22
3.1
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
Potencial gravitacional na superfı́cie da Terra
Derive a expressão U (h) = mgh para o potencial gravitacional na superfı́cie da Terra.
Solução: A partir da lei de Newton
U (~r) = −
GM m
,
r
usando a expansão de Taylor:
~
U (~r + ~h) = eh·∇~r U (~r) =
∞ ~
X
(h · ∇~r )ν
ν=0
temos
ν!
1
U (~r) = U (~r) + (~h · ∇~r )U (~r) + (~h · ∇~r )(~h · ∇~r )U (~r) ,
2
GM m
U (~r + ~h) ' U (~r) + h
= U (~r) + hgm .
r2
3.2. FORÇA GRAVITACIONAL DE UM ANEL
3.2
23
Força gravitacional de um anel
Calcule a força gravitacional de um anel de densidade linear de massa λ = M/2πR no eixo de
simetria.
Solução: O potencial gravitacional de um anel em torno do eixo de simetria êz é
Z
Z
Gm
λ
0
0
  
 dφ0 .
V (~r) =
ρ(~r )dV
= GmR
0
r − ~r |
R cos φ0 anel |~
anel x
y  −  R sin φ0 
z
0
Para uma massa de prova m localizada sobre o eixo de simetria, ~r = zêz ,
Z
Z
λ
λ
0
  
p
 dφ = GmR
dφ0
V (~r) = GmR
0
2
2
0
R cos φ R cos φ + R2 sin2 φ0 + z 2
anel
anel 0
0 −  R sin φ0 
z
0
Z
λ
GM m
λ
√
dφ0 = 2πGmR √
=√
.
= GmR
R2 + z 2
R2 + z 2
R2 + z 2
anel
O gradient dá a força,
F~ (~r) = −∇V (~r)
∂V
d GM m
GM m
GM m
Fz = −
=− √
= − 3 z = − 2 cos α .
2
2
∂z
dz R + z
s
s
24
3.3
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
Potencial gravitacional de um disco
Calcule o potencial de um disco fino homogêneo ao longo do eixo de simetria e a força gravitacional que ele exerce sobre um massa m.
Ra
Ajuda: Na integração sobre a espessura a do disco utilize a relação: 0 f (z 0 )dz 0 ' af (0).
Solução: O potencial de uma distribuição de massa ρ(~r0 ) agindo sobre uma massa de prova m
localizada na posição ~r é
Z
Gm 3 0
ρ(~r0 )
V (~r) = −
d ~r
|~
r
− ~r0 |
disco
Z a Z R Z 2π
1
= −Gm
ρ0 p
r0 dr0 dz 0 dφ0 .
0
2
0
2
(r − r ) + (z − z )
0
0
0
Agora seja ~r = zêz .
Z
aZ R
V (z) = −2πGmρ0
0
Z
= −2πGmρ0
0
a p
1
p
r0 dr0 dz 0
r00 + (z − z 0 )2
R2 + (z − z 0 )2 − (z − z 0 ) dz 0 .
0
Para um disco fino ρ(z) ' ρ0 aδ(z)
p
V (z) = −2πGmρ0 a( R2 + z 2 − z) .
A força é
d
F = − V (z) = 2πGmρ0 a
dz
z
√
−1 .
R2 + z 2
3.4. POTENCIAL GRAVITACIONAL DE UMA CASCA ESFÉRICA
3.4
25
Potencial gravitacional de uma casca esférica
Considere uma casca esférica com raio interno a e raio externo b.
a. Calcule o potencial gravitacional no interior da esfera, dentro do material da casca e fora da
esfera. (Ajuda: Substituir a distância entre a partı́cula de prova m e um ponto da distribuição
de massa e fazer uma distinção de casos para as limites de integração para essa variável de
distância.)
b. Calcule a força sobre uma partı́cula de prova.
c. Especifica agora para uma esfera maciça.
d. Especifica para uma casca esférica muito fina.
Solução: a. O potencial exercido por uma distribuição de massa com a densidade ρ(~r0 ) sobre
uma partı́cula de massas m localizada n aposição ~r é,
Z
Z
Gm 3 0
Gm 02
0
V (~r) = − ρ(~r )
d ~r = −
ρ0
r sin θ0 dr0 dθ0 dφ0 .
0|
|~r − ~r0 |
|~
r
−
~
r
casca
Substituindo
R ≡ |~r − ~r0 | =
p
r2 + r02 − 2rr0 cos θ0
dR
rr0 sin θ0
=
,
dθ0
R
obtemos
Gmr0
2πρ0 Gm
V (~r) = −
ρ0
dRdr0 dφ0 =
r
r
casca
Z
Z bZ
a
Rmax
r0 dRdr0 .
Rmin
As limites de integração seguem dos valores adotadas por R para θ = 0 resp. θ = π. Para r ≤ a
temos que r0 sempre é maior do que r. Portanto, R = r0 − r, .., r0 + r. Para b ≤ r temos que r0
sempre é menor do que r. Portanto, R = r − r0 , .., r0 + r.

