CLASSES: SÃO INTERVALOS DE VARIAÇÃO DA VARIÁVEL.
LIMITES DE CLASSES: SÃO OS EXTREMOS DE CADA
CLASSE.
AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE: É A MEDIDA
DO INTERVALO QUE DEFINE A CLASSE.
PONTO MÉDIO DE UMA CLASSE: É O PONTO QUE DIVIDE O
INTERVALO DE CLASSE EM DUAS PARTES IGUAIS.
FREQÜÊNCIA SIMPLES OU ABSOLUTA: É O NÚMERO DE
OBSERVAÇÕES CORRESPONDENTES A ESSA CLASSE OU A
ESSE VALOR.
FREQÜÊNCIA RELATIVA: SÃO OS VALORES DAS RAZÕES
ENTRE AS FREQÜÊNCIAS SIMPLES E A FREQÜÊNCIA
TOTAL.
• Amplitude Total → R = L(max) – (Lmin)
• Número de Classes → K ≈ √n
• Amplitude total das classes → h ≈ R/K
Construir uma tabela de ramo e folhas e uma distribuição de freqüência
para os dados abaixo.(Itens: intervalo de classe, freqüência,
freqüência relativa, freqüência relativa acumulada)
Resistência a compressão de 80 corpos de Prova de Liga Aluminio-Lítio
105
221
183
186
121
181
180
143
97
154
153
174
120
168
167
141
163
228
174
199
181
158
176
110
207
131
154
115
160
208
158
133
134
180
190
193
194
133
156
123
218
178
76
167
184
135
229
146
199
157
101
171
165
172
158
169
160
151
142
163
145
171
148
158
196
175
149
87
160
237
150
135
245
201
200
176
150
170
118
149
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
HISTOGRAMA: É FORMADO POR UM CONJUNTO
DE RETÂNGULOS JUSTAPOSTOS, CUJAS BASES SE
LOCALIZAM SOBRE O EIXO HORIZONTAL, DE TAL
MODO QUE SEUS PONTOS MÉDIOS COINCIDAM
COM OS PONTOS MÉDIOS DOS INTERVALOS DE
CLASSE.
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA: É UM GRÁFICO EM
LINHAS, SENDO AS FREQÜÊNCIAS MARCADAS
SOBRE PERPENDICULARES AO EIXO HORIZONTAL,
LEVANTADAS PELOS PONTOS MÉDIOS DOS
INTERVALOS DE CLASSE.
POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA ACUMULADA: É
TRAÇADO MARCANDO-SE AS FREQÜÊNCIAS
ACUMULADAS SOBRE PERPENDICULARES AO
EIXO HORIZONTAL, LEVANTADAS NOS PONTOS
CORRESPONDENTES AOS LIMITES SUPERIORES
DOS INTERVALOS DE CLASSE.
MEDIDAS DE POSIÇÃO
MÉDIAS
MODA
MEDIANA
QUARTIS
PERCENTIS
MÉDIAS
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES
•DADOS NÃO AGRUPADOS, DADOS BRUTOS OU EM ROL.
MÉDIAS
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
Para uma seqüência numérica X: X1,X2, ...Xn afetada pelos pesos
p1, p2, ..., pn
X .P

X 
P
i
i
i
Considere X= 2,4,5 e os pesos 1,3,2, respectivamente, então, a
média ponderada será
X 4
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
• Dados não – agrupados em classes.
QUANDO OS DADOS ESTIVEREM AGRUPADOS
NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA SIMPLES,
USAREMOS A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
DOS VALORES x1, x2, ..., xn E SUAS FREQÜÊNCIAS
ABSOLUTAS (pesos): f1, f2,...,fN. ASSIM:
X .f

X 
f
i
i
i
ou
EXEMPLO 1
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
• Dados agrupados em classes.
QUANDO OS DADOS ESTIVEREM AGRUPADOS EM
CLASSES NUMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA,
USAREMOS A MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
DOS VALORES MÉDIOS DAS CLASSES, X  X , X ,...,
E SUAS FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS (pesos): f1,
f2,...,fN. ASSIM:
i
X .f

