Segunda Etapa
Matemática 2
LEIA COM ATENÇÃO
01. Só abra este caderno após ler todas as instruções e quando for autorizado pelos fiscais da sala.
02. Preencha os dados pessoais.
03. Autorizado o início da prova, verifique se este caderno contém 32 (trinta e duas) questões que podem
ser de proposições múltiplas e/ou de respostas numéricas. Se não estiver completo, exija outro do fiscal
da sala.
04. As questões de proposições múltiplas apresentam 5(cinco) alternativas numeradas de duplo zero (0-0)
a duplo quatro (4-4), podendo ser todas verdadeiras, todas falsas ou algumas verdadeiras e outras
falsas. Na folha de respostas, as verdadeiras devem ser marcadas na coluna I (das dezenas); as falsas,
na coluna II (das unidades).
05. As questões numéricas apresentam respostas cujos valores variam de 00 a 99 que devem ser
marcados, na folha de respostas, na coluna correspondente ao número da questão. Respostas com
valores entre 0 e 9 devem ser marcadas antepondo-se zero(0) ao valor.
06. Ao receber a folha de respostas, confira o nome da prova, o seu nome e número de inscrição. Qualquer
irregularidade observada, comunique imediatamente ao fiscal.
07. Assinale a resposta de cada questão no corpo da prova e, só depois, transfira os resultados para a
folha de respostas.
08. Para marcar a folha de respostas, utilize apenas caneta esferográfica preta e faça as marcas de
acordo com o modelo (
rasuras.
) .
A marcação da folha de respostas é definitiva, não admitindo
09. Não risque, não amasse, não dobre e não suje a folha de respostas, pois isto poderá prejudicá-lo.
10. Os fiscais não estão autorizados a emitir opinião nem a prestar esclarecimentos sobre o conteúdo das
provas. Cabe única e exclusivamente ao candidato interpretar e decidir.
11. Se a Comissão verificar que a resposta de uma questão é dúbia ou inexistente, a questão será
posteriormente anulada e os pontos a ela correspondentes, distribuídos entre as demais.
Nom e:
Inscrição:
Identidade:
Ó r g ã o E x p e d i d o r:
Assinatura:
COMISSÃO DE PROCESSOS
SELETIVOS E TREINAMENTOS
Fone: (81) 3231-4000
Fax: (81) 3231-4232
Matemática – 2
Quando necessário, use as aproximações:
3,14
2 1,41
3 1,73
01. A figura abaixo ilustra um prisma reto de altura 64cm e tendo por base um
hexágono regular de lado 16cm. Movendo-se sobre a superfície lateral do
prisma, qual a menor distância, em cm, que se deve percorrer para ir do vértice
A ao vértice B ?
B
A
02. A figura abaixo ilustra o auditório plano de um teatro. O contorno do auditório
tem a forma de um arco de circunferência contendo A e D e com centro em C.
Os pontos M e N indicados são os extremos do palco e B é um ponto do interior
do auditório colinear com A e C. A visibilidade de um ponto P do auditório é
dada pela medida do ângulo MPN. A partir destas observações, analise as
afirmações a seguir:
M
N
B
C
D
A
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
A visibilidade em A é maior que a visibilidade em D.
A visibilidade em C é maior que a visibilidade em B.
A visibilidade em C é maior que a visibilidade em A.
A visibilidade em B é igual à visibilidade em D.
A visibilidade em D é menor que a visibilidade em C.
03. O piso de um salão na forma de um hexágono regular de lado 4m deve ser
ladrilhado com peças na forma de triângulos equiláteros de lado 20cm. Qual o
número mínimo de centenas de peças necessárias? A figura seguinte ilustra o
caso de um piso de lado 1m.
04. Sobre as parábolas que, dadas num sistema cartesiano com equações
2
y = ax + bx + c com a, b e c reais, interceptam o eixo das ordenadas no ponto
de coordenada 4 e têm vértice com abscissa 1 pode-se afirmar que:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
têm concavidade voltada para cima.
2
têm forma canônica y = a (x-1) + 4–a para algum real a.
não podem ter vértice com ordenada 4
uma delas tem gráfico contendo a parábola esboçada abaixo
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-1
1
2
3
4
5
4-4) seus coeficientes satisfazem a relação 2 a + b + c = 5.
