Sumário e Objectivos
Sumário: Introdução à Teoria da Plasticidade. Ensaio de
Tracção. Critérios de Cedência. Regra de Encruamento.
Lei de Escoamento.
Objectivos da Aula: Apreensão de Alguns Conceitos
Fundamentais Associados à Teoria da Plasticidade.
Lúcia Dinis
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Plasticidade
1
Compressão de uma Placa
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2
Modelos de Comportamento
Uniaxial
Comportamento linear elástico




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3
Modelos de Comportamento
Uniaxial
Comportamento rígido-perfeitamente plástico


atrito


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Plasticidade
4
Modelos de Comportamento
Uniaxial
Comportamento rígido-plástico com encruamento linear


atrito

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5
Modelos de Comportamento
Uniaxial
Comportamento elástico-perfeitamente plástico


atrito


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6
Modelos de Comportamento
Uniaxial
Comportamento elásto-plástico com encruamento linear

atrito


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7
Exemplo de Aplicação
As três barras são constituídas
do mesmo material, com igual
E, A e Pc. Admita-se ainda que,
uma vez atingida a tensão de
cedência o material pode
deformar-se infinitamente
mantendo-se contudo o estado
de tensão constante. Pretendese determinar qual o valor da
carga de rotura da estrutura,
Pr, em função de Pc.
y
45
L
1
45
2
3
x, 1
P, 2
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8
Exemplo de Aplicação
Esforços normais numa barra
Começa-se por fazer um
cálculo linear elástico
determinando os esforços
normais suportados por
cada barra. Para o efeito,
pode-se recorrer ao método
dos deslocamentos, em que
numa dada barra i, a uma
variação de comprimento
cosi, corresponde um
esforço normal EiAi/Licosi
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EiAi/Licosi
EiAi/Licosiseni
cosi
EiAi/Li
(cosi)2
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Li
y
i
x
9
Exemplo de Aplicação
Coeficientes de Rigidez para a Estrutura
Considerando os graus de liberdade assinalados na figura
inicial, 1 e 2, os coeficientes de rigidez para a estrutura
são:
3
K21
Ei Ai
 
 cos i  sen i  K12
i 1 Li
3
K11
Ei Ai
 
 cos2  i
i 1 Li
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3
K22
Ei Ai
 
 sen 2 i
i 1 Li
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10
Exemplo de Aplicação
Coeficientes de Rigidez para a Estrutura
K11
 cos 2 45o cos 2 90o cos 2 135o 
2 EA
 EA 




L
L
L
2 L
1
2
3


K 21  K12
K 22
 sen45o  cos 45o sen90o  cos90o sen135o  cos135o 
 EA 


  0
L
L
L
1
2
3



 sen 2 45o sen 2 90o sen 2 135o 
2  EA
 EA 



  1 
L
L
L
2
1
2
3



 L
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11
Sistema de Equações
O estabelecimento das equações de equilíbrio segundo os
respectivos graus de liberdade permite determinar as
componentes do vector deslocamento do nó de aplicação da
força exterior, P
 2

EA  2
L 
 0

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
0

 u    0   u   L  1  0 
 
 
 

2  



EA 1   P 
2 v 
P
v 
2 
1



 
2  

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12
Esforços Axiais
O esforço normal em cada uma das barras pode ser calculado
por:
Ai Ei
Ai Ei
Fi 
cos i  u 
sen i  v
Li
Li
Para o conjunto das três barras tem-se:
 cos 1

 L1
 F1 
 cos 2
 
 F2   AE 
 L2
F 
 3
 cos 3

 L3
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sen1 

L1 
sen 2  u 
 
L2   v 
sen 3 

L3 
13
Esforços Axiais
ou, atendendo à relação entre comprimentos, L2=L e L1=L3=
=
2L / 2

 F1 
AE 
 
F

 2

L
F 

 3

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2
2
2
2
cos 45
cos 90
cos135
2  2 


2

sen45
2
2


0
 L




sen90  
  12      2  2  P
EA 1 2   P 



2


sen135
2

2
2




 2 

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14
Barra 2 Atinge a Cedência
em 1º Lugar
→
Os esforços calculados, que apenas são válidos enquanto
todas as barras "funcionarem" no domínio linear
elástico, permitem concluir que a barra 2 é a que suporta
um maior esforço normal, pelo que, num processo de
carregamento incremental será a primeira a atingir a
carga correspondente à tensão de cedência. A carga P (P)
que leva a que a primeira barra da estrutura (barra 2) a
Pc
atingir a carga de cedência: F2 =Pc =  2 - 2  P
P =
O deslocamento
vertical é:
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v =
2- 2
Pc
L
L
L
×  P2  =
×  12  ×
=
Pc
EA 1+ 2  EA 1+ 2  2 - 2 EA


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

15
Carga de Rotura
Pc
F1
F3
P (Pr)
A carga de rotura é atingida quando os
esforços normais F1 e F3 igualarem a
carga de cedência, Pc. A equação de
equilíbrio vertical permite escrever:
v
F
 i  0  Pc  F1 cos45  F3 cos45  P  0
Fazendo coincidir F1=F3Pc e PPr, resulta:


Pr  1  2  cos 45 Pc  1  2 Pc
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16
Cálculo dos Deslocamentos
Para forças exteriores em que se verifique P  [P,Pr[, o
cálculo dos deslocamentos nodais faz-se de modo
semelhante, mas considerando apenas as duas
barras que se
y
encontram em regime elástico.
45
L
45
1
3
Pc
x, 1
P[P,Pr[, 2
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17
Cálculo dos Deslocamentos
As componentes do vector deslocamento do nó de aplicação
da força tomam os seguintes valores:
 2
EA  2
L 
 0


0 
 0 
u 
u 
L
2  0 
   




 


P

P
P

P
v
v
EA
2
2 
 
c
c


2 
Pelo que, para uma força exterior de, P  Pr  (1 2)Pc , o
deslocamento vertical segundo o grau de liberdade 2 toma
o valor: vr  2Pc L / EA .
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18
Gráfico Carga-Deslocamento
P
Pc
1
2
1
1 2
1
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2
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LPc/EA v
19
Observações Experimentais: O
Ensaio de Tracção

Gráfico TensãoDeformação de uma liga
metálica
P
B
tensão limite elástico
A
tensão limite proporcionalidade
O
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 p e

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20
Gráfico tensão-deformação de um
aço de baixo teor em carbono

