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3
MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
1. C
Redução de pelo menos 25% significa que o valor
calórico máximo de um produto light deve ser
3
do valor calórico do produto
1 – 0,25 = 0,75 ou
4
normal.
5. C
100
≅ 3,7, o total gasto com blu-ray é de
27
100
4 ⋅ 138 = R$ 552,00 e ainda
≅ 213
, e, portan4,7
to, o gasto com DVD é de 22 ⋅ 2 = R$ 44,00. A economia com DVD é de 552 − 44 = R$ 508,00.
Calorias Valor
Calorias
(produto máximo
(produto
Medida
tradicio- para ser
light)
light
nal)
6. A
Verificando as alternativas:
A) Correta. O custo de uma lâmpada fluorescente
700
é de
= 35 reais, o que é cerca de 20 vezes o
20
preço
de
uma
lâmpada
incandescente
Alimento
Leite de coco
100 mL
240
180
150
Leite em pó
20 g
99
74,25
63
Cerveja
350 mL
160
120
140
Geleia de
laranja
15 g
34
25,5
6
Doce de leite
20 g
64
48
30
Pão de forma
1 fatia
72
54
56
Refrigerante
sabor cola
350 mL
136
102
1,5
Queijo minas
frescal
30 g
56
42
46
⎛ 36 = 180
, reais⎞⎟ e menos da metade de uma
⎜
⎝ 20
⎠
⎛ 1 500
⎞
lâmpada LED ⎜
= 75⎟ .
⎝ 20
⎠
B) Incorreta. De acordo com a tabela, uma lâmpada fluorescente acesa 10 horas por dia gasta, por
1 944
ano,
⋅ 10 = 64, 8 kWh.
10 ⋅ 5 ⋅ 6
C) Incorreta. De acordo com a tabela, uma lâmpada incandescente acesa 10 horas por dia gasta,
2 628
por ano,
⋅ 10 = 87, 60 reais.
10 ⋅ 5 ⋅ 6
D) Incorreta. Como foram trocadas em 5 anos
110 lâmpadas incandescentes e 14 fluorescentes, podemos afirmar que estas últimas duram
110
≅ 8 vezes mais que as incandescentes.
14
E) Incorreta. O consumo de energia com lâmpadas
incandescentes foi de 6 480 kWh, já com lâmpadas LED, de 1 080 kWh, o que representa um con1 080
sumo
≅ 16,7% menor.
6 480
Assim, a cerveja, o pão de forma e o queijo minas
são erroneamente classificados como light.
2. B
O tempo em que Osvaldo manteve o chuveiro totalmente aberto para se enxaguar foi de 6min54s
− (1min18s + 3min36s) = 6min54s − (4min54s)
= 2 min.
Note que 1min18s = 1,3 min, então, Osvaldo gastou 1, 5 ⋅ 1, 3 + 10, 8 ⋅ 2 = 23, 55 L.
3. A
Se b é o preço final e a é o preço inicial, temos que
b −a
.
a variação é b − a e o aumento percentual é
a
7. D
Assim, os aumentos foram:
103,33 − 65,67
37,66
=
= 0,57 = 57%
65,67
65,67
B:
109,50 − 73,30
36,20
=
= 0,49 = 49%
73,30
73,30
C:
100,00 − 64,50
35,50
=
= 0,55 = 55%
64,50
64,50
8. D
Portanto, o maior aumento foi de A e o menor foi
de B.
54
O total de DVDs é de
≅ 115
, , ou seja, são necessários 12 DVDs. 4,7
ETAPA
140
4. E
A:
Como
O total de investimento será de 408 ⋅ 75
= 30 600 reais. Como a empresa economizará
0,15 ⋅ 6 000 = 900 reais por mês, o investimento
30 600
será compensado em
= 34 meses.
900
I. Correta. Meio pacote de biscoito tem 90 g. Se
em 30 g temos 7% da quantidade diária, então em
90 g teremos 3 ⋅ 7%, ou seja, 21%.
II. Incorreta. Segundo a tabela, 30 g de biscoitos
têm 137 kcal = 575 kJ. Então, para 180 g, teremos
6 ⋅ 137 kcal = 822 kcal ou 6 ⋅ 575 kJ = 3 450 kJ.
III. Incorreta. A quantidade diária de gorduras satu100
radas é 2,1 ⋅
= 21 g e a quantidade diária de fi10
100
bra alimentar é 0,7 ⋅
≅ 23,33 g.
