I-2
Sinais: classificação
propriedades, operações
Comunicações
(30 de Setembro de 2013)
ISEL - ADEETC Comunicações
1
Sumário
1.
2.
Sinais contínuos e discretos
Sinais não periódicos e periódicos



3.
4.
5.
Sinais de energia e potência
Sinais de simetria par e simetria ímpar
Operações sobre sinais

6.
7.
Pulso rectangular e sinc
A onda quadrada e a sinusóide
Pulso sinusoidal
Sistema; operações sobre a amplitude; operações
sobre o eixo dos tempos
Aplicações de Sinais
Exercícios
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2
1. Sinais Contínuos e Discretos


Sinal contínuo x(t)
É uma função real de variável real
x(t ) :  
• Em termos gerais, um sinal é
algo que codifica informação
• Em termos físicos, representa
uma corrente ou tensão eléctrica
• Utilizados nos processos de
comunicação digital
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1. Sinais Contínuos e Discretos




Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa
O eixo dos tempos é discreto
x[n]: Z 0 
Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo
Fs (frequency of sampling), ou seja, a cada Ts (time of sampling) é
obtida nova amostra
Amostra x[1] corresponde a x(Ts); amostra x[2] corresponde a
x(2Ts)...
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2. Sinais não periódicos e periódicos
• Sinais aperiódicos ou não periódicos
• Não se repetem ao longo do tempo
• Exemplos:
Pulso Rectangular
Sinc
(amplitude unitária e duração T)
1.2
x(t )
1
1
0.8
0.6

T
2
T
0.2
2
T

t 
1, t 
t


2
x(t )  rect        
T 
 T  0, t  T
 
2

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0.4
0
-0.2
-0.4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
sen(t )
sinc(t ) 
t
8
10
5
2. Sinais não periódicos e periódicos
• Sinais
periódicos ou estritamente repetitivos
• Repetem-se a cada período fundamental To – menor valor
de tempo para o qual o sinal se repete
• No domínio contínuo ou analógico (período To seg) temos
x(t )  x(t  kTo )
• Para o domínio discreto (período N amostras) temos
x[n]  x[n  kN]
• Exemplos: Onda Quadrada
k é inteiro
relativo.
Sinusóide
xT (t )
…
…

T0
2
T0
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T0
2
F0 
1
T0
6
2. Sinais não periódicos e periódicos
•O
inverso do período fundamental To designa-se de
frequência fundamental fo
• A frequência fundamental é a frequência de repetição do sinal
(este pode ter várias componentes de frequência)
• Por exemplo com x(t) = cos(2pi 1000 t )
• Período fundamental To = 1 ms
• Frequência fundamental fo=1000 Hz = 1 kHz
• Com x(t) = cos(2pi 2000 t ) + cos(2pi 4000 t )
• Período fundamental To = 0,5 ms
• Frequência fundamental fo= 2000 Hz = 2 kHz
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2. Sinais não periódicos e periódicos
• O Pulso Sinusoidal - resulta do produto de uma sinusóide por um
pulso rectangular
Energia de
símbolo
Tempo
2
V
E  Ts
2
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Frequência
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3. Energia e Potência

A lei de Joule indica a potência instantânea p(t) dissipada numa
resistência R, percorrida pela corrente i(t), desencadeada pela tensão
v(t)
2
v (t )
p(t )  Ri (t ) 
R
2

Considerando R=1 (normalização) temos
p(t )  i (t )  v (t )
2

2
Dado que sinais representam tensões ou correntes eléctricas, temos
assim a definição de potência instantânea para sinais
p(t )  x (t )
2
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3. Energia e Potência

A energia é o somatório de todas as potências instantâneas
 No domínio contínuo ou analógico temos
Ex 
 Para




2
p
(
t
)
dt

x

 (t )dt
sinais discretos temos




Ex   p[n]  x 2 [n]

Verifica-se que
0  E  
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3. Energia e Potência

A potência é dada pela energia média numa dada janela
temporal de duração T
T /2
1
1
2
Px  lim
x (t )dt  lim Ex

T  T
T  T
T / 2

Tipicamente, sinais não periódicos são caracterizados pela
energia: energia finita; potência nula

Tipicamente, sinais periódicos são caracterizados pela
potência: energia infinita; potência finita

Sinais limitados à esquerda e à direita são sempre de energia
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3. Sinais de energia e de potência

Sinal de energia: pulso rectangular
T representa a duração do pulso

Sinal de potência: sinusóide
T representa uma janela temporal genérica
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3. Energia e Potência

A potência para sinais periódicos de período fundamental To é
dada pela energia média num período (janela de duração To)
 No domínio contínuo ou analógico (período To) temos
1
Px 
To
 Para
To
2

2
x
 (t )dt
To
2
sinais discretos (período N amostras) temos
1
Px 
N

1
T x (t )dt  To
o
2
N 1
1
x [ n] 

N
n 0
2
2
x
 [ n]
N
Um sinal periódico tem energia infinita e potência finita
0 P
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3. Sinais de energia e de potência

Se o sinal tem energia finita e não nula diz-se sinal de energia.
(O pulso rectangular e a sinc por exemplo)

