Transformadas de Laplace
O MÉTODO
O método de transformada de Laplace é um método muito útil para resolver
equações diferenciais ordinárias (EDO). Com a transformada de Laplace, pode-se
converter muitas funções comuns, tais como, senoidais e amortecidas, em equações
algébricas de uma variável complexa "s". As equações diferenciais também podem
ser transformadas em equações algébricas através da transformada de Laplace.
DEFINIÇÃO
A transformada de Laplace é uma operação semelhante a transformada
logarítmica. As equações diferenciais são transformadas em equações algébricas,
em que pode-se realizar operações algébricas normais no domínio "s" e depois
retornando ao domínio "t" através da inversa.
Esquematicamente:
O matemático francês Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827) descobriu um
meio de resolver as equações diferenciais que consiste em:
•
•
•
Multiplicar cada termo da equação por e − s t
Integrar cada termo em relação ao tempo de zero a infinito
"s" é uma constante de unidade de um 1/tempo.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida como:
∞
F ( s) = L[ f ( t ) ] = ∫ f ( t )e − st dt
0
Onde:
f(t)
L
F(s) - Símbolo da transformada de Laplace
- Função do tempo contínua para 0 < t < ∞
- Operador de Laplace
Transformadas de Laplace
Inversa da transformada de Laplace
f ( t ) = L−1 [ f ( s) ]
Onde: f(t)
L
-1
- Função do tempo que não é definida para t<0
- Operador de inversa de Laplace
PROPRIEDADES
As propriedades básicas são:
1. Soma de duas funções
L[ f 1 ( t ) + f 2 ( t ) ] = L[ f 1 ( t ) ] + L[ f 2 ( t )] = F1 ( s) + F2 ( s)
2. Multiplicação por constante
L[ af ( t )] = aL[ f ( t )] = aF ( s)
3. Função com atraso no tempo
L[ f ( t − t 0 )] = e − t
0
s
F ( s)
∞
L[ f ( t − t 0 ) ] = ∫ f ( t − t 0 ) e
− s( t − t0 )
d( t − t0 ) = e
∞
s t0
0
∫ f ( t)e
−s t
dt
0
L[ f ( t − t 0 ) ] = e s t F ( s)
0
4. Derivada primeira de uma função
⎡ df ( t ) ⎤
= sF ( s) − f ( 0)
⎣ dt ⎥⎦
L⎢
onde:
f ( 0) = f ( t = 0)
∞
⎡ df ( t ) ⎤ ∞ df ( t )
−s t
⎥= ∫
e dt = ∫ f ( t ) e − s t dt + f ( t ) e − s t
L⎢
dt
⎣ dt ⎦ 0
0
∞
= sL
[ f ] − f ( 0)
0
⎡ df ( t ) ⎤
⎥ = sF ( s) − f ( 0)
⎣ dt ⎦
L⎢
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Transformadas de Laplace
5. Derivada segunda de uma função
⎡ d 2 f (t) ⎤ 2
df ( 0)
L⎢ 2 ⎥ = s F ( s) − sf ( 0) −
dt
⎣ dt ⎦
fazendo φ =
L⎡⎣⎢d 2 f
onde:
d
f ( t = 0)
dt
df
ou φ ( s) = sF ( s) − f ( 0)
dt
2⎤
dt ⎥ = L [ dφ dt ] = sφ ( s) − φ ( 0)
⎦
substituindo
L( d 2 f
dt
2
) = s[ sF ( s) − f ( 0)] − φ ( 0) = s F ( s) − sf ( 0) − f ' ( 0)
2
6. Derivada n-ésima de uma função
⎡ dn
⎤ n
d n −1
n −1
n −2 d
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
......