3
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1
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10. E
A porcentagem da variação é a variação (incidência
de 2007 menos a incidência de 1997) dividida pela
i
− i 1997
.
incidência de 1997, ou seja, V = 2007
i 1997
Calculando a porcentagem da variação para a
curva 1, temos:
27,4 − 32,3
≅ −0,152 = −15,2%. Para 2, teV1 =
32,3
23,3 − 26,1
mosV 2 =
≅ −0,107 = −10,7%. Para 3,
26,1
16,3 − 15,6
temosV 3 =
15,6
8,2 − 4,4
≅ 0,045 = 4,5%. Para 4, temosV 4 =
4 ,4
≅ 0,864 = 86,4%.
Mantido o índice de mortalidade, o número de
mortos em 1980 seria de 1725
,
⋅ 10 −6 ⋅ 25 ⋅ 10 6
≅ 43 mortos.
11. E
A) Falsa. Segundo a tabela, o investimento em biodiesel e comércio atacadista e varejista é de
687 693 ⋅ 1 000 + 356 406 ⋅ 1 000 = 1 044 099 000.
B) Falsa. Segundo a tabela, o número de projetos
em higiene, beleza e limpeza é de 37 e o número de
projetos em álcool/açúcar é 74. Logo o número
de projetos em álcool/açúcar é o dobro do número de projetos em higiene, beleza e limpeza.
C) Falsa. Segundo a tabela, o investimento em atividades mineral e beneficiamento representa
4 313 377
≅ 47,3% do investimento em álcool e
9 121 223
açúcar.
D) Falsa. Segundo a tabela, o número de projetos
197
em alimentos e bebidas representa
≅ 18%
1 109
do total.
E) Verdadeira. Segundo a tabela, o número de pro74
jetos em álcool e açúcar representa
≅ 6,7%
1 109
do total de projetos.
12. B Do primeiro ao quarto mês, o volume aumentou de
12 000 L para 16 000 L de maneira linear, ou seja,
representado por um segmento de reta.
13. B Como 60% dos 90 funcionários representa 54 fun-
cionários que têm rinite, sendo m o número de mum
lheres e
o número de homens, temos que
2
m
m+
= 54 ⇔ m = 36.
2
14. E
2
Na primeira fatura, foram pagos 10% de R$ 550,00,
ou seja, R$ 55,00, ficando o cliente devendo
R$ 550,00 − R$ 55,00 = R$ 495,00. Como nesse último valor há um acréscimo de 10%, o valor da fatura
do mês seguinte é R$ 495,00 + 10% de R$ 495,00
= R$ 544,50. Desta vez, o cliente pagou 10% de
544,50 = R$ 54,45, ficando com um saldo devedor
de R$ 490,05, em que novamente incidirá 10%, ou
seja, ao final de 2 meses a dívida será de 490,05
+ 10% de 490,05 ≅ R$ 539,05.
15. B O saldo que o poupador apresentava na época era
NCz$ 60.000,00
= NCz$ 20.000,00. Como a di3
ferença não creditada foi de 42,72 – 22,36
20,36
= 20,36%, então NCz$ 20. 000,00 ⋅
100
= NCz$ 4.072,00.
de
16. C Segundo o texto, o valor corrigido V c é dado por
Vo ⋅ I a
. Nesse caso, V o é a diferença que
Ie
não foi creditada, ou seja, NCz$ 4.072,00. Então
Vc =
4 072 ⋅ 40,1109
≅ 26 471,89. Além disso,
6,17
sobre V c , devemos acrescentar juros simples de
6% ao ano. Como já passaram 20 anos, o valor
será 26 471,89 + 1,2 ⋅ 26 471,89 ≅ 58 238,16, que
está mais próximo de R$ 58.000,00.
Vc =
17. D Em 2009 passaram 700 + 418 + 212 + 123
= 1 453 mil passageiros por todas as estações.
Como houve uma queda de 11% em 2010, esse
valor caiu para 0,89 ⋅ 1 453 ≅ 1293 mil pessoas.
Dessa forma, a quantidade x de passageiros que
passam pelas estações Ana Rosa/Paraíso é
470 + x + 229 + 215 ⇔ x = 379 mil, um valor entre 350 mil e 400 mil.
18. C Michelle pagou apenas as peças mais caras, ou
seja, 69 + 69 + 110 = 248. Se ela fosse pagar por
tudo, pagaria 69 + 69 + 110 + 62 = 310. Então a
promoção foi equivalente a ela ter ganhado um
248
desconto total de1 −
= 1 − 0,8 = 0,2 = 20%.