Se o sinal tem potência finita e não nula diz-se sinal de potência.
(A sinusóide e a onda quadrada, por exemplo)
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3. Sinais de potência (periódicos)


Valor médio ou componente DC-Direct Current ou DC-offset
Para um sinal periódico de período T (ou N) corresponde ao
valor médio da amplitude num período completo

No domínio contínuo ou analógico (período T segundos) temos
1
mx 
T

T
2
1
T x(t )dt  T

 x(t )dt
T
2
Para sinais discretos (período de N amostras) temos
1
mx 
N
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N 1
1
x[n] 

N
n 0
 x[n]
N
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3. Sinais de potência (periódicos)
Exercício
Considere a onda quadrada x(t) apresentada na figura
a) Indique o período fundamental do sinal
b) Calcule a energia, potência e valor médio do sinal
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4. Sinais de simetria par e simetria ímpar



Sinal de simetria par verifica x(t) = x( -t)
Sinal de simetria ímpar verifica x(t) = - x( -t)
Qualquer sinal pode ser decomposto na soma das suas
componentes par e ímpar, xe(t) e xo(t), respectivamente
x(t )  x(t ) x(t )  x(t )
x(t )  xe (t )  xo (t ) 

2
2

Exemplo: x(t) = A cos(2pi1000t ) + Bsen(2pi2000t)
Componente Par
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Componente Ímpar
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4. Sinais de simetria par e simetria ímpar

Sinais com simetria par
 x(t) = |t|
 x(t) = t2
 x(t) = cos(2 pi 100t)


t 
x(t )    
 T0 
Sinais com simetria ímpar
 x(t) = t
 x(t) = t3
 x(t) = sen(2 pi 100t)
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4. Sinais de simetria par e simetria ímpar
Exercício
Determine as componentes par e ímpar dos seguintes sinais

 t  10 
x(t )   

20



y(t) = 2cos(2 pi 1000t + pi/4)
Nota:
cos (a+b) =cos(a)cos(b) – sen(a)sen(b )
cos (a-b) = cos(a)cos(b) +sen(a)sen(b )
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5. Operações

Define-se sistema como um objecto que manipula um ou mais
sinais para realizar certa função, produzindo um novo sinal
Sinal saída
Sinal entrada
sistema


diz-se contínuo ou discreto conforme o tipo de sinais que manipula.
São exemplos:



sistema de identificação por fala
sistema de comunicação
meio de transmissão
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5. Operações

Sobre a variável dependente (amplitude)




Amplificação ou atenuação
Adição
Multiplicação
Sobre a variável independente (tempo)

Escalamento no tempo




compressão e expansão
caso particular da reflexão
Deslocamento no tempo
Reflexão
IMPORTANTE:
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regra de precedência do deslocamento sobre o escalamento
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5. Operações

Sobre a variável dependente (amplitude)

Amplificação ou atenuação

Adição (subtracção)

Multiplicação
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5. Operações

Sobre a variável independente (eixo dos tempos)
 Escalamento y(t) = x(at)


|a| > 1, compressão no tempo
|a| < 1, expansão no tempo
 Deslocamento


y(t) = x(t-b)
b > 0, atraso temporal
b < 0, avanço temporal
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5. Operações

Sobre a variável independente (eixo dos tempos)
 Reflexão y(t) = x(-t)

É um caso particular do escalamento com a = -1
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5. Operações
Diagramas de blocos de sistemas comuns
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6. Aplicações

Sinais biométricos
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6. Aplicações

Códigos de linha, usam “ondas quadradas”
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6. Aplicações
“Ondas
Quadradas”

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6. Aplicações

OOK – On-Off Keying (caso particular de
ASK – Amplitude Shift Keying )
Sequência
[1 0 0 1 1 0 1 0 1]

Tempo de bit 1 ms
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6. Aplicações

FSK - Frequency-Shift Keying
Sequência
[1 0 0 1 1 0 1 0 1]

Tempo de bit 1 ms
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6. Aplicações

PSK – Phase Shift Keying
Sequência
[1 0 0 1 1 0 1 0 1]

Tempo de bit 1 ms
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6. Aplicações: uso de sinusóide
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7. Exercício
Qual a expressão que relaciona y[n] com x[n]?
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7. Exercício
a) Exprima y(t) em função de x(t)
b) Exprima w(t) em função x(t)
c) Sabendo que x(t)=2 + 2cos(2pi 2000t) e v(t)=3cos(2pi 2000t),
calcule a expressão de a(t)
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7. Exercício
 t  10 
Sejam x(t )  3 

 5 
y(t)=x(t) + 2x(-t) e
z(t)=x(t) - x(-t).
a) Esboce os sinais
b) Calcule as respectivas energias Ex, Ey e Ez
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7. Exercício
Seja z(t)=ax(t)+by(t), em que x(t) e y(t) são sinais de
energia.
a) Com a=b=1, obtenha a expressão de Ez em função de Ex e Ey
b) Qual a relação entre x(t) e y(t) para que Ez =Ex + Ey?
c) Atribuindo valores genéricos aos ganhos “a” e “b”, apresente a
expressão genérica de Ez função de Ex e Ey
d) Considere que x(t) e y(t) são sinais áudio. Qual a funcionalidade
prática deste sistema?
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