Devido à dificuldade
existente em distinguir no
ensaio todos estes
parâmetros, normalmente
apenas se refere a tensão de
cedência como a tensão
necessária para provocar
uma deformação plástica de
0,2%.
limite superior da
tensão de cedência
patamar de cedência
O
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
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21
Histerese e Encruamento
Na fase de deformação plástica, isto é, quando o nível de
carregamento corresponde a um valor para a tensão superior à
tensão de cedência, o incremento de deformação plástica é
acompanhado de um incremento de tensão, e diz-se que houve um
encruamento do material.
Regra geral, a curva tensão-deformação de descarregamento pós
deformação plástica (AA do gráfico seguinte) não é exactamente
linear e paralela à porção elástica inicial da curva. No
carregamento seguinte (curva AA) observa-se que a curva não
coincide com a curva de descarga, retomando a curva inicial em
A. Este fenómeno é conhecido por histerese não sendo
considerado no modelo descrito no presente texto
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22
Histerese e Encruamento

A
A
Gráfico tensão-deformação com
descarregamento e carregamento
O
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A

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23
Efeito de Bauschinger

D
T
Tensão de Cedência à Tracção  Y0
C
Tensão de Cedência à Compressão  Y0
T
 Y0
T
C
 Y0
  Y0
p
O
G
C
 Y0
p
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
A dependência da tensão de cedência com o
sentido de carregamento é conhecida como
Efeito de Bauschinger
D
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24
Efeito do Tempo

P
A
P
B
O
C
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A

Na Fig. representa-se um gráfico
tensão-deformação com duas
curvas obtidas em dois ensaios de
tracção realizados a velocidades
diferentes. A curva dinâmica OP é
obtida num ensaio realizado com
uma velocidade de deformação
superior à velocidade aplicada no
ensaio referente à curva quase
estática OP. Conclui-se assim, que
a velocidade de deformação com
que se realiza o ensaio de tracção
conduz a diferentes curvas tensãodeformação.
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25
Efeito do Tempo

p

O
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Outra observação importante que se verifica nestes
testes, é que, realizando-se o ensaio a uma taxa de
deformação finita, e portanto numa situação dinâmica,
se se parar no ponto A, verifica-se que o estado de
deformação tende, com o tempo, para o ponto A,
mantendo-se contudo o mesmo nível de tensão. Quando
o ponto A é atingido a velocidade de deformação é
aproximadamente nula, isto é, entre o ponto A e o ponto
A a velocidade de deformação sofreu uma variação,
cuja lei pode seguir a curva do gráfico da Fig.
t
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26
Efeito do Tempo
Em certos metais, a dependência da deformação plástica com a
velocidade de deformação pode ser razoavelmente quantificada por
r
[24]  , em que o expoente r depende da deformação plástica e da
temperatura. No quadro seguinte apresentam-se vários valores de r
para um ensaio de compressão realizado à temperatura ambiente
[21].
Metal
Valores de r para as seguintes reduções em altura
10%
30%
50%
Alumínio
0,013
0,018
0,020
Cobre
0,001
0,002
0,010
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27
Efeito da Pressão,
Humidade e Temperatura
O expoente r, definido anteriormente, de modo a quantificar a dependência da deformação
plástica com a velocidade de deformação é ainda função da temperatura, como se mostra no
quadro seguinte [21].
Metal
Alumínio
Cobre
Aço
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Temperatura
(ºC)
Valores de r para as seguintes reduções em altura
10%
30%
50%
18
0,013
0,018
0,020
350
0,055
0,073
0,088
550
0,130
0,141
0,155
18
0,001
0,002
0,010
450
0,001
0,008
0,031
900
0,134
0,154
0,190
930
0,088
0,094
0,105
1200
0,116
0,141
0,196
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28
Definição de Fluência

A
B
B
O
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
Considere-se a curva tensão-extensão
representada no gráfico da Fig. em que,
quando se atinge o ponto A da curva
localizado na região plástica, a carga é
mantida constante. Observa-se que a
deformação aumenta de A para B e o seu
valor depende do tempo de permanência da
tensão constante. Quanto maior for o tempo
de permanência da tensão constante, maior
será o alongamento verificado. O fenómeno
acabado de descrever é conhecido por
fluência (creep) [22] e para certos materiais
pode até ser verificado à temperatura
ambiente.
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29
Curvas de Fluência

c
curva de fluência para
elevada temperatura e
tensão
fluência
terciária
fluência
secundária
fluência
primária
curva de fluência a baixa
temperatura e tensão
O
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t
Considerando
a extensão de fluência
c
( ) como a extensão total menos a
inicial (em que se aplicou a tensão),
obtém-se tipicamente para os metais
uma das curvas representadas na
Fig. [24]. Na curva de fluência típica
(a traço interrompido) é possível
distinguir três estágios
correspondentes a: fluência
primária, secundária e terciária.
Para baixas temperaturas e tensões
apenas é visível o estagio de fluência
primário, verificando-se um valor
limite.
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30
Lei da Potência em Fluência
Para elevadas temperaturas e tensões a fluência primária mostra uma
dependência logarítmica ou potencial de acordo com uma das
c

seguintes leis [24]:
c
  ln(t )
 t
em que  toma valores entre 0 e 1, designando-se por lei de fluência de
Andrade para =1/3.
Segundo Nadai [29], a fluência descrita pela lei da potência pode ser obtida
a
c
partir duma fórmula que relaciona a tensão, a deformação de fluência (  ) e a
c
velocidade de deformação de fluência ( ):
c n
c r
  C 
  
em que C, n e r dependem da
temperatura
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31
Lei de Bailey-Norton
A fluência terciária é normalmente considerada como resultante de
modificações ao nível estrutural acompanhada de perda de resistência e,
eventualmente, de rotura. Segundo Lubliner [24], para um metal submetido
a elevadas temperaturas e tensões pode-se considerar como característica
desse metal a taxa de fluência mínima. Por outro lado, a dependência dessa
taxa de fluência mínima, para uma dada temperatura, pode ser aproximada
por uma lei exponencial para um elevado estado de tensão, ou, para um
estado de tensão reduzido, por uma função potencial do tipo:
c
 min
 q
Esta relação é normalmente conhecida pela lei de BaileyNorton [24], verificando-se que a expressão de Nadai
descreve esta mesma lei tomando n=0 e r=1/q.
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32
Deformação de Fluência em
função do Tempo
Uma aproximação utilizada para o cálculo da deformação de
fluência como função do tempo e para uma dada temperatura
é a seguinte:
c
c
c
 t   0   mint
c
c
em que  min
é a velocidade de fluência mínima, e  0 é um
valor fictício definido pela intercepção da recta tangente à
curva de fluência num ponto pertencente à zona em que a
taxa de fluência é estacionária.
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33
Modelo de Bingham
Para muitos materiais e a diferentes temperaturas, a
deformação inelástica é insignificante quando o nível de
tensão é inferior à tensão de cedência. Um modelo simples
que descreve este efeito é o modelo de Bingham:
   Y0
0,