310
19. D Seja x o valor real do boleto. Dessa forma, Caroline
vai pagar 0,1x a mais, além de R$ 0,15 ⋅ 4 = R$ 0,60
devido aos dias de atraso. Então x + 0,1x + 0,6
= 187,6 ⇔ 11
, x = 187 ⇔ x = 170 reais.
20. C Seja v o preço de venda de uma unidade da merca-
doria; então, o lucro bruto será v − 140.
Assim, (v − 140) ⋅ 0,9 = 36 ⇔ v = 180.
Portanto, para que o lucro líquido do fabricante
seja R$ 36,00, cada unidade da mercadoria deve
ser vendida por R$ 180,00.
21. C Se cada unidade for vendida por R$ 200,00, o lucro
líquido do fabricante será de (200 − 140) ⋅ 0,9 = 54.
Seja n o número de unidades vendidas, então
n ⋅ 54 > 1 080 ⇔ n > 20.
Logo, para que o fabricante receba um lucro líquido maior que R$ 1.080,00, a quantidade mínima
de unidades que deverá ser vendida é 21.
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140
9. E
ETAPA
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22. B Verificando as alternativas, temos:
A) Falsa. O crescimento percentual no número de
467 − 20
formados foi
= 22,35 = 2 235%.
20
B) Verdadeiro. Como 467 < 470 = 2 ⋅ 235, o número de formados em 2002 é menor que o dobro
dos formados em 1992.
C) Falsa. Entre 1982 e 1992 não houve crescimento no número de formados.
D) Falsa. O crescimento entre 1962 e 1972 foi de
97 − 20
77
=
= 385%.
20
20
E) Falsa. Como 245 > 194 = 2 ⋅ 97, o número de
formados em 1982 é superior ao dobro do número
de formados em 1972.
o valor cobrado em B é mais caro, curva referente
à empresa B deve crescer mais rápido, ou seja,
deve ter maior inclinação. Logo o único gráfico que
atende a todas essas opções é o apresentado na
alternativa B.
3
30. E No primeiro dia sobram 640 ⋅
= 480 L no barril.
4
3
No segundo dia sobram 480 ⋅
= 360 L no barril.
4
Finalmente, ao final do terceiro dia sobram
3
360 ⋅
= 270 L.
4
31. B João pensa que seu relógio está 5 minutos atrasa-
do quando, na realidade, está 15 minutos adiantado. Dessa forma, o tempo que João considera correto está 20 minutos à frente da realidade. Então,
se ele pensa estar 10 minutos atrasado, está
20 – 10 = 10 minutos adiantado.
23. A Não foram absorvidos pelo mercado de trabalho
(1 − 0,4) ⋅ 467 000 = 280 200 formados em 2002.
24. A O valor pago por João ao quitar a dívida será de
2
40
000 + 40
000(1,25)
404
000(1
,15)
123
14
4244
3+1
4244
3
entrada
1 ano
6 meses
= 142 900 reais.
25. E
De acordo com o quadro, a população economicamente ativa era de 5,5 milhões em 1889, enquanto a população brasileira era de 14 milhões,
logo, o percentual da população economicamen5,5
te ativa era de
≅ 39%.
14
32. A Na xícara com 125 mL de leite há125 ⋅ 12
, = 150 mg
de cálcio.
Portanto, a quantidade de cálcio presente na porção
de cereais é 210 − 150 = 60 mg.
33. D Para um lençol de 400 fios temos 400 ⋅ 400
= 160 000 pontos de costura por polegada quadrada.
34. C Como ainda faltam 20% das espécies a estudar,
faltam 5 500 ⋅ 0,2 = 1100 espécies. Como são descobertas 15 espécies por mês, as 1 100 espécies
1100
serão descobertas em
≅ 73, 3 meses.
15
73,3
Como 1 ano tem doze meses, serão
12
26. A Temos que em 80 000 litros de gasolina adultera-
da há 0,3 ⋅ 80 000 = 24 000 litros de álcool.
Seja x a quantidade de gasolina pura que deverá
ser adicionada ao tanque para que a concentração
de álcool seja 25%. Assim, (80 000 + x ) ⋅ 0,25
= 24 000 ⇔ x = 16 000 L.
27. B Em 1940, o consumo mundial de água foi
≅ 6,1 anos.
35. D A capacidade de todos os botes juntos é 18 ⋅ 370
= 6 660 lugares. Como são 2 100 tripulantes e
6 360 passageiros, temos um total de 8 460 pessoas a bordo. Dessa forma, o número de botes
não seria suficiente e faltariam 8 460 – 6 660
= 1 800 lugares.
