=
x 2 − x1 x − x1
110000 − 100000 y − 100000
=
1− 0
x− 0
10000 y − 100000
=
1
x
10000 x = y − 100000
y = 10000 x + 100000
32
Seção 4
Função Polinomial do 1º Grau
Equação da Reta
 Forma Ponto-Declividade
y 2 − y1
y − y1
=
⇒
x2 − x1
x − x1
y2 − y1
y − y1 =
( x − x1 )
x2 − x1
⇒ y − y1 = m( x − x1 )
em que m é o coeficiente angular e (x1 , y1) é um
ponto da reta.
33
Seção 4
Função Polinomial do 1º Grau
Equação da Reta
 Forma Ponto-Declividade – P1(0;5)
Declividade Positiva
m=1/2
m=1
m=2
34
Declividade Negativa
m=-1/2
m=-1
m=-2
Seção 4