    Y0  
1     ,    Y0


em que  representa a viscosidade do metal e  representa o estado de
tensão instalado. Deve-se ainda observar que o modelo de Bingham
acabado de descrever representa de facto o modelo mais simples
apresentado pela teoria da viscoplasticidade.
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34
Dependência da Tensão de
Cedência com a Temperatura

T
Os trabalhos experimentais demonstraram que
nos ensaios de tracção realizados a
temperaturas superiores à temperatura
ambiente se obtêm valores diferentes, quer para
as constantes elásticas, quer para as
propriedades de resistência, dos obtidos à
temperatura ambiente. Por exemplo, os aços ao
carbono revelam um aumento da resistência à
tracção para temperaturas até 300ºC a partir da
qual a resistência à tracção desce cerca de 50%
até temperaturas da ordem de 500 a 600ºC. De
um modo geral, para os metais, verifica-se um
decréscimo da tensão de cedência com o
aumento da temperatura [6]

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35
Combinação de Efeitos
Para os metais, a tensão de escoamento é simplesmente a tensão de
cedência para o estado uniaxial de tensão, expresso como uma
função da temperatura, do estado de deformação, da velocidade de
deformação e da microestrutura. Genericamente, também é referida
como a tensão efectiva ou tensão equivalente representando um
estado triaxial de tensões. Assim, pode-se escrever:
  f ( , ,T , )
em que  , é a tensão efectiva,  é a deformação efectiva,
é a velocidade de deformação efectiva, T é a temperatura
e, reflecte a estrutura metalúrgica do material
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36
Função de Sellars-Tegart
Existem de facto algumas expressões cujo objectivo é determinar a influência
que cada um dos termos atrás referidos provoca no valor da tensão de
cedência. Uma das funções, baseada na equação de Arrhenius [24], foi
proposta por Sellars-Tegart [23][37], permitindo analisar a influência da
temperatura e da taxa de deformação em simultâneo:
Z    exp

Q
R T  273

em que Z é o parâmetro de Zener-Hollomon, Q representa uma energia de
activação do escoamento plástico, normalmente independente da
temperatura e em muitos casos independente do estado de deformação, R é
a constante de Boltzmann (8,314 J/molºK) e T é a temperatura em ºC.
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37
Relação Tensão Efectiva Deformação
efectiva e velocidade de Deformação
Outra função para a tensão de cedência e que, contrariamente à de
Sellars-Tegart, tem em consideração o estado de deformação, através
da deformação efectiva , é a seguinte [37][38]:   K K K K
f0
T


em que K f0 é um coeficiente que depende do metal, tomando por exemplo para o aço
inoxidável valores compreendidos entre 153 e 303, enquanto os restantes parâmetros
são funções com a seguinte forma:
KT  A1 exp  m1T 
K  A2 m2
K  A3 m3
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Os parâmetros Ai e mi diferem de acordo com o tipo
de metal. Por exemplo, para o aço inoxidável tomam
os seguintes valores [17]:
A1  17,07 m1  0,00284
A2  1,647 m2  0, 217
A3  0,789 m3  0,104
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38
Relação de ALSPEN
Existem ainda outras expressões que tentam combinar os vários efeitos
que os diferentes parâmetros possam provocar nas características de
resistência, e que foram estabelecidas para um determinado tipo de
metais, como por exemplo a expressão de ALSPEN, que é adequada
para as ligas de alumínio [12]:
  c  0  0.001  m
n
em que 0 é uma função dependente da deformação efectiva, e os
coeficientes c, m e n são funções não lineares dependentes da
temperatura.
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39
Carregamento-Descarregamento

 Y  f ()
Y
p
 Y0
p

p

p
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O comportamento elasto-plástico
é caracterizado por uma resposta
do material, inicialmente elástica
e, a partir de um determinado
nível de tensão, por um
comportamento essencialmente
plástico. O comportamento
plástico do material é geralmente
acompanhado por uma
invariância do seu volume
a)
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40
Modelos Elastoperfeitamente Plástico e
elasto-plástico com endurecimento.

   Y0
 Y0

p

 Y  f ( p )
Y
p
 Y0
p
p
p

p

p

b)
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
p
c)
p
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41
Modelo Unidimensional
Na Fig. mostra-se o modelo reológico unidimensional. Aplica-se uma força
(tensão ), que provoca um alongamento do modelo (l), cujo resultado
pode ser aferido pela extensão causada
l

l0
que comporta uma componente elástica e, uma componente
plástica:
  e   p
E
 Y0

p
(1   e ) L1
p
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atrito

(1   p ) L2
p
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Plasticidade
42
Relação Tensão Deformação
O comportamento do material, isto é, a extensão causada pelo
carregamento é elástica até um determinado ponto, denominado
limite elástico (e a tensão que o provoca: tensão limite elástico ou
tensão de cedência -  Y0 ), após o qual, o material apresenta
deformação plástica. No modelo da figura, o comportamento linear
elástico é caracterizado pela constante elástica da mola E
traduzindo-se matematicamente pela expressão:
  E   e  E    p 
A deformação plástica inicia-se quando a tensão aplicada atinge o valor da
tensão de cedência (  Y0 ). O modo como se estabelece esse valor da tensão
aplicada, de modo a compará-lo com a tensão de cedência, denomina-se
critério de cedência. Na modelo considerado, a tensão de cedência
corresponde ao atrito entre as placas.
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43
Variação da Tensão de Cedência
Atingida a tensão de cedência, este valor pode, ou não, manter-se
constante com o aumento de deformação. Se esse valor não
depender do aumento da extensão plástica, diz-se que o material
tem um comportamento perfeitamente plástico. Se, pelo contrário,
o valor da tensão de cedência, aumentar com o crescimento da
extensão plástica, diz-se que o material está a sofrer um
encruamento.
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44
Tensor das Deformações
Começa-se por considerar formulações elasto-plásticas
considerando pequenas deformações. De acordo com a
teoria da elasticidade para as pequenas deformações, tem-se
o Tensor das Deformações definido do seguinte modo
ε  u 
s
 ij 
1
2
1
2
u  u 
T
u
i, j
 u j ,i 
em que  u é o gradiente dos deslocamentos, e  s u a sua
parte simétrica.
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45
Lei da decomposição
Multiplicativa
2
1
X