2,3 ⋅ 10 9 ⋅ 400 = 9,2 ⋅ 10 11 m 3. Em 1990, o consumo
mundial
de
água
foi
5,3 ⋅ 10 9 ⋅ 800
= 42,4 ⋅ 10 11 m 3 . O acréscimo no consumo de
água foi (42,4 – 9,2) ⋅ 10 11 = 33,2 ⋅ 10 11 m 3.
36. E
Portanto, o acréscimo anual entre 1940 e 1990
33,2 ⋅ 10 11
(em 50 anos) foi de
= 0,664 ⋅ 10 11 m 3 .
50
Mantido esse crescimento, o consumo mundial
de água em 1950 foi 9,2 ⋅ 10 11 + 10 ⋅ 0,664 ⋅ 10 11
Vamos montar uma tabela com os horários livres
do grupo:
Horário
Seg
Ter
Qua
Qui
Sex
7 h às 12 h
–
–
–
–
–
12 h às 14 h
2h
2h
2h
2h
2h
600
⋅6
180
14 h às 16 h
–
–
–
–
–
16 h às 18 h
–
–
–
–
–
29. B Como ambas as empresas possuem uma tarifa-
18 h às 20 h
2h
–
2h
–
–
ção mínima e o tempo incluso nessa tarifação é o
dobro na empresa B, o gráfico de ambas deve iniciar constante e o trecho constante em B deve ser
maior que em A. Além disso, após a tarifação mínima,
20 h às 22 h
2h
2h
2h
2h
2h
= 15,84 ⋅ 10 11 m 3 .
28. C Se o purificador enche o copo em 6 s, levará
ETAPA
140
para encher a garrafa.
Dessa forma, a alternativa que apresenta o maior
número de horas seguidas é a E.
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3
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160
, − 0,72 = 0,88 centavos.
Logo para obter um lucro de R$ 1.320,00, deverão
1 320
ser vendidos
= 1 500 unidades.
0,88
20,5 ⋅ 3 ⋅ 10 8
38. A A velocidade da nave é dada por
4 ⋅ 10 5
3
≅ 5 ⋅ 3 ⋅ 10 = 15 000 m/s.
39. E
Como a base é 16, o maior número de 2 algarismos
que pode ser escrito é FF16 = 15 ⋅ 16 0 + 15 ⋅ 16 1
= 15 + 240 = 255 e o menor é 00 16 = 0. Logo é
possível escrever 255 − 0 + 1 = 256 números.
Para três pares de números temos 256 ⋅ 256 ⋅ 256
= 256 3 = (28 )3 = 224 combinações de cores.
40. C O pianista deve escolher 3 dos 4 noturnos, 2 dos 3
prelúdios e 2 das 3 baladas, totalizando assim
⎛ 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 maneiras.
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠
41. B
Como todas as letras da palavra CRÊEM são diferentes, seus anagramas são 5! = 120. Já a palavra
CREEM tem uma letra repetida, portanto seus
5!
120
anagramas são
=
= 60. Logo CREEM
2!
2
tem a metade de anagramas de CRÊEM.
42. D Como Gabriel não come carne, ele tem 2 opções
para o prato principal, 4 opções para bebidas e 3
para a sobremesa. Logo ele tem 2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 24 maneiras de compor sua refeição.
43. E O total de anagramas da palavra OCULOS é
6!
= 360. Como já apareceram 2 deles na história
2!
em quadrinhos, ainda restam 360 − 2 = 358 anagramas.
44. A Como há 4 dezenas premiadas entre as 16 que
Igor jogou, basta escolher 2 dezenas entre as
⎛ 12⎞
16 − 4 = 12 restantes. Logo havia ⎜ ⎟ = 66 quadras.
⎝ 2⎠
45. B Igor gastou 8 008 ⋅ 2 = 16 016 reais e ganhou
66 ⋅ 250 = 16 500 reais. Portanto, teve um lucro
de 16 500 − 16 016 = 484 reais.
46. B Fixando a alternativa c como gabarito de uma
questão, as demais 6 questões podem ter como
gabarito as alternativas a, b, d ou e. Nesse caso, o
total de gabaritos possíveis é 4 6 .
Como a alternativa c pode ser gabarito de alguma
das 7 questões da prova, o total de gabaritos para
o teste será de 7 ⋅ 4 6 .
47. A Podemos permutar os 3 estilos musicais na programação de 3! maneiras diferentes.
Além disso, dentro de cada estilo, podemos permutar as músicas de MPB de 4! maneiras diferentes,
de rock de 3! maneiras e de pop de 3! maneiras.
