MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLÓGICA DO RIO GRANDE
DO NORTE
DEPARTAMENTO DE RECURSOS HUMANOS
EDITAL Nº. 08/2009-DRH/IFRN
Questão 1:
As leis de Kepler para o movimento planetário, empíricas, passaram a ter um suporte teórico com o
advento das leis de Newton para a dinâmica rotacional e da gravitação universal. Com base nessa
informação,
Chave de correção da questão 1:
a)
Leis de Kepler:
− Lei das Órbitas: As órbitas dos planetas são elípticas, tendo o Sol em um de seus
vértices;
− Lei das Áreas: um segmento de reta conectando o centro de qualquer planeta ao
centro do Sol varre áreas iguais em intervalos de tempos iguais;
− Lei dos Períodos: o quadrado do período de revolução de qualquer planeta em torno
do Sol é diretamente proporcional ao cubo da distância média entre o centro deste
planeta e o centro do Sol.
Leis de Newton para a dinâmica rotacional:
− primeira lei: quando o torque resultante sobre um corpo é nulo, o seu momento
angular é constante;
− segunda lei: a somatória dos torques sobre um corpo é igual à taxa de variação do
seu momento angular;
− terceira lei: quando um corpo exerce um torque sobre um segundo corpo, este
segundo corpo exerce um torque sobre o primeiro de igual intensidade e direção,
mas de sentido oposto.
Lei da Gravitação Universal:
− A força de atração gravitacional existente entre dois corpos é diretamente
proporcional ao produto entre suas massas e inversamente proporcional ao quadrado
da distância entre os centros desses corpos.
b) há várias respostas possíveis para essa questão. Segue um exemplo:
Dedução da Lei das Áreas:
A área infinitesimal dA, percorrida pelo raio vetor r (o segmento de reta que liga o centro do
planeta ao centro do Sol), corresponde à área de um triângulo retângulo de catetos v.dt e r, tal que
dA=
r⋅v⋅dt
2
onde v é a velocidade do planeta em movimento. Como v = w.r, onde w é a velocidade angular do
planeta, tem-se:
dA=
r⋅r⋅w⋅dt r 2⋅w⋅dt
=
2
2
O torque total exercido sobre o planeta é nulo, de forma que, de acordo com a primeira lei de
Newton, o seu momento angular L é constante. Pode-se escrever
2
L= I⋅w=m⋅r 2⋅w  r ⋅w=
L
m
onde m é a massa do planeta. Substituindo-se o resultado acima na equação da área infinitesimal,
tem-se
dA=
L
⋅dt
2⋅m
Integrando-se ambos os lados em um intervalo definido, lembrando-se que L e m são constantes,
tem-se:
A=
L
⋅t
2⋅m
Pela equação acima, verifica-se que a área “varrida” pelo raio vetor r é diretamente proporcional ao
intervalo de tempo da “varredura”.
Questão 2:
No laboratório de física do IFRN, os alunos de licenciatura em Física montaram um pêndulo
balístico, representado na figura a seguir.
No esquema, quando o elástico é esticado e, a seguir, liberado, o projétil é disparado na direção do
pêndulo. A massa da haste que empurra o projétil é desprezível. Ao atingir o pêndulo, o projétil fica
incrustado nele e ambos se deslocam até uma altura máxima h, medida com relação à posição de
repouso do pêndulo. Considere que o elongamento do elástico seja x, a massa do projétil seja m, a
massa do pêndulo seja M e a aceleração da gravidade seja g.
Com base no exposto, responda às solicitações seguintes.
Chave de correção da questão 2:
a) Supondo que o coeficiente de elasticidade k do elástico seja constante, obtenha uma expressão
para a variação da energia interna do sistema elástico-projétil-pêndulo, em termos de k, x, m, M, g e
h;
E inicial = E final
k⋅x 2
U inicial =mM ⋅g⋅h U
2
final
U
final −U inicial =
ΔUint =
k⋅x 2
−mM ⋅g⋅h
2
k⋅x 2
− m M ⋅g⋅h , onde Uint é a energia interna do sistema.
2
b) Supondo novamente que k seja constante, obtenha uma expressão para k em termos de x, m, M,
g e h. Inicialmente, toda a energia potencial elástica é convertida em energia cinética do projétil:
Inicialmente, toda a energia potencial elástica é convertida em energia cinética do projetil:
k⋅x 2 m⋅v 2
=
2
2


2
k⋅x , onde v é a velocidade do projetil.
v=
m
Quando o pêndulo chega à altura máxima, toda a energia cinética que ele possuía após a colisão
com o projetil foi convertida em energia potencial gravitacional:
 m M ⋅V 2
= m M ⋅g⋅h
2
colisão.

V =  2⋅g⋅h , onde V é a velocidade do pêndulo logo após a
No instante da colisão, há conservação do momento linear:
m⋅v= m M ⋅V
Substituindo-se os valores de v e V na equação acima, tem-se:

m⋅
2
k⋅x
= m M ⋅ 2⋅g⋅h
m
Elevando-se ao quadrado os dois lados da igualdade:
2
 
m⋅
k⋅x 2
2
=mM  ⋅ 2⋅g⋅h 
m
Finalmente, isolando-se k:
k=
2⋅g⋅h
2
2 ⋅ m M 
m⋅x
c) Se a energia potencial U, no elástico, for dada pela função U(x)=αx2-βx3, obtenha F(x), que
representa a força elástica em função da posição.
F  x=−
dU
dx
 F(x) = 3.β.x2 – 2.α.x