Rb

0 0

 r≤a

a 2rr Rdr
2πρ0 Gm R b
0 dr 0 + r 2r 02 dr 0
a≤r≤b .
para
V (~r) = −
2rr
r


R b 02 a 0
r

b≤r
a 2r dr
O resultado é


b2 − a2

3
V (~r) = −2πρ0 Gm b2 − 31 r2 − 32 ar


2 b3 −a3
3
para
r

 r≤a
a≤r≤b .

b≤r
b. A força segue de



0
~ (~r) = êr ∂ V (~r) = êr 2πρ0 Gm 2 a23 − 2 r
F~ = −∇V
3r
3

∂r
 − 2 b3 −a3
3 r2
para

 r≤a
a≤r≤b .

b≤r
3
c. Aplicando o resultado do potencial para numa esfera maciça (a = 0 e M = ρ0 V = ρ0 4πb
3 )
temos,
r3
GM m 3r
r≤b
− 2b
3
2b
V (~r) = −
para
.
b≤r
r
1
26
Aplicando o resultado da força para numa esfera maciça,
r
GM m M
M
~
para
F = −êr
1
r2
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
r≤b
,
b≤r
onde Mr ≡ 4πρ0 r3 /3. d. Calculamos agora o potencial para numa casca fina, ρ(~r0 ) = ρ0 =
σ0 δ(r0 − b) e M = σ0 4πb2 . Temos,
(R
b
2πρ0 Gm
2rr0 dr0
r≤b
0
R b 02 0
V (~r) = −
para
b≤r
r
0 2r dr
2πσ0 b2 Gm 2br
r≤b
para
=−
2
2b
b≤r
r
r
GM m b
r≤b
=−
para
.
1
b≤r
r
Aplicando o resultado da força para numa casca fina,
GM m 0
~
para
F = −êr
1
r2
r≤b
.
b≤r
42
3.17
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
(F2.11.1) Potencial gravitacional dentro da Terra
Calcule a força gravitacional que uma partı́cula de massa m fica sujeita quando colocada no
interior da Terra, a uma distância r de seu centro.
Solução: a. O potencial exercido por uma distribuição de massa com a densidade ρ(~r0 ) sobre
uma partı́cula de massas m localizada n aposição ~r é,
Z
Z
Gm 02
Gm 3 0
0
ρ0
V (~r) = − ρ(~r )
d ~r = −
r sin θ0 dr0 dθ0 dφ0 .
0
0|
|~r − ~r |
|~
r
−
~
r
esf era
Substituindo
R ≡ |~r − ~r0 | =
p
r2 + r02 − 2rr0 cos θ0
dR
rr0 sin θ0
=
,
dθ0
R
obtemos
2πρ0 Gm
Gmr0
dRdr0 dφ0 =
V (~r) = −
ρ0
r
r
esf era
Z
Z bZ
0
Rmax
r0 dRdr0 .
Rmin
As limites de integração seguem dos valores adotadas por R para θ = 0 resp. θ = π. Para r ≤ a
temos que r0 sempre é maior do que r. Portanto, R = r0 − r, .., r0 + r. Para b ≤ r temos que r0
sempre é menor do que r. Portanto, R = r − r0 , .., r0 + r.
(R
Rr
b
2πρ0 Gm
r≤b
2rr0 dr0 + 0 2r02 dr0
r
R b 02 0
.
para
V (~r) = −
b≤r
r
0 2r dr
O resultado é usando as relações M ≡ 4πρ0 b3 /3 e g ≡ GM/b2
2 1 2
b − 3r
V (~r) = −2πρ0 Gm
para
2b3
GM m
=−
b
(
= −mg
3
3b
2
2
−
−
r2
2b
b2
r
b
r
3r
r2
2b2
para
para
r≤b
b≤r
r≤b
b≤r
r≤b
.
b≤r
b. A força segue de
GM mr
∂
~ (~r) = êr V (~r) = −êr
b3
F~ = −∇V
GM m
∂r
r2
(
gmr
r≤b
b
= −êr gmrb
para
.
2
b≤r
r2
para
r≤b
b≤r
44
3.19
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
(F2.11.3) Esfera maciça com cavidade esférica
Faz-se uma cavidade esférica numa esfera de chumbo de raio R tal que sua superfı́cie toque
a superfı́cie externa da esfera maciça e passe pelo centro dessa. A massa primitiva da esfera
de chumbo é M . Qual será a força que a esfera com a cavidade atrairá uma massa m a uma
distância d do centro da esfera externa, de modo que a massa e o centro da esfera e da cavidade
estejam alinhados? (Questão retirada do exame olı́mpico da Universidade Estatal de Moscow
(1946)).
Solução: O potencial dessa construção é
Z
Z
1
1
Gρ0 m
1
0
V (~r) = −Gρ0 m
dV = −Gρ0 m
dV 0 + R
dV 0
0
0
0|
|~
r
−
~
r
|
|~
r
−
~
r
|
|~
r
−
~
r
constr
esf era
cavidade
~
= Vesf era (~r) − Vcavidade (~r − R2 )
!
~
GM m 3 (~r − R2 )2
r2
GM m 3
+
−
−
=−
R
2 2R2
R/2
2
2(R/2)2
GM m
r2
2
~
=
3 + 2 − 2(2~r − R)
.
2R
R
3.20. (F2.11.4) ATALHO EVITANDO A TERRA
3.20
45
(F2.11.4) Atalho evitando a Terra
Mostrar que num túnel cavado através da Terra, ao longo de uma corda e não ao longo de um
