Uma Generalização das Integrais Definidas de Moore e de Escardó
Aarão Lyra
Direção do Curso de Sistemas de Informação
Universidade Potiguar, UnP, 59056-000, Natal, RN, Brasil.
[email protected]
Adrião D. D. Neto
Benjamín R. C. Bedregal
Departamento de Engenharia Elétrica
Departamento de Informática e Matemática Aplicada
UFRN, 59072-970 Natal, RN, Brasil
UFRN, 59072-970 Natal, RN, Brasil
[email protected]
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A integração de funções reais é uma ferramenta
muito usada na solução de diversos problemas nas
engenharias e ciências em geral, bem como serve de
base para conceitos importantes como, por exemplo,
as transformadas matemáticas.
Na literatura, podemos observar que alguns trabalhos foram desenvolvidos levando em consideração a matemática intervalar de Moore [3] em relação ao cálculo diferencial, dentre eles podemos
destacar os trabalhos do próprio Moore [4], de
Acióly [1] e o de Escardó [2]. A última abordagem generaliza a primeira, no sentido que considera funções intervalares em vez de semi-intervalares,
porém também usa limites de integração reais. Já
Acióly [1] apresentou uma noção de integral considerando funções e limites de integração intervalares, porém, não corresponde às características
relativas à área de regiões sob o gráfico das funções
intervalares. Nossa proposta, considera funções e
limites de integração intervalares de tal forma que
a integral definida de qualquer função real aproximada (ou representada) pela função intervalar em
limites de integração dentro dos limites intervalares
pertence ao intervalo da integral definida intervalar.
Formalmente:
Sejam F : IR → IR uma função definida no intervalo [a1 , b2 ]. A integral definida intervalar de F
nos limites de integração intervalares A = [a1 , a2 ] e
B = [b1 , b2 ], tal que a2 ≤ b1 e A e B não são raizes
parciais de F é: R
B
A F(X)dX = [i1 , i2 ]
onde
R π (B)
R π (B)
i1 = min{ π 2(A) fR min (x)dx, π 2(A) fR min (x)dx,
R π1 (B)
π1 (A)
1
fR min (x)dx,
e
i2 = max{
R π1 (B)
R π1 (B)
π2 (A)
R π2 (B)
π1 (A)
2
fR min (x)dx}
fR max (x)dx,
R π1 (B)
R π2 (B)
π2 (A)
R
Moore utilizou em [4] a notação [a,b] f (x)dx para
representar a integral
da função real f no intervalo
R
[a, b], ou seja, ab f (x)dx como pode ser visto na literatura do Cálculo Diferencial e Integral atual. Ele utilizou também o teorema da continuidade afirmando
que sendo F : R −→ IR uma função semi-intervalar
contínua, existemduas funções
reais F e F tais que,
∀x ∈ R, F (x) = F (x) , F (x) . Então, Moore [4]
definiu a integral dehF em um intevalo [a, b] como:
i
R
R
R
[a,b] F(x)dx =
[a,b] F(x)dx, [a,b] F(x)dx
Onde podemos ver claramente que:
F = fmin e F = fmax
O teorema da continuidade [4], mostra que esta
definição coincide com a nossa proposta quando os
limites de integração são intervalos degenerados, ou
seja
R [b,b]
R
[a,a] F(X)dX = [a,b] o(F)(x)dx,
onde o(F) é a função semi-intervalar correspondente de F.
Referências
[1] Acióly, Benedito Melo, Fundamentação Computacional da Matemática Intervalar D.Sc.,
Master’s thesis, Universidade Federal do Rio
Grande do Sul, Brasil, 1991.
[2] Escardó, Martin Hötzel, Pcf extended with
real numbers: a domain-theoretic approach to
higher-order exact real number computation,
Ph.D. thesis, Imperial College, 1997.
[3] Moore, R. E., Interval Analysis, Prentice Hall,
New Jersey, 1966.
[4]
fR max (x)dx,
fR max (x)dx, π (A) fR max (x)dx}
2
onde fRmin (x) = π1 (F[x, x]) e fRmax (x) = π2 (F[x, x]).
π1 (A)
168
, Methods and Applications of Interval Analysis , SIAM Publications, Philadelphia,
1979.