05. Seja S a soma dos dígitos de 10111 - 111. Assinale a soma dos dígitos de S.
06. Um recipiente sem tampa possui a forma de um cilindro reto e sua altura e raio
externos medem 12cm e 10cm, respectivamente. O material de confecção do
recipiente tem espessura de 1mm. Calcule o inteiro mais próximo da
capacidade, em litros, do interior do recipiente.
07. Um triângulo ABC tem lados medindo AB = 120, BC = CA = 100 . De um ponto
M de AB traçam-se perpendiculares aos lados BC e CA que interceptam estes
lados nos pontos N e P, respectivamente. Qual o valor de PM + NM ?
08. Os pontos de interseção da hipérbole, de equação cartesiana x2/2 – y2/4 = 1, e
2
2
da circunferência, de equação x + y = 8, são vértices de um quadrado. Qual a
sua área?
09. Determine a medida em graus do ângulo na ilustração a seguir.
121°
123°
122°
10. O retângulo ilustrado abaixo, de dimensões 12cm e 13cm, está dividido em
quadriláteros por segmentos com extremos nos lados opostos do retângulos.
2
Indique a soma das áreas, em cm , dos quadriláteros que estão coloridos.
2
3
2
3
3
3
3
2
2
3
3
2
2
2
2
3
3
2
3
2
11. Uma ponte possui um arco de sustentação na forma de um arco de parábola
com eixo passando por OQ e suportes verticais situados a uma mesma
distância, conforme ilustração a seguir. O comprimento da ponte é de 20m e a
maior distância entre pontos do arco e a ponte é de 5m. O ponto P dista 5m do
centro da ponte e PM é perpendicular à ponte. Determine a distância PM, em
metros, e indique 4 PM.
Q
M
5
O
5
5
P
5
5
12. Uma montanha tem seção transversal com contorno esboçado no gráfico
abaixo.
6
F
Altura (em km)
5
D
4
E
3
2
C
1
0
A
20km
20km
20km
20km
20km
B
Analise as afirmações seguintes, conforme os dados acima:
0-0)
1-1)
2-2)
3-3)
4-4)
O ponto de maior altura da montanha é F.
O trecho de maior inclinação é AC.
O trecho de menor inclinação é EF.
2
A área total da seção é 250 km .
A média (aritmética) das alturas dos pontos A, C, D, E, F e B é 13/6 km.
13. O triângulo ABC ilustrado abaixo tem o ângulo BCA medindo o dobro do ângulo
CAB. Se BC = 8cm e AC = 10cm, qual a medida, em cm, de AB?
B
A
C
14. O salário de um trabalhador é gasto da seguinte forma: um terço com
alimentação, um terço do que sobra com moradia, 25% do restante com
vestuário, e sobram R$ 90,00 para as demais despesas. Assinale o valor
correspondente a 1/10 do salário, em reais, do trabalhador.
15. Sobre os lados de um quadrado ABCD constróem-se triângulos equiláteros
ABG, BCF, CDH e DAE com E e F no exterior do quadrado e G e H no interior
do quadrado, conforme ilustração abaixo. Qual a medida, em graus, do ângulo
GEH ?
D
C
G
E
F
H
A
B
16. O sólido ilustrado abaixo é formado de três blocos retangulares de base
quadrada, superpostos e de mesma altura. Ao lado está ilustrada a interseção
do sólido com um dos planos perpendiculares à base dos blocos e passando
pelos pontos médios das arestas que intercepta. A base do bloco maior é um
3
quadrado de lado 90cm. Qual a terça parte do volume do sólido, em dm ?
45°
17. A janela ilustrada abaixo é de uma igreja gótica. Os arcos são de
circunferências de raios medindo 0,5m ou 1,0m e a = 0,5m. Qual o inteiro mais
próximo do comprimento total, em metros, dos arcos e segmentos de cor
vermelha?
a
a
a
a
45°
18. Um triângulo tem vértices nos pontos (0,64), (48,0) e (-48,0) de um sistema
cartesiano. Calcule a ordenada do centro da circunferência passando pelos
pontos médios dos lados deste triângulo.