diâmetro, o movimento de um objeto será harmônico simples.
Solução: Dentro de uma ésfera maciça a força de gravitação é
GM mr
êr .
F~ =
b3
Seguinte a lei de Hooke a propocionalidade F ∝ r produz um movimento harmônico.
46
3.21
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
(F2.11.5) Força gravitacional dentro de uma casca
Mostrar através de argumentos geométricos que uma partı́cula de massa m colocada no interior
de uma casca esférica de densidade uniforme de massa fica sujeira a uma força nula, qualquer
que seja a posição da partı́cula. O que aconteceria se a densidade superficial de massa não fosse
constante?
Solução: Usando coordenadas esféricas, podemos dividir a casca esférica em elementos de massa
dm = σR2 sin θdθdφ, tal que
Z
Z 2π Z π
σR2 sin θ0 dθ0 dφ0 = 4πR2 σ = M .
dm =
0
0
Cada elemento de massa gera um campo gravitacional no lugar ~r dentro da casca de
~g (~r) = −
GM
êr .
r2
Portanto, para cada elemento de massa centrado na posição θ0 , φ0 existe um elemento centrado
na posição oposta π−θ0 , π+φ0 tendo o mesmo ângulo sólido e exercindo uma força de intensidade
igual mas direção oposta.
3.22. (F2.11.6)
222 MOVIMENTO BALÍSTICO
3.22
Gravitação
47
(F2.11.6)
balı́stico
6- ConsidereMovimento
o movimento de um
míssel intercontinental, lançado segundo
inclinação θ0 como mostrado na Fig. 11.4, com velocidade v0, na posição
Considere o movimento de um mı́ssel intercontinental, lançado segundo inclinação θ0 como
indicada.
a trajetória
corpo. indicada. Calcule a trajetória do corpo.
mostrado na figura,
comCalcule
velocidade
v0 , nado
posição
v0
y
R
θ0
α0
x
Fig. 11.4
Figura 3.2:
7- Três corpos idênticos de massa M estão localizados nos vértices de um
triângulo eqüilátero de lado L. A que velocidade eles devem mover-se se
Solução:
todos giram sob a influência da gravidade mútua, em uma órbita circular
que circunscreve o triângulo, mantido sempre eqüilátero?
8- Considere um anel maciço de raio R e massa M. Colocamos uma partícula
de massa m a uma distância d do plano do anel de modo que quando solto
o corpo tem trajetória sobre a reta perpendicular ao plano do anel
passando pelo centro do mesmo. Calcule o movimento do corpo de massa
m (<<M).
9- Um corpo de massa m é colocado a uma distância r0 do centro de um
planeta de massa M e raio R. Calcule a velocidade como função de r.
10- Considere duas massas m e 2m com atração gravitacional. Com que
velocidade angular elas devem rodar tal que a distância d entre elas fique
constante?
11- Um corpo de massa m é colocado a uma distância r0 do centro de um
planeta de massa M e raio R. Calcule a energia potencial para 0 ≤ r ≤ ∞.
Suponha que a densidade de massa do planeta seja uniforme e que a massa
S. C. Zilio e V. S. Bagnato
Mecânica, calor e ondas
48
3.23
CAPÍTULO 3. GRAVITAÇÃO
(F2.11.7) Rotação de três corpos
Três corpos idênticos de massa M estão localizados nos vértices de um triângulo equilátero de
lado L. A que velocidade eles devem mover-se se todos giram sob a influência da gravidade
mútua, em uma órbita circular que circunscreve o triângulo, mantido sempre equilátero?
Solução: Com a √
distância r de cada corpo do ponte de origem, a distância entre os corpos é
◦
L = 2r cos 602 = r 3. A força centripeta que deve agir sobra uma das três massa é
2
Mv
F~1 = −
êr .
r
A força de gravitação entre os corpos é
GM M
F~12 = −
ê12 .
L2
O equilı́brio demanda F~1 = F~12 + F~13 . Portanto,
−
M v2
GM M
◦
= −2
cos 602 ,
r
L2
o que dá
r
v=
GM
.
L