f
t
s
F
s
S
f
S
f
f ( 0)
=
−
−
−
−
⎥
n
dt
dt
⎣ dt
⎦
L⎢
7. Integral de uma função entre instantes 0 e t
⎡t
L⎢ ∫ f ( t ) =
⎣0
⎤ 1
1
F ( s) ⎥ = F ( s)
s
⎦ s
EXEMPLOS DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
1. Função constante
f ( s) = a
∞
f ( s) = L [ f ( t ) ] = ∫ ae
0
F ( s) =
−s t
a
dt = − e − s t
s
∞
0
⎛ a⎞
= 0 − ⎜− ⎟
⎝ s⎠
a
s
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2. Função de grau unitário
⎧0 p / t < 0
f ( t) = ⎨
⎩1 p / t ≥ 0
∞
F ( s) = L[ f ( t ) ] = ∫ 1. e
−s t
0
F ( s) =
1
dt = − e − s t
s
∞
0
⎛ 1⎞
= 0 − ⎜− ⎟
⎝ s⎠
1
s
3. Função Pulso
⎧0
⎪
⎪ A
f (t) = ⎨
⎪tw
⎪⎩0
t <0
0 ≤ t < tw
t ≥ tw
∞
F ( s) = L [ f ( t ) ] = ∫ f ( t )e
0
F ( s) =
tw
−s t
a −s t
a
dt = ∫ e − s t dt =
e
tws
0 tw
tw
=
0
a
(1 − e − s tw )
tws
A
( 1 − e − tws )
tws
4. Função Impulso (Delta de Dirac)
⎧
A
⎪ f ( t ) = lim para 0 < t < t o
δ (t)⎨
t w →0 t w
⎪⎩ f ( t ) = 0 para t < 0 e t > t w
L[ f ( t ) ] = lim
tw →0
A
(1 − e− tws )
tw s
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Aplicando a regra de L’Hôpital
d
A( 1 − e − t w s ) ]
[
As
dt
L[ f ( t ) ] = lim w d
=
=A
s
tw →0
( t s)
dt w w
F ( s) = A
5. Função exponencial
F ( t ) = e − bt
∞
L [ f (t )] = ∫ e
− bt
e
− st
∞
dt =
0
F ( s) =
∫e
− (b + s )t
0
[
1
dt =
− e − (b + s )t
b+s
]
∞
=
0
1
b+s
1
b+s
OBS.: A transformada de Laplace não é definida para b < 0.
6. Função trigonométrica
F ( t ) = cosωt =
e jωt + e − jωt
2
L [ f ( t ) ] = L [ e jωt ] + L [ e− jωt ] =
2
2
2
1
1
1
1
1 1
+
s − jω 2 s + jω
1⎛ 1
1 ⎞
F ( s) = ⎜
+
⎟
2 ⎝ s − jω s + jω ⎠
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TEOREMA DO VALOR FINAL
O teorema do valor final relaciona o comportamento em regime estacionário de
f(t), isto é, o ganho da função.
Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do
produto fazendo s tender a zero é o valor da transformada
inversa com t tendendo a infinito.
f ( ∞) = lim f ( t ) = lim sF ( s)
t →∞
s →0
TEOREMA DO VALOR INICIAL
O teorema do valor inicial não dá o valor de f(t) em t = 0, mais num tempo
ligeiramente superior a zero.
Teorema: Se uma transformada de Laplace é multiplicada por s, o valor do produto
fazendo s tender a infinito é o valor da transformada inversa com t tendendo a zero.
f ( 0+ ) = lim f ( t ) = lim sF ( s)
t →0
s →∞
Exemplo:
G ( s) =
5s + 2
s( 5s + 4)
G( 0 + ) = lim [ sG( s) ] = lim
s →∞
s →∞
G( ∞) = lim [ sG( s) ] = lim
s →0
s →0
5s + 2
=1
5s + 4
5s + 2 1
=
5s + 4 2
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TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
O processo matemático de se passar da expressão com variáveis complexas
para expressão no tempo é chamada transformada inversa. A notação da
transformada inversa é :
L−1[ F ( s)] = f ( t )
Um método conveniente para se obter as transformadas inversas de Laplace,
consiste em usar uma tabela de transformadas de Laplace. Neste caso, a
transformada de Laplace deve entrar em forma imediatamente reconhecível na
tabela.