19. O salário de uma vendedora é uma função afim do total de suas vendas.
Quando ela vendeu R$ 1200,00 seu salário foi de R$ 300,00 e quando vendeu
R$ 1800,00 seu salário foi de R$ 360,00. Quantas centenas de reais ela precisa
vender para ter um salário de R$ 500,00?
20. O preço P(t) de um imóvel, após t anos de construído, é dado por uma função
t
do tipo P(t) = a.b , onde a e b são constantes reais. Se o preço do imóvel,
quando construído 5 anos atrás, era de R$ 100.000,00 e hoje, é de
R$ 80.000,00, qual será o preço do imóvel, em milhares de reais, daqui a 5
anos?
21. Na figura a seguir, quatro esferas (A, B, C e D) de raio 1 estão no interior de um
paralelepípedo reto, tendo por base um losango, e cada uma das esferas é
tangente a quatro faces do paralelepípedo (a outra figura é a interseção do
paralelepípedo com o plano passando pelos centros das esferas). Além disso,
as esferas A e D são tangentes às demais enquanto B e C são tangentes a A e
D. Indique o inteiro mais próximo do volume do paralelepípedo.
A
C
B
D
22. Um gato encontra-se no ponto médio de uma escada medindo 12m e que
o
forma um ângulo de 60 com a horizontal. Se a escada desliza até a horizontal
e o gato permanece imóvel, qual o inteiro mais próximo da distância (em
decímetros) percorrida pelo gato? Ignore o tamanho do gato.
23. Uma consulta aponta que, dos 600 alunos de uma escola, 485 gostam de
Matemática, 386 gostam de Física e 392 gostam de Química. Qual o número
mínimo de alunos da escola que gostam das três disciplinas?
24. Admita que a temperatura do café em uma xícara, passados t minutos do
5–t
instante em que foi servido, seja dada por T(t) = 25 + 2
veracidade das afirmações abaixo:
Celsius. Analise a
0-0) O gráfico da temperatura T em termos do tempo t, 0 t 6 , é dado por
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
5
6
1-1) A temperatura será inferior a vinte e sete graus Celsius quando passados
mais de quatro minutos.
2-2) Entre t=3 e t=5 a temperatura diminuiu de três graus Celsius.
3-3) A temperatura será igual ou superior a vinte e nove graus Celsius até o
terceiro minuto.
4-4) A temperatura nunca será igual ou inferior a vinte e cinco graus Celsius.
25. O sólido ilustrado a seguir é obtido removendo um cubo menor de um cubo
maior como na figura. Se o sólido tem volume 124 e a diferença entre as
arestas dos dois cubos é 4, calcule a área da superfície do sólido e indique a
soma de seus dígitos.
26. A média aritmética dos quarenta e seis alunos de uma turma foi 6,0. Excluindo
os quatro alunos que tiraram 10,0 e os dois alunos que tiraram 0,0, calcule a
média (aritmética) m dos quarenta alunos restantes. Assinale 10m.
27. Uma criança já possuía 18 figuras de um álbum, para ser preenchido com um
total de 20 figuras, quando comprou mais 2 figuras. As figuras são compradas
em envelopes fechados de forma que se desconhece qual a figura contida em
cada envelope e a escolha dos envelopes é aleatória. Qual a probabilidade
(percentual) de cada uma das duas figuras compradas coincidir com alguma
das que a criança já possui?
28. Pretende-se obter um octógono regular cortando triângulos retângulos
congruentes em cada um dos vértices de um quadrado de lado 10, como
A
ilustrado na figura seguinte. Se A é a área do octógono assinale
.
10 2 1
29. Na ilustração a seguir, as cinco circunferências maiores tem raio 59 e, cada
duas delas, ou não se interceptam ou se tangenciam externamente, enquanto a
circunferência menor é tangente às cinco circunferências maiores.
Qual o raio
da circunferência menor? Dados: use a aproximação cos(54° ) 0,59.
30. Determine a área do triângulo retângulo que tem lados com medidas formando
uma progressão aritmética de razão 3.
31. A área da base da caixa retangular ilustrada abaixo mede 21 e a área de uma
das faces mede 30. Sabendo que i, j e k são números inteiros maiores que 1,
qual é a soma dos dígitos do volume da caixa?
k
j
i
32. No círculo ilustrado a seguir, com centro em O, a área da região sombreada é
x% da área do círculo. Determine o inteiro mais próximo de x.
B
O
A