4
Portanto, o número de programas distintos que
podemos formar nessas condições é 3!⋅ 4!⋅ 3!⋅ 3!.
48. A São 5 tipos de sucos com uma única fruta, poden-
do ser adoçados de duas maneiras diferentes.
Logo há 5 ⋅ 2 = 10 tipos de sucos com uma única
⎛ 5⎞
fruta. Com duas frutas, temos ⎜ ⎟ = 10 tipos de
⎝ 2⎠
sucos, podendo ser adoçados de duas maneiras diferentes, num total de 2 ⋅ 10 = 20 tipos.
Portanto, a fábrica produz 20 + 10 = 30 tipos diferentes de sucos.
49. B Podemos acomodar cada par de criança e seu res-
pectivo responsável de 5! maneiras. Observe que
em cada um dos bancos a criança e seu responsável
podem trocar de lugar. Portanto, o número de maneiras que as 10 pessoas podem ocupar o brinquedo sem que as crianças se separem de seus
respectivos responsáveis é (2!)5 ⋅ 5! = 32 ⋅ 120
= 3 840.
50. C Temos 2 possibilidades para cada lâmpada, totali-
zando 27 = 128 possibilidades.
51. D Note que temos dois triângulos semelhantes: um
maior, cuja base é a altura da torre, e um menor,
cuja base é a régua de Genésia. Sendo x a altura da
x
30
torre, temos que
=
⇔ x ≅ 45 m.
68
45
52. D O losango possui os quatro lados iguais e é dividi-
do em 4 triângulos retângulos. Como seu perímetro vale 40 km, temos que cada hipotenusa mede
10 km, logo:
x 2 + (x + 2)2 = 10 2 ⇔ x 2 + x 2 + 4x + 4 = 100
⇔ 2x 2 + 4x − 96 = 0 ⇔ x 2 + 2x − 48 = 0
⇔
x' = 6
x " = −8
Então x = 6 km = 6 000 m. A área do losango,
em m 2 , é dada por:
6 000 ⋅ 8 000
4⋅
= 96 000 000 m 2
2
⇒
96 000 000
= 9 600 ha
10 000
Logo, a quantidade de CO 2 que deixará de ser lançada na atmosfera é de 9 600 ⋅ 360 = 3 456 000 t.
53. B Como 51 cm correspondem a 20 polegadas, temos
51
= 2,55 cm. Sendo
20
35,7
assim, uma diagonal de 35,7 cm tem
= 14 po2,55
que cada polegada equivale a
legadas.
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140
37. D Em cada unidade de bem-casado, o lucro obtido é
ETAPA
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54. D Sem perda de generalidade, podemos supor a se-
guinte situação:
60°
60°
60°
60°
9
60°
60°
a
x
a
figura 2
16
x
4
= , segundo as proporções da tela
9
3
dos televisores convencionais, então x = 12. Como
x + 2a = 16 ⇔ a = 2, então a porcentagem de
4⋅9
1
área não visível é
=
= 25%.
9 ⋅ 16
4
16
55. D Como a proporção é
, temos que a largura será
9
16
63 ⋅
= 112 cm.
9
Dessa forma, a diagonal é dada por
Note que
120°
120°
120°
1122 + 632 ≅ 128, 5 cm, o que correspon128, 5
de a
≅ 50 polegadas.
2, 55
figura 3
d =
56. E
57. E
Como cada ângulo externo do polígono regular
é 45 o , temos n ⋅ 45 o = 360 o ⇔ n = 8 (octógono), logo a soma dos ângulos internos será de
S i = 8 ⋅ 135 o = 1 080 o .
Note que os quadriláteros regulares (quadrados)
têm ângulos internos de 90 o , portanto, ao unir 4
deles, teremos 360 o , não deixando espaços vazios
(figura 1). Já os triângulos regulares (equiláteros)
têm ângulos internos de 60 o , portanto, ao unir 6
deles, teremos 360 o , não deixando espaços vazios
(figura 2). Os hexágonos regulares têm ângulos
internos de 120 o , portanto, ao unir 3 deles,
teremos 360 o , não deixando espaços vazios (figura 3). Os octógonos regulares têm ângulos internos de 135 o , dessa forma, ao unir 2 octógonos e 1 quadrilátero, teremos 360 o sem espaços
vazios (figura 4).
135°
135°
figura 4
Porém, os pentágonos regulares têm ângulos internos de 108 o , portanto, juntando 3 deles, temos
324 o e com 4 já seriam 432 o , não sendo possível
cobrir todo o plano.