Se uma transformada F(s) não puder encontrada na tabela, então deve-se
expandir em frações parciais e escrever F(s) em termos de funções simples de "s"
nas quais as transformadas são conhecidas.
EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
Para resolver uma expressão algébrica em frações parciais, o denominador
deve ser fatorado. O numerador deve ser pelo menos um grau abaixo do
denominador. Quando o grau do numerador for igual ou maior do denominador, o
numerador deve ser dividido pelo denominador para dar termos que sejam pelo
menos um grau abaixo do denominador.
Existem três tipos básicos de frações parciais, as formas são as seguintes:
1. Fatores lineares no denominador
Expressão:
z (s )
(s + p 1 )(s + p 2 )... (s + p n )
G (s ) =
pi ( i = 1:n ) raízes distintas
Frações Parciais:
G (s ) =
A
B
N
+
+ .... +
s + p1 s + p 2
s + pn
A = lim [(s + p1 )G (s )]
s → p1
B = lim [(s + p 2 )G (s )]
s → p2
N = lim [(s + p n )G (s )]
s → pn
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Exemplo 1
G ( s) =
1
1
=
s( s + 6s + 11s + 6) s( s + 1)( s + 2)( s + 3)
G ( s) =
A
B
C
D
+
+
+
s ( s + 1) ( s + 2) ( s + 3)
3
2
⎡
⎤ 1
1
=
A = lim⎢( s + 0)
s → 0⎣
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎥⎦ 6
⎡
⎤
1
1
=−
B = lim⎢( s + 1)
⎥
s →−1⎣
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎦
2
⎡
⎤ 1
1
=
C = lim ⎢( s + 2)
s →−2⎣
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎥⎦ 2
⎡
⎤
1
1
=−
D = lim⎢( s + 3)
⎥
s →−3⎣
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎦
6
G ( s) =
1
1
1
1
−
+
−
6s 2( s + 1) 2( s + 2) 6( s + 3)
2.Fatores lineares repetidos no denominador
Expressão:
G (s ) =
z (s )
(s + p1 ) (s +
k
p 2 )....(s + p n )
Frações Parciais:
A2
A1
Ak
B
N
+
+ ... +
+
+ .... +
k
2
s − p1 ( s − p1 )
( s − pn )
( s − p1 ) ( s − p2 )
G (s) =
[
]
Ak = lim (s + p1 ) G(s )
s → p1
k
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[
]
⎧d
⎫
k
Ak − 1 = lim ⎨ (s + p1 ) G (s ) ⎬
s → p1 ⎩ ds
⎭
[
]
⎧ d (k − 1)
⎫
k
A1 = lim ⎨ (k − 1) (s + p1 ) G (s ) ⎬
s → p2 ds
⎩
⎭
B = lim [(s + p 2 )G (s )]
s → p2
N = lim [(s + p n )G (s )]
s → pn
Exemplo 2
G ( s) =
s +1
s +1
=
2
s( s + 4 s + 4) s( s + 2)
G ( s) =
A
B
C
+
+
s ( s + 2) ( s + 2) 2
2
⎡
s +1 ⎤ 1
A = lim⎢( s + 0)
2 ⎥=
s →0⎣
s( s + 2) ⎦ 4
⎧d ⎡
⎧ d ⎡ s + 1 ⎤⎫
s + 1 ⎤⎫
1
⎛1⎞
2
⎬ = lim ⎜ 2 ⎟ = −
B = lim ⎨ ⎢( s + 2)
2 ⎥⎬ = lim ⎨
⎢
⎥
s →−2 ⎩ ds ⎣
4
s( s + 2) ⎦⎭ s →−2⎩ ds ⎣ s ⎦⎭ s →−2⎝ s ⎠
⎧⎡
⎧⎡ s + 1 ⎤⎫ 1
s + 1 ⎤⎫
2
⎬=
C = lim ⎨⎢( s + 2)
2 ⎥⎬ = lim ⎨⎢
s →−2 ⎩⎣
s( s + 2) ⎦⎭ s →−2⎩⎣ s ⎥⎦⎭ 2
G ( s) =
1
1
1
−
+
4 s 4( s + 2) 2( s + 2) 2
3.Fatores complexos conjugados no denominador
Quando a função possui pólos complexos
Nesses casos a função temporal sempre envolve produto de uma exponencial e um
seno ou cosseno como indicado a seguir:
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Transformadas de Laplace
L [Ae − at cos ω (t )] =
L [Ae − at senω (t )] =
A(s + a)
(s + a) 2 + ω 2
B(s + a)
(s + a) 2 + ω 2
Quando a função possui pólos complexos e reais.