1
p
2
u
X
u
2
3X

p
3
F1,1 
p
p
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X
u

p
F1,1 
X  1 X  1u
X  2 X  u  1 X  2 u
X 1 X  1u
1u

1 
1X
1X
1X
2
X 2 X  u
u

1 
2X
2X
2X
3
X
F1,1 
1X
3
F1,1  F1,1  F1,1 
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Plasticidade
X 3X 3X


X
X
1
2
1X
2
46
Decomposição Aditiva
Extensão Total
1
X

1
p
2
 2
2
3
X
p
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u
u
p
X  1 X 2u

X
1
1X
X
p
X
3
   3
u
X  1 X 1u

X
1
1X
X  2 X u

1X
1X
p
        2
X  1 X 3 X  2 X 3 X  1 X 2u



1X
1X
1X
1X
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Plasticidade
47
Gradiente de Deformação e
Tensor das Deformações
Fazendo coincidir a primeira fase com o domínio elástico,
vindo a segunda fase a ocorrer no domínio plástico, ter-se-á
formalmente para o Tensor das Deformações , e para o
gradiente de deformação, F
F  FF
e
p
Fi, j  Fi,ej Fjp,i
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ε  εe  ε p
ij    
e
ij
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p
ij
48
Comportamento Elasto-plástico
Numa formulação elasto-plástica envolvendo pequenas deformações,
decompoe-se o Tensor das Deformações numa componente elástica e, numa
componente plástica, pelo que se torna conveniente estabelecer modelos
matemáticos, que traduzam os fenómenos físicos da elasticidade e da plasticidade,
separadamente.
O comportamento elástico é descrito pela teoria da elasticidade, importando agora
definir o modelo matemático para a componente plástica das deformações. Com esse
objectivo, três aspectos devem ser considerados:
i) Um critério de cedência indicando o nível de tensão, em termos do
tensor das tensões, de modo a analisar-se o início da plastificação;
ii)Uma lei de encruamento, descrevendo, se e como, o critério de cedência
depende do grau de deformação plástica, depois de se iniciar a plastificação;
iii)Uma regra de escoamento, definindo a relação entre tensão e
deformação pós-plastificação, comportando a deformação total, as componentes
elástica e plástica.
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49
Funções de Cedência
O aparecimento do comportamento plástico é condicionado por um
critério de cedência, que na sua forma mais geral, pode ser
formulado do seguinte modo
F σ, α  0
em que ´ indica um conjunto de variáveis de endurecimento e
 é o tensor das tensões. Para um material isotrópico, em que a
cedência plástica dependa unicamente da grandeza das tensões
principais, e nunca das suas orientações no espaço das tensões, a
função escalar F torna-se apenas dependente de um valor escalar,
conhecido por parâmetro de encruamento –.
F σ,   f σ    Y    0
em que f () é a função de cedência
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50
Espaço de Westergaard
A função de cedência pode
tomar várias formas
analíticas com representação
geométrica no espaço
distintas. Tratando-se de
uma função de tensão pode
assumir-se como espaço para
a respectiva representação
geométrica, o espaço de
tensões de Westergaard [3],
em que três eixos
mutuamente ortogonais são
coincidentes com as
direcções principais de
tensão
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51
Considere-se um ponto material com um estado de tensão representado pelo ponto P e
resultante de um incremento traduzido pelo vector OP . Este vector é decomposto num
vector com a direcção OO ( OP ), que coincide com o eixo em que as três tensões
principais tomam o mesmo valor, e num outro cuja linha de acção se encontra sobre o
plano normal a OO ( OP ). No caso de se admitir que a pressão hidrostática não tem
qualquer efeito na cedência do material, esta dependerá somente da intensidade, direcção e
sentido do vector OP , ou seja, das tensões de desvio
Admitindo que a função de cedência é independente do referencial escolhido
então possível expressá-la em função dos três invariantes das tensões:
ndim
,é
I1  tr σ    ii
I2 
I3 
1
2
1
3
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tr  σ 2  
tr  σ 3  
1
2
 ij ji
1
3
 ij jk ki
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52
Invariantes das Tensões
de Desvio
Com base em observações experimentais, é possível concluir que a deformação plástica, ou
seja, a função de cedência dos metais, não depende da pressão hidrostática, p
Consequentemente, a partir da definição das tensões de desvio
s  dev σ   σ  13 tr σ  I2
sij   ij  13  kk ij
a função de cedência apenas depende do segundo e terceiro invariantes das tensões de
desvio:
J2 
1
2
tr  s 2  
1
2
sij s ji
J3 
1
3
tr  s3  
1
3
sij s jk ski
Com base nestes dois invariantes é possível estabelecer um outro, cuja interpretação
geométrica se verá adiante
3

3  J3 
1
1
  sen  
 ;


3
3
 2 J2 
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 π
π
   ,  
6
 6
53
Projecção de duas superfícies de
cedência no plano do desviador.
3
Outra forma de
representação geométrica
da superfície de cedência é
através das projecções
ortogonais dos eixos das
tensões no plano normal a
OO.
1
2
Na figura encontram-se representadas duas superfícies de cedência: uma
corresponde, no espaço das tensões principais, a um cilindro; outra, no mesmo
espaço, corresponde a um prisma. O plano de corte dos objectos geométricos, e que
coincide com o plano do papel designa-se plano do desviador.
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54
Função de Cedência
Atendendo a
F σ,   f σ    Y    0
pode-se concluir que, se num determinado ponto de um corpo material deformável, se
verificar a inequação f (σ )   Y ( ) , o corpo nesse ponto apresentará um comportamento
elástico
Se, por outro lado, se verificar a igualdade f (σ)   Y ( ) , o comportamento será plástico.
Atingido este estado, o comportamento subsequente desse ponto material, será
T
condicionado pela variação de f relativamente a σ ,
 f 
df    d 
  
em que f  é um vector normal à superfície de cedência
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55
Condição de ortogonalidade no
espaço das tensões 1-2
 f 
df    d 
  