58. B Tome um papel A4 de dimensões L e l, sendo L > l.
Note que quando dobramos o papel ao meio, temos
L
L
as dimensões l e , em que l > , como na figura.
2
2
L_
2
L_
2
L
_L
2
ETAPA
140
figura 1
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5
Color profile: Generic CMYK printer profile
Composite Default screen
Como os retângulos são proporcionais, temos
L
l
L2
L
=
⇔
=2⇔
= 2.
2
L
l
l
l
2
5+b
5
59. C Como a = 5 cm, temos
=
⇔ b 2 + 5b – 25
5
b
–5 ± 5 5
. Como b é a dimensão de
=0⇔b =
2
uma folha, deve ser um número positivo, logo
–5 + 5 5
.
b =
2
60. C Sejam l, l b e l c os lados dos triângulos hachura-
dos em a, b e c, como mostra a figura:
a)
=
1
4 ⎞
l2 3 ⎛
l 2 3 40
. Como a
+
⋅
⎜1 +
⎟ =
4 ⎝
3
27 ⎠
4
27
área em a era 27 3 cm 2 , temos que a área total
40
será A = 27 3 ⋅
= 40 3 cm 2.
27
61. B Note que cada segmento existente no passo n pas-
sa a ser 4 segmentos no passo (n + 1). Dessa forma,
temos 1 segmento no passo 1; 4 ⋅ 1 = 4 segmentos
no passo 2; 4 ⋅ 4 = 16 segmentos no passo 3;
4 ⋅ 16 = 64 segmentos no passo 4; e 4 ⋅ 64 = 256
segmentos no passo 5.
62. D Como OP é a distância de O à reta A’P, o ΔA’OP é
retângulo em P. Os ângulos AÔA’ e OA’P são alternos internos, logo congruentes, assim
50
A’O =
= 1 m. Portanto o comprimento
sen 30 o
100
da gangorra é de 2 m.
63. B Observe a figura:
B’
b)
b
A
30º
O
B
50 cm
30º
A altura máxima é obtida quando uma das extremidades da gangorra toca o chão.
Assim, supondo que A’ toca o chão, a altura máxima é a distância de B’ à reta A’P, logo o ΔA ’B ’D é
retângulo e semelhante ao ΔAOP
’ pelo critério AA,
pois o ângulo OÂP é comum.
B ’D
2
Assim,
=
⇔ B ’D = 1 m.
1
1
2
Portanto a altura máxima que uma das extremidades da gangorra pode atingir é 1 m.
c
l
l
l
e lc = b =
. Podemos cal3
9
3
cular a área da figura c somando todas as áreas
dos triângulos hachurados nas figuras a, b e c.
Então:
Note que l b =
⎛ l⎞
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
2
⎛ l⎞
⎜ ⎟
⎝ 9⎠
3
l2 3
A =
+ 3⋅
+ 12 ⋅
4
4
3 l2 3
12 l 2 3
l2 3
=
+
⋅
+
⋅
4
9
4
81
4
2
3
64. D O ponteiro das horas dá uma volta completa em
12 horas; logo, em 8 horas dará
que corresponde a 6 ⋅ 2π ⋅
8
2
de volta,
=
12
3
2
= 8 π cm.
3
65. B Para que as áreas sejam iguais devemos ter:
πR 2 = 53 varas ⋅ 30 varas ⇔ R 2 = 530 varas 2
4
⇔
vara =
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R 530
m
530
140
c)
6
D
P
A’
ETAPA
Color profile: Generic CMYK printer profile
Composite Default screen
seu gasto total é de 90 000 + x 2 . Já o seu ganho é
k ⋅ x , de acordo com o texto. Temos então que a
fórmula do lucro em função do número de sapatos
fabricados é dada por L(x ) = k ⋅ x – (90 000 + x 2 )
66. B O setor com o ângulo α corresponde à participa-
ção do papel e papelão no total de resíduos recuperados, uma vez que este possui a maior participação. Se o ângulo do setor é diretamente proporcional à participação e se um ângulo de 360 o
corresponde a 100% de participação, então o ân360
gulo α mede
⋅ 60 = 216 o .
100
= –x 2 + kx – 90 000. Como são necessários 100 sapatos para que a empresa não tenha prejuízo, temos
que L(100) = 0 ⇔ –100 2 + k ⋅ 100 – 90 000 = 0
⇔ k = 1 000. Então L (x ) = –x 2 + 1000x – 90 000.
O lucro máximo é dado pelo vértice da parábola
que essa fórmula representa. Logo L máx. = y r
–[1 000 2 – 4 ⋅ (–1) ⋅ (–90 000)]
–Δ
=
=
4a
4 ⋅ (–1)
= 160 000 reais.