Para utilizarmos os resultados das seções anteriores devemos primeiro separar os
pólos complexos dos reais da seguinte forma:
Expressão:
F ( s) =
N (s)
(s + p1 )(s + as + b) L
2
=
K s + K3
K1
+ 22
+L
(s + p1 ) (s + as + b)
onde K1 é obtido como definido no item 1 e K2 e K3 são determinados por igualdade
polinomial atribuindo-se valores a s.
Exemplo 3
G (s ) =
G(s) =
(
3
s s + 2s + 5
2
)
K + K3
K1
+ 2 2s
s
s + 2s + 5
K1 pode ser obtido pelo procedimento habitual e vale 3/5. K2 e K3, podem ser
determinados simplificando a equação anterior e comparando os polinômios:
(
3
s s + 2s + 5
2
)
=
K + K3
3
+ 2 2s
5s s + 2 s + 5
6⎞
⎛3
⎞
⎛
3 = ⎜ + K 2 ⎟s 2 + ⎜ K 3 + ⎟s + 3
5⎠
⎝5
⎠
⎝
Portanto K2=-3/5 e K3=-6/5. Ajustando os termos:
3
F ( s) =
5 − 3 ⎛⎜ (s + 1) + (0,5)(2) ⎞⎟
s
5 ⎜⎝ (s + 1) 2 + 2 2 ⎟⎠
utilizando da tabela de laplace, encontramos:
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Transformadas de Laplace
f (t ) =
3 3 −t ⎛
1
⎞
− e ⎜ cos 2t + sen2t ⎟
5 5
2
⎝
⎠
SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS POR LAPLACE
O procedimento que envolve utilizar a transformada de Laplace para obter a
solução de uma equação diferencial é o seguinte:
1.
Transformar cada termo da equação diferencial em suas transformadas
de Laplace, isto é, mudar a função do tempo para uma função de "s ".
2.
Pesquisar todas as manipulações - por exemplo, considerar o que
acontece quando uma entrada degrau é aplicada ao sistema.
3.
Converter a função de Laplace resultante em uma equação como função
do tempo, isto é, operação inversa da transformação de Laplace. Para usar as
tabelas de transformadas de Laplace e assim determinar a conversão, é
freqüentemente necessário decompor em frações parciais para obter as formas
padrões dadas nas tabelas.