T
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56
Condição de ortogonalidade no
espaço das tensões 1-2
De um modo sucinto, pode-se concluir o seguinte:
 Se df < 0, indica que se está perante uma situação de descarregamento
elástico. O estado de tensão situa-se no interior da superfície de cedência,
retomando o material, um comportamento elástico;
 Se df = 0, indica que o estado de tensão atingiu a superfície de cedência, o
que corresponde a um regime plástico, se o material apresentar
comportamento perfeitamente plástico ( constante);
 Se df > 0, indica que o estado de tensão se mantém sobre a superfície de
cedência, não se mantendo esta constante. É o que acontece no
comportamento dum material com encruamento.
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57
Critério da Tensão
Principal Máxima
F σ,   1   Y  
Ou em termos dos invariantes
I1 2
F  σ,    
J 2  sen   23 π    Y  
3
3
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58
Critério de Tresca
Este critério, postulado por Tresca em 1864 , baseado em resultados
experimentais, admite por hipótese, que a deformação plástica num
ponto material, ocorre sempre que a tensão tangencial máxima
atinge um determinado valor limite.
1   2   Y    Y  
1   3   Y    Y  
 2   3   Y    Y  
em que Y() é uma função característica do material obtida com
base no ensaio de tracção uniaxial, e que depende da deformação
plástica.
F σ,   1   3    Y   para 1   2   3
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59
Representação gráfica das superfícies de
cedência de Tresca e von Mises
Graficamente, as expressões
anteriores definem, no
espaço das tensões
principais, um prisma
hexagonal regular e
infinitamente longo, cujo
eixo é perpendicular ao
plano do desviador, ,
representado pela equação
1   2   3  0
Função de Tresca em Termos dos
Invariantes
F  σ,   2cos  J 2   Y  
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60
Critério de Mohr-Coulomb
Pirâmide Hexagonal
O critério de Mohr-Coulomb é utilizado para representar o comportamento
dos materiais granulosos dotados de atrito interno, tendo-se no entanto
verificado que estes materiais atingem em geral um estado de cedência
plástica à tracção antes de se ter atingido a superfície de Mohr-Coulomb.
F  σ,   
1
1
 1   3    c  cos   1   3   sen 
2
2


Com o objectivo de ter em conta estes resultados, Prandtl propôs em 1921
uma superfície de cedência obtida a partir da de Mohr por substituição do
vértice da pirâmide por uma superfície parabólica, conhecida por
superfície de cedência de Mohr-Prandtl e que se pode representar
matematicamente pela seguinte função:
1
2
1
1
2


F  σ,   1   2   c 1   tang   1   3   tang 
2
c


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Energia de Deformação
Elástica por unidade de Volume
Dilatação média
m
m
Deformação de Desvio
1
  ii
3
m

3k
  ij   m ij
d
ij
 
d
ij
1
U 0   ij  ij
2
 ij 
sij
2
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
m
3k
sij
2

1  1
1
U 0   ij 
sij   m ij 
2  2
3k

1
1 2
U0 
sij sij   m
12
2k
 ij
U0 
1
1
J 2   m2
2
2k
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62
Critério de Beltrami
Beltrami apresentou em 1885 um critério de cedência que estabelece para o
início da deformação plástica o estado de tensão que corresponde a um valor
crítico da energia de deformação elástica por unidade de volume
Este valor crítico pode ser obtido
para uma estado de tensão uniaxial,
resultante do ensaio de tracção:
U 0 critico
 Y2    Y2  


6
18k
1
1
J 2   m2  U 0 critico
2
2k
 1
1
1 2
1  2
F
σ
,


J






2
m

  Y  
ou
2
2k
 6 18k 
F  σ,   
No espaço de Westergaard esta condição de cedência representa-se por uma
superfície elíptica com simetria circular em relação ao eixo hidrostático.
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63
Critério de von Mises
Von Mises formulou um critério de cedência em 1913, sugerindo que a
cedência ocorre quando o segundo invariante das tensões de desvio atinge
um valor crítico:
J2 
1
2
    0
em que( ), dependente do parâmetro de endurecimento
() é o raio da superfície de cedência.
 = 3J 2 = 3 2 s :s = 3 2 sij sij
 - Y   =0
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64
Representação das projecções das
superfícies de
Tresca e de von Mises.
3
von Mises
(J2=constante)
1
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Tresca
(máx=constante)

2
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65
Interpretação do Critério
de von Mises
Existem duas interpretações físicas possíveis para o critério de
von Mises. Uma, dada por Nadai (em 1937), que introduziu o
conceito de tensão de corte octaédrica,  oct = 2 3 J 2, que é a tensão
de corte nos planos do octaedro regular, cujos vértices coincidem
com os eixos principais de inércia. Outra interpretação, dada por
Hencky (em 1924), mostra que a cedência ocorre quando a
energia elástica de distorção atinge um valor crítico.
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Critério de Drucker-Prager
(cone de revolução)
Ainda para aplicação ao comportamento de materiais granulosos dotados de
atrito interno existe uma outra função de cedência utilizada com alguma
frequência e que corresponde à superfície de cedência de Drucker-Prager
cuja expressão matemática é a seguinte
F  3 m  J 2  k   0
em que os coeficientes  e k  são constantes do material e
que dependem do ângulo de atrito interno () e da coesão
(c):
6c  cos
2  sen

k 
 
3   3  sen 
3   3  sen 
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67
Critério de Green
Para materiais com fendas interiores ou materiais porosos,
Green apresentou uma superfície de cedência que é função
do coeficiente de porosidade do material
2
2
 32 4  
2
3
F  2  ln   m  3   3  J 2   Y
 31   

 
em que  é o coeficiente de porosidade sendo definido do seguinte modo
volume de vazios
 
volume total
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68
Regra de Encruamento
A regra do encruamento estabelece as condições para que um novo
escoamento plástico possa ocorrer, depois de se ter atingido o estado
plástico do material. Esta situação verifica-se em virtude da
superfície de cedência poder sofrer contínuas alterações à medida
que se dá o escoamento plástico
Na expressão
F σ, α  0
introduziu-se um conjunto de variáveis de endurecimento contidas num vector, α .
Basicamente, existem dois tipos de aproximações para a dependência de qualquer
variável interna de endurecimento i α , (1  i  nendurecimento )
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69
Variáveis de Encruamento
i)
Se uma variável de endurecimento é assumida como dependente da deformação
plástica efectiva, isto é,  i =  i( p ) , diz-se que ocorre deformação com encruamento, em
que a deformação plástica efectiva,  p , é definida do seguinte modo
p
2
3
εp :εp 
2
3
 ijp ijp
Esta deformação plástica efectiva «reflecte a história» do processo de
deformação plástica, na medida em que estabelece que o endurecimento é
determinado por cada parcela infinitesimal de deformação plástica, e não
simplesmente pelo seu estado inicial e final:

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p

 d
d
 
dt 
dt
0
t
p
p
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 ijp

2
3
d d
p
ij

p 12
ij
0
70
Variáveis de Encruamento
ii)
A segunda possibilidade designa-se por endurecimento energético, e relaciona a
variável de endurecimento com o trabalho plástico total, i = i (W p ) , em que
p
 ijp
0
0
W p   σ : dε p    ij d ijp
Segundo Nayak e Zienckiewicz para o caso dos materiais em que seja possível
aplicar o critério de von Mises, os dois modelos de endurecimento descritos são
equivalentes, ou seja, as curvas obtidas no ensaio de tracção conduzem ao mesmo
nível de encruamento.
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71
Modelos de Encruamento (I)
Se a superfície de cedência subsequente, provocada pelo incremento de deformação
plástica, é exclusivamente uma expansão uniforme da superfície de cedência precedente, o
modelo de encruamento é designado de isotrópico
Encruamento isotrópico
para o caso
bidimensional
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Superfície
de cedência
corrente

Superfície de
cedência inicial
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
72
Modelos de Encruamento (II)
Se a superfície de cedência subsequente, mantiver a mesma forma, mas simplesmente for
transladada no espaço das tensões como um corpo rígido, o tipo de encruamento diz-se
cinemático
Encruamento Cinemático
para o caso Bidimensional
Este modo de encruamento, apresentado
inicialmente por Prager, surgiu com o
objectivo de modelar um fenómeno bem
visível experimentalmente, o efeito de
Bauschinger, muito corrente em materiais
sujeitos a regimes de carregamento cíclico
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73
Modelos de Encruamento (III)
Endurecimento distorcional, em que se admite a expansão, a translação e a rotação da
superfície de cedência, ou inclusive a mudança de forma
Encruamento
Distorcional para o
caso Bidimensional
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74
Variáveis no Encruamento
Isotrópico e cinemático
Com o objectivo de modelar matematicamente os dois primeiros modos de
encruamento, admite-se que a escolha das variáveis de endurecimento no vector α , pode
ser a seguinte:
T

α 

 , σ 
p
b
p

em que, o valor escalar da deformação plástica efectiva  p é suficiente para a definição de
qualquer tipo de endurecimento isotrópico, enquanto que o tensor, σ b , usualmente
conhecido por tensor das tensões de recuperação é necessário para a descrição do
endurecimento cinemático. A tensão de recuperação observa-se graficamente pela
translação no espaço das tensões do centro da superfície de cedência, tendo portanto a
mesma dimensão do tensor das tensões.
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75
Função de Cedência
Encruamento Isotrópico e Cinemático

F  σ, α    f σ  σ b  
p

  Y 
Encruamento Isotropico
p

 0
 Y   Y0  h  
p
d Y  H   
p
em que, H  é a derivada da função geral h, relativamente a  p .
p
 d


 Y   Y0   H   H 0  1  exp  n  p 
 Y   Y0  H p

Encruamento Cinemático
dσb 
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2
K  
3
p

d
p
F
σ k
com
σ k  σ  σb
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76
Curva tensão-deformação de um
ensaio de tracção uniaxial
Tendo em atenção novamente o ensaio de tracção, mostra-se na Fig.
uma curva típica de um ensaio de tracção dum provete metálico

A curva resulta das
medidas de 1e  1 , em
que o índice 1 indica a
direcção para a
primeira direcção
principal
d
ET
d p
d
 Y0
E
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d e
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
77
Ensaio de Tracção
No ensaio de tracção tem-se, por hipótese,  1  0 e  2   3  0 , vindo a tensão
média  m   ii 3   1 3 . As tensões de desvio segundo as direcções principais são:
s1  23 1;
s2  s3   13 1
Utilizando o critério de von Mises e por conseguinte, substituindo estas tensões de desvio
na expressão para o cálculo da tensão efectiva
 
3
2
 s1 s1  s2 s2  s3 s3 
 1
De modo análogo para a deformação plástica efectiva, em que se assume a
incompressibilidade do material (=0,5), e consequentemente, as outras duas deformações
plásticas principais são  2p   3p  -0,51p , resultando:
p
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2
3

   2p  2p   3p  3p   1p
p p
1 1
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
78
Ensaio de Tracção
Então, para que a expressão que relaciona  - p , seja válida para  1 -1p , pode-se
relacionar facilmente  1 com 1p , e assumir essa relação como válida para o caso geral
 - p , isto é
H   p  
d 1
d

d p
d 1p
A tangente local à curva tensão-deformação, ET , calcula-se a partir da curvatura obtida no
d 1
d
ensaio:
ET =

d
d 1
O módulo de encruamento pode-se obter, em função desta tangente, do seguinte
modo:
d 1
H  
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p
  dd
1
p
1

d 1

e
d 1  d 1
d 1
ET
ET


d 1 E 1  ET E
d 1e
1
1
d 1 ET
d 1
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
79
Teorias do Escoamento
Plástico
No estudo do comportamento dos materiais em regime plástico existem duas
formulações em que se baseiam as relações constitutivas:
- admite a influência da trajectória de carregamento e
portanto relaciona o tensor das tensões aos
incrementos de deformação plástica;
Teoria incremental
- relaciona o tensor das tensões com o tensor das
extensões.
A primeira formulação (teoria incremental) serve de base à denominada teoria do
escoamento plástico, enquanto que a segunda (teoria da deformação total) suporta a teoria
da deformação plástica. De uma forma geral, o estado de deformação plástico depende da
trajectória do carregamento, coincidindo ambas as teorias para o caso em que o
carregamento apresenta uma trajectória linear. Todavia, a teoria da deformação plástica,
embora ignore a influência da trajectória de carregamento, é frequentemente utilizada, pois
a sua aplicação simplifica consideravelmente a solução de problemas em plasticidade
Teoria da deformação total
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Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
80
Postulado de Drucker

p 0
 0
 0
 0
Ilustração para um
modelo uniaxial

 p  0  processo de encruamento
 0
 0
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 0
 p  0  material perfeitamente plástico
 p  0  processo de amaciamento
p 0
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
81
Postulado de Drucker
Para um ponto material submetido a um estado de tensão  e a um estado de
deformação plástico  p , o produto  p corresponde, em termos dimensionais, à energia
por unidade de volume. Considere-se então um estado de tensão uniaxial cujo valor é  a
que corresponde a deformação plástica  p . Admita-se um incremento de carga, que
conduz a um incremento de tensão (d), provocando um incremento de deformação d, o
qual pode ser decomposto numa componente elástica d e e, numa plástica d p (sendo
portanto o incremento total de deformação: d  d e  d p ). Seguidamente procede-se ao
descarregamento desse incremento de carga. O trabalho efectuado pelo incremento de
carga vale:
e
p
d  d  d  d  d

