INSTITUTO SUPERIOR
DEPARTAMENTO
DE
DE
ENGENHARIA
FÍSICA
E
DE
COIMBRA
MATEMÁTICA
ANÁLISE MATEMÁTICA II
23-06-03
Nota: A resolução completa dos exercícios inclui a justificação do raciocínio utilizado.
Duração: 2.30h
TESTE B
1. A figura representa um segmento de esfera de
raio r = 6 que está sob o plano horizontal z = 3 .
(a) Num sistema de coordenadas esféricas o sólido
S = {( r , θ, ϕ ) : 0 ≤ r ≤ 6 ∧ 0 ≤ θ ≤ 2π ∧
π
3
≤ ϕ ≤ π2 }
coincide com o segmento de esfera? Justifique.
(b) Calcule o volume e a massa do sólido supondo
que a sua densidade é constante.
(c) Complete os algoritmos e, associe-os a duas
transformações/mudança de variáveis em 3D
Algoritmo 1:
Algoritmo 2:
Ler (x , y, z )
Ler (r , θ, ϕ)
Se _?_
Se r ≥ _?_ e _?_ ≤ θ ≤ _?_ e _?_ ≤ ϕ ≤ _?_
Então r ←
Então x ← r ∗ sin_?_∗ cos θ
_?_
θ ← arctan
_?_
x
y ← r ∗ sin ϕ ∗ _?_
ϕ ← _?_
z ← _?_∗ cos ϕ
Escrever (r , θ, ϕ)
Escrever (x , y, z )
Senão _?_
Senão _?_
2. Considere a equação não linear ln x − e −x = 0 ⇔ f (x ) = 0
(a) Prove, analiticamente, que a equação dada tem uma única raiz real x r no intervalo
[ 1, 2 ] .
(b) Utilizando o método da bissecção, três vezes, obtenha uma aproximação para a raiz
da equação. Indique a precisão do resultado.
(c) Recorrendo aos gráficos, fixe uma aproximação inicial favorável à aplicação do
método de Newton/Raphson ou das tangentes, e aproxime a raiz x r efectuando duas
Gráficos de
f , f ′ e f ′′
iterações. Represente as aproximações e estabeleça uma simulação grafica do método.
2ªFREQ/1ªCHAMADA
CURSO: ENG. INFORMÁTICA E DE SISTEMAS
V.Pª
3. A figura ao lado representa o protótipo de uma
chave, cujos contornos são definidos por:
• Parábola de eixo horizontal com vértice (-5, 0);
• Elipse de centro (-2,0);
• Arcos de circunferência de raio 1;
• Arcos sinusoidais de equação: y = sen(x ) + 2
e y = − sen(x ) − 2
• Segmentos de recta.
(a) Complete as tabelas de diferenças divididas e, usando a interpoladora de Newton, determine as equações da
parábola e do segmento de recta com declive negativo.
yi
f (yi )
-4
_?_
fi,i +1
fi,i +2
xi
g(x i )
3
2
_?_
π
-1/4
_?_
-5
gi,i +1
_?_
_?_
_?_
2π
1/4
4
-4
(b) Estabeleça o integral duplo que lhe permitiria calcular a área do 1º quadrante limitada pelo arco sinusoidal e,
usando a regra de Simpson, com n = 6 , obtenha um valor aproximado para a área.
(c) Seja S um sólido recto, limitado pelos planos de cota z = 0 e z = 4 , cujo corte no plano
XY
coincide com a figura.
Represente o sólido e calcule o seu volume.
(d) Complete as funções e acrescente comentários para explicar o algoritmo/regras que lhes estão associadas.
Nota: a sintaxe usada é a da programação em MatLab.
function out_simp = simpson(f,a,b,n)
function out_trap = trapezios(f,a,b,n)
h = (b-a)/n;
h = (b-a)/n;
x = a;
x = a;
s = 0;
s = 0;
for i = 1:n-1,
for i = 1:n-1,
x = x+h;
_?_
if mod(i,2) == 0,
_?_
s = s+2*feval(f,x);
end
else
out_trap = h/2*(_?_)
s = _?_;
end
end
out_simp = h/3*(feval(f,a)+_?_+feval(f,b));
2ªFREQ/1ªCHAMADA
CURSO: ENG. INFORMÁTICA E DE SISTEMAS
TESTE B