67. A Temos que um anelar mede π ⋅ 12 = π cm 2 .
Um quadrado de 1 cm de lado possui área de
1
anelar.
12 = 1 cm 2 , o que corresponde a
π
68. C Observe que para t = 0 a formiga está a uma dis-
lucro(em R$ 1.000,00)
tância de 4 em relação ao ponto A e está sobre o
ponto B, pois a distância entre a formiga e o ponto
B é 0. Portanto, a distância entre os pontos A e B é 4.
69. D Observe que entre os instantes t = 3 e t = 9 a distância entre a formiga e o ponto B é igual a 3 e permanece constante, o que caracteriza um arco de
circunferência de centro B e raio 3.
70. A Como o empréstimo de R$ 5.000,00 que Paulo fez a
seu amigo segue o modelo de juros simples a uma
taxa de 3% ao mês, então M (x ) = 5 000 + 5 000
⋅ 0,03x, em que x é o tempo decorrido em meses.
O gráfico dessa expressão é uma reta que intercepta o eixo y no ponto M(0) = 5 000 + 5 000
⋅ 0 ⋅ 0,03 = 5 000 e cujo coeficiente angular é
5 000 ⋅ 0,03 > 0. Portanto é uma reta crescente
que passa pelo ponto (0; 5 000). A única alternativa
que satisfaz essas condições é a alternativa A.
71. B O lucro líquido na produção de x jogos é igual à diferença entre a receita bruta R(x) e o custo total C(x),
ou seja, é R(x) – C(x) = 0,7x – (1 + 0,1x) = 0,6x – 1,
em milhares de reais, para x ≥ 0.
O gráfico do lucro líquido em função de x, que é
do primeiro grau, é uma reta que corta o eixo y
em 0,6⋅ 0 – 1 = –1 e o eixo x no ponto (a; 0) tal que
5
0,6 ⋅ a – 1 = 0 ⇔ a =
≅ 1,67:
3
b
=1
2a
−
Δ
=2
4a
⇔
a = −2
b = 4
⇔
2a = −b
−b
2
= 8a
⇔
2a = −b
−b 2 = − 4b
Portanto a expressão procurada é f (x ) = −2x 2
+ 4x , que possui 0 e 2 como raízes. Finalmente, o
ponto em que o jato d'água chega ao solo é (2; 0).
74. C Para gastarmos o mínimo possível, devemos andar
a uma velocidade de x v =
−(−0,6)
= 60 km/h.
2 ⋅ 0,005
2,0
76. C Sejam b, v e a a quantidade de tintas brancas,
75. E
vermelhas e amarelas, respectivamente. Então
1,0
b +v +a = 9
, como a = 2v , temos
12b + 16v + 20a = 148
1,0
2,0 3,0 4,0
número de jogos vendidos
b + 3v = 9
– 3b – 9v = – 27
⇔
12b + 56v = 148
3b + 14v = 37
_ 2,0
_ 3,0
⇔
Seja x o número de sapatos fabricados. Como a
empresa gasta com matéria-prima o equivalente
ao quadrado do número de sapatos e, além disso,
tem um gasto fixo de 90 000 reais, temos que o
140
−
3,0
4,0
_1,0
ETAPA
Como a parábola começa na origem do sistema,
sua expressão é da forma ax 2 + bx . Ademais, as
coordenadas de seu vértice são (1; 2), logo:
Temos que R (x ) = 2x (250 000 − x ) = − 2x 2
+ 500 000x, ou seja, uma função do 2º grau cujo gráfico é uma parábola de concavidade voltada para
baixo.
Como a máxima rapidez de propagação ocorrerá
no vértice v = (x v ; y v ) da parábola, o número de
pessoas infectadas para que isso ocorra é
−500 000
500 000
−b
xv =
=
=
= 125 000.
2a
2 ⋅ (−2)
4
_1,0
72. E
73. E
v =2
⇒ a = 4.
b =3
Se os Da Rocca comprassem 3 tintas beges em
vez das brancas, eles teriam gastado
9 ⋅ 3 + 16 ⋅ 2 + 20 ⋅ 4 = 139, fazendo uma economia de 148 – 139 = 9 reais.