Admita-se agora um processo cíclico de carregamento-descarregamento, partindo-se do
mesmo estado inicial de tensão () e deformação plástica (  p ). O trabalho desenvolvido
pelo sistema que actua sobre o sólido neste ciclo de carregamento-descarregamento
p
depende apenas da parcela plástica do incremento de deformação:
d d
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Plasticidade
82
Postulado de Drucker
Por outro lado, e para os referidos incrementos de tensão e deformação, verifica-se que o
trabalho correspondente à parcela elástica do estado de deformação ( d d e ) é sempre
positivo, enquanto que o trabalho correspondente à parcela plástica do estado de
deformação pode tomar um valor maior ou igual a zero. Desta forma, para o estado de
deformação total resulta que: d d  0 . Assim, Drucker definiu que um material é
susceptível de encruar com o incremento do estado de deformação plástica se, para um
carregamento incremental o trabalho desenvolvido for positivo e, no processo de
carregamento–descarregamento o trabalho realizado for não negativo. A definição acabada
de descrever é conhecida na literatura como o postulado de Drucker, vindo para um estado
geral de tensão/deformação
d ij dij  0
d ij dijp  0
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Plasticidade
83
Postulado de Drucker
O postulado de Drucker acabado de descrever e em que um incremento de carga
provoca um incremento infinitesimal de tensão, também pode ser estendido para um
incremento de tensão finito. Em particular, para o caso em que o estado de tensão inicial
(  ij* ) se encontra no interior da superfície de cedência e o estado de tensão final (  ij ) está
sobre a superfície de cedência. Admitindo então um incremento de carga que conduza o
estado de tensão de  ij* para o estado de tensão  ij e subsequentemente um
descarregamento que conduza novamente o estado de tensão para  ij* , o postulado de
Drucker implica a seguinte relação:

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ij

*
ij

d
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
p
ij
 0
84
Postulado da Dissipação
Plástica Máxima
Para um estado de Tensão uniaxial pode escrever-se
   
*
d p  0
Esta desigualdade representa a propriedade de que a variação de extensão é positiva
se o valor do estado de tensão final não for inferior ao estado de tensão inicial elástico.
Esta interpretação constitui o postulado da dissipação plástica máxima e que, segundo
Lubliner foi proposto independentemente por von Mises em 1928, por Taylor em 1947 e
por Hill em 1948. Utilizando uma abordagem em termos do espaço das deformações, temse um postulado análogo devido a Ilyushin.
Esta expressão tem importantes consequências na teoria da plasticidade. Considere-se por
exemplo, que a superfície de cedência é diferenciável em todos os seus pontos, como
ocorre na superfície correspondente ao critério de von Mises.
Desta forma, num qualquer ponto pertencente à superfície de cedência é possível definir
um plano tangente à superfície e um vector normal a esse plano
   * d p  0

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
85
Normalidade do vector
incremento de deformação
d p

*
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 - *
Para que o produto interno possa
ser válido para um estado de
tensão elástico inicial arbitrário,
o vector correspondente ao
incremento de deformação
plástica , deve ser normal ao
plano tangente à superfície e com
o sentido a apontar para fora da
superfície. A descrição acabada
de descrever é conhecida como a
regra da normalidade
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
86
Convexidade da superfície de
cedência
No entanto, como se pode
verificar na se o estado de
tensão inicial se encontrar do
outro lado do plano tangente a
inequação é violada. Deste
modo, toda a região elástica se
encontra do mesmo lado do
plano tangente, pelo que se
pode concluir que a superfície
de cedência é convexa.
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*
d p

 - *
A regra da normalidade, bem como a
conclusão acerca da convexidade da
superfície de cedência são
consideradas propriedades
consequentes do postulado da
dissipação plástica máxima.
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
87
Potencial Plástico e Regra
de Escoamento
Na teoria do escoamento plástico relaciona-se incrementos infinitesimais de tensão com
incrementos infinitesimais de deformação. O incremento infinitesimal de deformação total
dε é igual à soma dos incrementos infinitesimais correspondentes a uma componente
elástica dε e e a uma componente plástica
dε  dεe  dε p
dij  dije  dijp
Lévy (1871) e mais tarde von Mises (1913) propuseram que o incremento total de
extensão se relaciona com o respectivo estado de tensão da seguinte forma:
dε  d s
d  d sij
em que  é um coeficiente de proporcionalidade e que pode eventualmente variar ao longo
do processo de deformação plástica. Naturalmente, que a expressão só seria aplicável em
materiais cujo processo de deformação não inclua componente elástica (Hill denomina-os
de materiais fictícios
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Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
88
Potencial Plástico e Regra
de Escoamento
No entanto, admita-se a aplicação de equação anterior a um material cujo processo
deformação inclua também componente elástica. Para esta situação suponha-se que à
componente elástica do incremento de deformação é aplicável a lei de Hooke e que à
restante parte do incremento de deformação (componente plástica) se aplica a expressão
anterior. Deste modo, o incremento infinitesimal de extensão total pode então ser
calculado por intermédio da seguinte expressão:
 1 
3

d ij   d ije    d ijp   
d



ij m     d sij 
 ij
1 

 2 
O trabalho de deformação correspondente ao incremento de deformação plástica
vem:
dW p   ij d ijp   ij d sij  d  sij   ij m  sij  d sij sij  2d J 2
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Plasticidade
89
Trabalho de Deformação Plástica
dW p   ij d ijp   ij d sij  d  sij   ij m  sij  d sij sij  2d J 2
Donde
dW p
3dW p
d 

2J 2
2 2
Tendo em conta
d ij   d
Obtém-se
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e
ij
   d 
p
ij
 1 
3

 
 ij m     d sij 
 d ij 2

1





p
1 
3
 3dW
d ij 
 ij m  
sij
 d ij 
2 
1 
2

Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
90
Admitindo que o incremento de deformação elástica é desprezável, quando comparado
com o incremento de deformação total, pode-se calcular o incremento de deformação total
do seguinte modo
dij  d sij
d xx 
d
d yy 
d zz 