Esquematicamente:
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Transformadas de Laplace
Exemplo
Seja a equação diferencial
d 3 y( t )
d 2 y( t )
dy( t )
+
6
+ 11
+ 6 y( t ) = u( t )
3
2
dt
dt
dt
com as seguinte condições iniciais:
d 2 y( 0)
dy( 0)
= 0,
= 0, y( 0) = 0
2
dt
dt
aplique um degrau unitário em u
u(t) = 1
Etapa 1 (Aplicação da transformada de Laplace)
⎡ 3
⎤
⎡ 2
⎤
⎡ dy( t ) ⎤
⎢ d y( t ) ⎥
⎢ d y( t ) ⎥
L⎢
+ 6L
+ 11L⎢
⎥ + 6L
⎢
2 ⎥
3 ⎥
⎣ dt ⎦
dt
dt
⎣
⎦
⎣
⎦
[ y( t )] = L[ u( t )]
⎡ 3
dy( 0) d 2 y( 0) ⎤ ⎡ 2
dy( 0) ⎤
2
⎢ s y( s) − s y( 0) − s dt − dt 2 ⎥ + 6⎢⎣ s y( s) − sy( 0) − dt ⎥⎦ +
⎣
⎦
+11[ sy( s) − y( 0) ] + 6 y( s) = u( s)
s 3 y( s) + 6s 2 y( s) + 11sy( s) + 6 y( s) = u( s)
y ( s) =
1
u( s)
s + 6s + 11s + 6
3
2
L[ u( t ) ] = u( s) =
1
s
Etapa 2 (Operação com a função de transferência)
y ( s) =
1
1
×
s + 6s + 11s + 6 s
y( s) =
1
s( s + 6s + 11s + 6)
3
2
3
2
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Transformadas de Laplace
y( s) =
1
s( s + 1)( s + 2)( s + 3)
Etapa 3a (Expansão em frações parciais)
y( s) =
D
B
C
A
+
+
+
s ( s + 1) ( s + 2) ( s + 3)
⎡
⎤ 1
1
A = lim⎢( s + 0)
=
s → 0⎣
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎥⎦ 6
⎡
⎤
1
1
B = lim⎢( s + 1)
=−
⎥
s →−1⎣
2
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎦
⎡
⎤ 1
1
C = lim ⎢( s + 2)
=
s →−2⎣
s( s + 1)( s + 2)( s + 3) ⎥⎦ 2
⎡
⎤
1
1
D = lim⎢( s + 3)
=−
⎥
s →−3⎣
(
)(
)(
)
6
s s +1 s + 2 s + 3 ⎦
y( s) =
1
1
1
1
−
+
−
6s 2( s + 1) 2( s + 2) 6( s + 3)
Etapa 3b (Aplicação da transformada inversa de Laplace)
⎡ 1 ⎤ 1 - 1⎡ 1 ⎤ 1 - 1⎡ 1 ⎤ 1 - 1⎡ 1 ⎤
− L ⎢
+ L ⎢
− L ⎢
⎣ ( s + 1) ⎥⎦ 2
⎣ ( s + 2) ⎥⎦ 6
⎣ ( s + 3) ⎥⎦
s ⎥⎦ 2
L- 1[ y( s) ] = L- 1⎢⎣
1
6
y( t ) =
1 1 − t 1 −2 t 1 −3t
− e + e − e
6 2
2
6
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Transformadas de Laplace
TABELA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE
F (s ) =
∞
L[ f (t )] = ∫ f (t )e− st dt
0
4
Função
f(t)
Impulso unitário
δ(t)
Degrau unitário
1(t)
Rampa Unitária
t
n
t (n = 1,2,3,...)
5
e − at
6
te − at
1
2
3
7
t n e − at
(n = 1,2,3,...)
8
1
( 1 − e − at )
a
9
1
− at
− ate − at )
2 (1 − e
a
1
( e − at − e −bt )
b−a
1
( be−bt − ae− at )
b−a
sen ωt
10
11
12
Transformada
F(S)
1
1
s
1
s2
n!
s n+1
1
s+a
1
( s + a) 2
n!
( s + a ) n+1
1
s( s + a )
1
2
s( s + a )
1
( s + a )( s + b)
s
( s + a )( s + b)
ω
s +ω2
2
13
cosωt
s
s +ω2
2
14
15
16
Senóide Amortecida
e − at sen ωt
Cossenóide Amortecida
e − at cosωt
ωn
e − ζω t sen ω n 1 − ζ 2 t
2
1− ζ
n
Modelos Dinâmicos
ω
( s + a) 2 + ω 2
s+a
( s + a) 2 + ω 2
ωn 2
s2 + 2ζωn s + ωn 2
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