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7
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do armário
e y o preço
. Então, pelas ofertas do
82. A Nas condições do problema temos f (x ) = 3,5 ⋅ g (x ),
assim:
1
3,5
=
⇔ 2,5x = 10 ⇔ x = 4 anos
x
x + 10
83. D Podemos notar que a sequência (88,1, 88,3,
88,5, ...) é uma PA com a1 = 88,1 e r = 0,2. Para
saber o número de canais, basta encontrar a posição do número 108,1 nessa PA, logo:
108,1 = a1 + (n − 1) ⋅ r ⇔ 108,1 = 88,1 + (n − 1) ⋅ 0,2
anúncio, temos:
2x + y = 410
x + 2y = 370
⇔
– 4x – 2y = –820
x = 150
⇔
y = 110
x + 2y = 370
Como o jogo que Fernando quer é composto por 2
gaveteiros e 3 armários, seu preço será
2x + 3y = 2 ⋅ 150 + 3 ⋅ 110 = 630 reais.
⇔ n = 101.
π
πx
≤
≤ 2π
6
6
πx ⎞
Assim,Q (x ) = 40 + 4 sen⎛⎜
⎟ admite valor máxi⎝ 6 ⎠
πx ⎞
πx
π
mo quando sen⎛⎜
=
⇔ x = 3,
⎟ =1⇔
⎝ 6 ⎠
6
2
84. B Como 1 ≤ x ≤ 12,
78. A Seja x o número de ausentes. Sabemos que
Cristiana pagou por ela e pelos x ausentes, então (x + 1) ⋅ 15 = 90 ⇔ x = 5. Como o número de
presentes é o quíntuplo do número de ausentes,
temos que no churrasco havia 5 ⋅ 5 = 25 pessoas.
Sendo assim, o valor total do churrasco foi de
(5 + 25) ⋅ 15 = 450 reais.
79. B A intersecção das curvas é solução do sistema:
P = 10 000 − 2x
P =
P = 10 000 − 2x
⇔
2
2
x = 2 000
10 000 − 2x = x + 2 000
7
7
P = 10 000 − 2x
x = 3 500
⇔ 16
⇔
P = 3 000
x = 8 000
7
Logo o preço no ponto de equilíbrio é R$ 3.000,00.
80. D A locadora Bia Beatriz cobra R$ 90,00 por dia de
aluguel. Sendo assim, por um período de n dias, o
custo para o cliente é 90n.
A locadora Juju Balinha cobra R$ 80,00 por dia e
tem um custo fixo de R$ 210,00. O custo para o
cliente é de 210 + 80n.
Para que seja indiferente, o custo deverá ser o
mesmo para o das locações; logo 90n = 210 + 80n
⇔ n = 21dias.
81. C Seja n o número de cédulas de R$ 5,00 e m o nú-
mero de cédulas de R$ 10,00.
Assim,
⇔
5n + 10m = 140
5n + 10m = 140
⇔
n + m = 18
m = 18 − n
5n + 180 − 10n = 140
n =8
.
⇔
m = 18 − n
m = 10
Portanto 7 < n < 10.
8
o que corresponde ao mês de março.
85. E
Para t = 14, temos:
π
y = 13
, + 0,7 cos⎛⎜ 14 ⋅ ⎞⎟ = 13
, + 0,7 cos 2π
⎝
7⎠
= 13
, + 0,7 = 2 m
86. A Sendo 0 ≤ A ≤ 10 o DV do RG 98.765.432, o nú-
mero:
2⋅ 9 + 3⋅ 8 + 4 ⋅ 7 + 5 ⋅ 6 + 6 ⋅ 5 + 7⋅ 4 + 8 ⋅ 3
+ 9 ⋅ 2 + 100 ⋅ A = 200 + 100 A deve ser múltiplo
de 11, ou seja, A = 9.
87. D O primeiro ano bissexto após 1895 é 1896 e o úl-
2 012 – 1 896
+1
4
= 30 anos, dos quais 28 não são divisíveis por 100.
Os anos de 1900 e 2000 são divisíveis por 100; porém, pela segunda parte da definição de ano bissexto, 1 900 não é divisível por 400, mas 2 000 sim; isto
é, 2000 é ano bissexto. Logo, há 29 anos bissextos
no período de 1895 a 2012.
timo é 2012. Portanto temos
88. D Temos φ(5 929 ) = φ(72 ⋅ 112 ) = φ(72 ) ⋅ φ(112 )
= (72 − 7)(112 − 11) = 4 620.
89. B Note que 39 = 20 + 19 = 20 + 3 ⋅ 5 + 4. Com
base no texto, o número 39 é escrito:
90. B Em 2 h temos 7 200 s. Como mmc (4, 6, 9) = 36,
temos
7 200
= 200 vezes.
36
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140
77. B Seja x o preço do gaveteiro
ETAPA