d

d

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
xx
 12  yy   zz 

 yy  12  zz   xx  

zz
 12  xx   yy 

d xy 
3 d
 xy
2 
d xz 
3 d
 xz
2 
d yz 
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
3 d
 yz
2 
91
A lei do escoamento plástico pode ser obtida por uma outra via, em que se considera que o
incremento de deformação plástica deriva de uma função potencial. Entende-se por função
do potencial plástico Q(σ ) a função escalar do tensor das tensões a partir da qual os
incrementos de deformação plástica podem ser determinados por derivação parcial em
ordem às componentes do tensor das tensões
dQ
d ε  d
σ
p
d ijp  d
Q
 ij
em que o escalar d, é uma constante de proporcionalidade maior que zero, denominado
multiplicador plástico.
Do mesmo modo, como se fez na validação do incremento da tensão de recuperação,
assume-se também aqui uma lei da plasticidade associativa, isto é, a função de cedência
coincide com o potencial plástico, Q  F .
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Plasticidade
92
Lei Associativa e Lei não
Associativa
Note-se que, para outros materiais, como por exemplo, em solos, a aplicação
de regras de escoamento plástico fazendo uso da lei não associativa em
simulações numéricas, conduz a resultados mais realistas.
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Plasticidade
93
Plasticidade Anisotrópica
Em processos tecnológicos relacionados com a conformação em
chapa, considere-se a direcção de rolamento (RD) e a direcção
transversal à direcção de rolamento, ou simplesmente direcção
transversal (TD). As propriedades Mecânicas podem
ser distintas.
Rolo
RD
TD
1
3
2
Direcções de Anisotropia
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Plasticidade
94
Critério de Hill
Tensão Equivalente
F   2   3   G   1   3   H  1   2 
2
2
2
em que F,G, e H são constantes do material que caracterizam a anisotropia
Para um estado uniaxial de tensão, correspondente ao ensaio de tracção, a direcção
da tensão coincide com a direcção principal 1 (sendo o estado de tensão representado por
 1    0 ,  2   3  0 ), obtendo-se:
F  0  0   G   0   H   0    G  H   2
2
2
2
Igualando a expressão inicial ao segundo membro da segunda obtém-se a tensão
equivalente para o critério de cedência de Hill (em função das tensões principais)
2
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F
G
H
2
2
2
 2   3  
 1   3  
 1   2 
GH
GH
GH
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Plasticidade
95
Incremento de Deformação
Plástica
Fazendo uso da lei associativa, tomando portanto para potencial
plástico a própria função de cedência e utilizando a expressão
anterior para a regra de escoamento, obtém-se para os incrementos
de deformação plástica (segundo as três direcções principais):



d 2p  d
d 3p  d
d1p  d
 2
 3
 1
Resultando para uma estrutura tipo casca e tomando
d G 1  H  1   2 
posteriormente  3  0
d p 

1
d 2p 
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d F 2  H  2   1 

GH
GH
d G 1  F 2
d  
 GH
p
3
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
96
Provetes para ensaios
Experimentais
Os valores associados às constantes do material F,G, e H terão que ser
determinados experimentalmente. sendo as constantes determinadas de
forma indirecta, por recorrência à condição de normalidade, e em que são
determinados os cocientes entre extensões obtidas em ensaios de tracção.
Para o efeito são efectuados provetes a partir da própria chapa como se
mostra na Fig.
B

TD
RD
A
1
2
3
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97
Coeficientes de Anisotropia
Tomando um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção RD
(provete A na Fig.), define-se coeficiente de anisotropia (R) segundo a
direcção RD como sendo:
p
p
dTD d 22
RRD  p  p
d esp d 33
Para um provete cuja direcção longitudinal coincida com a direcção TD
(provete B), coeficiente de anisotropia segundo a direcção TD vale:
p
d RD
d11p
RTD  p  p
d esp d 33
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Plasticidade
98
Coeficientes de Anisotropia
Para uma direcção arbitrária, definida pelo ângulo , o coeficiente de anisotropia resultará
do cociente entre a componente do incremento de deformação d p , ocorrida no plano da
chapa e medida na direcção perpendicular à direcção de tracção, e a componente do
incremento de deformação verificada na direcção da espessura ( d 33p )
d p
R 
d 33p
Considerando as componentes do incremento de deformação estabelecidas no referencial
definido pelo eixos RD, TD e 3, obtém-se para o coeficiente de anisotropia R
R 
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1
2
 d
p
11
 d 22p   12  d11p -d 22p  cos  2    d12p sin  2  
d 33p
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
99
Coeficientes de Hill
A relação entre os coeficientes de anisotropia, RRDe RTD, e as
constantes do material presentes no critério de Hill (F,G e H)
pode ser obtida com base no ensaio de tracção e recorrendo
às expressões que definem as deformações plásticas. Para o
caso em que o provete é executado de modo a que seja
esticado (por aplicação de uma tensão de tracção ) segundo a
direcção RD tem-se:  1    2   3  0
p
F  2  H   2  1  H
dTD
d 22p
R 0  R0  p  p  

d 33 d 33
F  2  G 1
G
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Plasticidade
100
Coeficientes de Hill
Para o caso em que o provete é executado de modo a que seja esticado segundo a direcção
TD tem-se:  2   ,  1   3  0
p
d RD
d11p
G  1  H  1  H 2 H
R 90  R90  p  p  

d 33 d 33
F 2  G  1
F
É ainda usual considerar-se o caso em que o provete é executado de modo a que a
aplicação da tensão de tracção  se efectue segundo uma direcção a 45º com a direcção de
laminagem R 45  R45 .
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Plasticidade
101
Modelo Constitutivo
Elasto-Plástico
F  σ,
p

 f  σ    Y 
p
0
Gradientes da função de cedência e do potencial plástico,
a
aQ =
2
3
F
;
σ
aQ 
aQ : aQ =
dε  dε  dε
e
p
dε  C : dσ  d aQ
1
4
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2
3
Q
σ
aij =
F
;
 ij
a  a 
Q ij
Q ij
 aQ  =
ij
Q
 ij
d p =d aQ
dij  dije  dijp
-1
d ij = Cijkl
d kl  d  aQ 
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
ij
102
Modelo Constitutivo
Elasto-plástico
Estado de Tensão
dσ  C 4 :  dε  d  a Q 

d ij = Cijkl d kl -d  aQ 
dF  a : dσ  H d  0
p
d p 
1
a : dσ
H
d aQ 
1
a : C 4 :  dε  d a Q 

H
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kl

dF = aij d ij -H d p =0
1
a : dσ
H
1

 1
d  aQ 
a : C4 : aQ   a : C4 : dε

H

 H
d aQ 
Mecânica dos Sólidos não Linear
Plasticidade
103
Modelo Constitutivo
Elasto-plástico
a : C4 : dε
a : C4 : dε
d 
H
H aQ  a : C4 : aQ
H aQ  a : C4 : aQ
1
H
d 
aij Cijmn d mn
H aQ  aij Cijmn  aQ 
mn
dε  C : dσ  d aQ
1
4
dσ  Cep
4 : dε
ep
4
C = C4 -
ep
ijkl
C4 :aQ  a : C4
aQ H +a:C4 :aQ
C = Cijkl -
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Cijmn  aQ  aop Copkl
mn
aQ H   aqr Cqrst  aQ 
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Plasticidade
st
104