X 
f
i
i
i
1
2
EXEMPLO 2
EXERCÍCIO
Calcule a média aritmética dos dados tabelados.
RESOLUÇÃO
MODA
É O VALOR MAIS FREQÜÊNTE DA
DISTRIBUIÇÃO. O NÚMERO QUE MAIS SE
REPETE UMA SEQUENCIA DE DADOS.
PARA DADOS AGRUPADOS EM
CLASSES
EXERCÍCIO
DETERMINE A MODA DA DISTRIBUIÇÃO
MEDIANA
COLOCADOS EM ORDEM CRESCENTE,
MEDIANA (
) É O VALOR QUE DIVIDE A
AMOSTRA, OU POPULAÇÃO, EM DUAS PARTES
IGUAIS. ASSIM:
0
50%
100%
CÁLCULO DA MEDIANA – DADOS AGRUPADOS
1º PASSO: CALCULA-SE A ORDEM n/2.
2º PASSO: PELA Fac IDENTIFICA-SE A CLASSE QUE
CONTÉM A MEDIANA (CLASSE Md).
3º PASSO: UTILIZA-SE A FÓRMULA:
QUARTIS
OS QUARTIS DIVIDEM UM CONJUNTO DE
DADOS EM QUATRO PARTES IGUAIS . ASSIM:
0%
25%
50%
Q1
Q2
75%
Q3
Q1= 1º QUARTIL, DEIXA 25% DOS ELEMENTOS.
Q2 = 2º QUARTIL, COINCIDE COM A MEDIANA, DEIXA 50% DOS
ELEMENTOS.
Q3 = 3º QUARTIL, DEIXA 75% DOS ELEMENTOS.
100%
CÁLCULO DO 1º E 3º QUATIS
PARA DADOS AGRUPADOS.
DECIS
DECIS SÃO OS VALORES QUE DIVIDEM A
SÉRIE EM 10 PARTES IGUAIS.
O CÁLCULO DOS DECIS É DADO POR
PERCENTIS
SÃO MEDIDAS QUE DIVIDEM A AMOSTRA EM
100 PARTES IGUAIS. ASSIM:
MEDIDAS DE DISPERSÃO
AMPLITUDE – VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIÂNCIA
MEDIDAS DE DISPERSÃO
AMPLITUDE TOTAL , VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO.
EXEMPLO:
VARIÂNCIA
MEDE AS VARIAÇÕES OCORRIDAS. É CALCULADA A PARTIR DA
DIFERENÇA ENTRE CADA DADO xi e a MÉDIA DO GRUPO.
• PARA DADOS NÃO AGRUPADOS
• PARA DADOS AGRUPADOS
xi= É O PONTO MÉDIO DE CADA CLASSE
EXEMPLO
(discrepância)
DESVIO PADRÃO
Caso os dados sejam de uma amostra a
fórmula da VARIÂNCIA passa a ser:
... E o DESVIO PADRÃO:
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
MEDIDA DE DISPERSÃO ÚTIL PARA COMPARAÇÃO
DO GRAU DE CONCENTRAÇÃO DE DADOS EM
TORNO DA MÉDIA DE SÉRIES DISTINTAS. É
EXPRESSO EM PORCENTAGEM.
Exemplo:
Numa empresa, o salário médio dos homens é de
4000,00 com σ= 1500,00, e o das mulheres é em
média de 3000,00, com σ= 1200,00. Qual o grupo
com maior dispersão salarial?
ATIVIDADE DE SALA
Calcule a média aritmética das distribuições de
freqüência abaixo, a variância e o desvio padrão.
a)
b)
Coeficiente de Pearson
Coeficiente de Bowley
Exemplos
1)
Classifique, quanto a assimetria, a distribuição abaixo, segundo o coeficiente
de Pearson.
Coeficiente de Pearson
Xi
fi
1
2
2
10
3
6
4
4
5
2
6
1
Mo =2
X  2,88
  1,5456
2
  1,24
2,88  2
As 
 0,71
1,24
É uma distribuição assimétrica
positiva fraca
2) Classifique, quanto a assimetria a distribuição abaixo segundo o coeficiente de
Bowley.
Coeficiente de Bowley
Xi
fi
0├2
2
2├4
5
4├6
12
Q3=6,97
6├8
15
8├10
Md=5,75
1
Q1=4,29
Total=35
6,97  4,29  2(5,75)  0,24
As 

 0,09
6,97  4,29
2,68
É uma distribuição assimétrica
negativa
Atividade: Usando as medidas de posição:
1) Usando o coeficiente de Bowley Classifique, quanto a simetria, a distribuição
abaixo.
2) Classifique, quanto a curtose, a distribuição abaixo.
Xi
fi
3├5
1
5├7
2
7├9
13
9├11
3
11├13
1
Total=20
1) Considere o seguinte conjunto de dados:
40, 52, 55, 60,70,75,85,90,90,92,94,94,95,98,100,115,125,125.
Faça o Box plots da distribuição.
2) Traçar o box plot e identificar a presença de
outliers nos dados a seguir:
5,3 8,2 13,8 74,1 85,3 88,0 90,2 91,5 92,4 92,9
93,6, 94,3 94,8 94,9 95,5 95,9 96,6 97,7 98,1
99,0 101,4 103,7 106,0 113,5
Dados
ordenados
Dados
Representação
gráfica
Medidas
Distribuição de
freqüências
Outras
medidas
2D
3D
Medidas de
dispersão
Medidas de
posição
central