GEOMETRIA PLANA II
TÓPICOS DE ESTUDO
POLÍGONOS REGULARES;
PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS
REGULARES
TRIÂNGULO EQUILÁTERO;
QUADRADO;
HEXÁGONO REGULAR.
POLÍGONOS REGULARES
POLÍGONOS REGULARES
Nesta unidade, vamos estudar os principais polígonos
regulares e suas propriedades.
Conforme já definimos anteriormente, polígonos regulares são
aqueles que apresentam todos os lados e todos os ângulos
congruentes.
Assim, por exemplo, o triângulo regular é o equilátero e o
quadrado regular é o quadrado.
PROPRIEDAES DOS POLÍGONOS
REGULARES
Todos os polígonos
regulares são inscritíveis ou
seja, admitem uma
circunferência que passa
pelos seus vértices.
Essa circunferência é
denominada:Circunferência
Circunscrita.
PROPRIEDAES DOS POLÍGONOS
REGULARES
Todos os polígonos
regulares são circunscritos ,
ou seja, admitem uma
circunferência que tangencia
os lados do polígono nos
respectivos pontos.
Essa circunferência é
denominada circunferência
inscrita
PROPRIEDAES DOS POLÍGONOS
REGULARES
O raio da circunferência
inscrita em um polígono
é denominado apótema
do polígono.
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Observe, na figura ao
lado, o triângulo
equilátero com lado
medindo l, altura
medindo h e as
circunferências inscrita
e circunscrita com raio
medindo r e R
respectivamente
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Podemos calcular da altura desse triângulo por
meio do Teorema de Pitágoras
Onde r + R = h, determine o valor de h :
2
l
l = h + 
2
l2
2
2
l =h +
4
l2
2
2
h =l −
4
2
2
4h = 4l − l 2
4h 2 = 3l 2
2
l
h
2
3l 2
h =
4
2
l
2
3l 2
h=
4
A área do triângulo equilátero é dada por :
2
1
1 l 3
l
3
S t = .bh = .l.
∴ St =
2
2
2
4
l 3
h=
2
Triângulo equilátero
Observe a figura
As medidas dos raios das
circunferência inscrita e circunscrita
pode ser obtidas por meio da
semelhança de triângulos.
Os triângulos ABC e TOC são
semelhantes, pois apresentam três
Ângulos correspondentes de mesma
medida.
QUADRADO
Sabendo que d = l 2 , temos :
l 2
d l 2
R= =
∴ R=
2
2
2
Sabendo que r = a p , onde o a p do quadrado
é a metade do lado do quadrado, temo :
l
r=
2
HEXÁGONO REGULAR
Observe o hexágono regular, cujo o
lado mede l e os raios das
circunferências inscrita e
circunscrita, r e R,
respectivamente:
Como tos os lados têm a mesma
medida l, os seis arcos,
determinados pelas cordas
correspondentes aos lados, são
congruentes.
Portanto, a medida do ângulo
central α é dada por 360º/6 = 60º.
Mas, os lados adjacentes ao
Ângulo α são congruentes.
Portanto, os outros dois Ângulos
também o são.
Sendo β a medida desses dois
ângulos, temos:
HEXÁGONO REGULAR
Concluímos que os
triângulos são
equiláteros.
Assim, a área do
hexágono regular de
lado medindo l é igual a
seis vezes a área de
um triângulo equilátero
de lado medindo l:
S H = 6.
l
2
3
4
PARA VOCÊ FAZER
A medida do raio da
circunferência circunscrita
pode ser encontrada de
forma imediata, pois sendo
os triângulos equiláteros,
temos R = l.
A medida do raio da
circunferência inscrita é
igual à da altura dos
triângulos equiláteros, ou
seja:
l 3
r=
2
PARA VOCÊ FAZER
Ou seja, a área do triângulo
ACD corresponde À adição
das áreas dos triângulos
OBC e OCD, em que O é o
centro do polígono.
Portanto, a sua área é dada
por:
Se traçarmos as diagonais
do hexágono regular,
podemos perceber que o
triângulo ACD é equivalente
a dois triângulos equiláteros.
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
P. 21 e 22 – Exercícios 1-7