ESTATÍSTICA APLICADA
Capítulo 2
Descrição, Exploração e
Comparação de Dados
Prof. Paulo Renato de Morais
Descrevendo
Dados Qualitativos
Tabela de Freqüências
1.
Lista categorias e no. elementos na categoria
2.
Obtida tabulando respostas na categoria
3.
Pode mostrar freqüências, % ou ambas
Classe
Freqüência Freq. Relativa
Curso
No Estudantes
Proporção
Engenharia
130
Tabul.: 0,65
Economia
20
0,10
|||| ||||
Administração
50
0,25
|||| ||||
Total
200
1,00
Gráfico em Colunas
Freqüência
150
Coluna mostra
freqüência ou %
Larguras iguais
100
50
0
Ponto Zero
Eng.
Econ.
1/2 a 1 largura da coluna
Adm.
Curso
Gráfico em Setores
1. Mostra divisão da
quantidade total
em categorias
2. Útil para mostrar
diferenças relativas
Cursos
Econ.
10% 36°
3. Valor do ângulo:

(360°)(Porcentagem)
(360°) (10%) = 36°
Adm.
25%
Eng.
65%
Questão
Você deseja analisar a
divisão de mercado
dos fabricantes de
programas para
Windows em 1992.
Construa um gráfico
em colunas e um
gráfico em setores
para descrever os
dados.
Marca
Div. Merc. (%)
Lotus
15
Microsoft
60
WordPerfect
10
Outros
15
Solução do Gráfico em Colunas
Div. Mercado (%)
60%
40%
20%
0%
Lotus
Microsoft Wordperf
Marca
Outros
Solução do Gráfico em Setores
Divisão do Mercado
Wordperfect
10%
Microsoft
60%
Outros
15%
Lotus
15%
Descrevendo
Dados Quantitativos
Histograma
1. Condensa dados agrupando valores
similares em classes num gráfico
2. Pode mostrar freqüências (contagens)
ou freqüências relativas (proporções)
3. Primeiro deve-se construir uma tabela
de distribuição de freqüências
Tabela de Distribuição de
Freqüências
1. Determine amplitude total
2. Selecione número de classes

Usualmente entre 5 e 20 inclusive
3. Calcule intervalos de classe (comprimento)
4. Determine limites das classes
5. Calcule pontos médios das classes
6. Conte observações e designe a classes
Tabela de Distribuição de
Freqüências
Dados: 24, 26, 24, 21, 27, 27, 30, 41, 32, 38
Classe
Amplit.
= 10
P. médio
Freqüência
15 |---- 25
20
3
25 |---- 35
30
5
35 |---- 45
40
2
Limites
(Limite superior + inferior) / 2
Tabela de Distribuição de
Freqüência Relativa e %
Distribuição de Freqüência
Relativa
Classe
Prop.
Distribuição Percentual
Classe
%
15 |---- 25
0,3
15 |---- 25
30,0
25 |---- 35
0,5
25 |---- 35
50,0
35 |---- 45
0,2
35 |---- 45
20,0
Histograma
Contagem
5
Freqüência
Freqüência
Relativa
Porcentagem
4
3
Colunas
se tocam
2
1
0
0
15
25
35
Limites
45
55
Métodos Numéricos
para Dados Quantitativos
Notação
Medida
Média
Desvio padrão
Amostra
População
`X
m
S
s
2
s
Variância
S
Tamanho
n
2
N
Propriedades de Dados
Quantitativos
Tendência Central
(Localização)
Variação
(Dispersão)
Forma
Métodos Numéricos
para Dados Quantitativos
Propriedades
Numéricas
Tendência
Central
Variação
Forma
Média
Amplitude
Mediana
Variância
Moda
Desvio Padrão
Simetria
Intervalo Interquartílico
Medidas de Tendência Central
Média
1.
2.
3.
4.
Medida de tendência central
Medida mais comum
Funciona como ‘ponto de equilíbrio’
Afetada por valores extremos (‘outliers’)
Média
1.
2.
3.
4.
5.
Medida de tendência central
Medida mais comum
Funciona como ‘ponto de equilíbrio’
Afetada por valores extremos (‘outliers’)
Fórmula (média amostral)
n
X=
 Xi
i =1
n
=
X 1 + X 2 + ... + X n
n
Exemplo de Média
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
n
X=
=
 Xi
i =1
n
=
X1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6
6
10,3 + 4,9 + 8,9 + 117
, + 6,3 + 7,7
.
= 8,30
6
Mediana
1. Medida de tendência central
2. Valor central numa seqüência ordenada


Se n é ímpar, valor central da seqüência
Se n é par, média dos 2 valores centrais
Mediana
1. Medida de tendência central
2. Valor central numa seqüência ordenada


Se n é ímpar, valor central da seqüência
Se n é par, média dos 2 valores centrais
3. Posição da mediana na seqüência:
n +1
Posição =
2
Mediana
1. Medida de tendência central
2. Valor central numa seqüência ordenada


Se n é ímpar, valor central da seqüência
Se n é par, média dos 2 valores centrais
3. Posição da mediana na seqüência
n+ 1
Posição =
2
4. Não é afetada por valores extremos
Exemplo de Mediana:
Amostra Tamanho Ímpar
Dados:
24,1 22,6 21,5 23,7 22,6
Ordenação:21,5 22,6 22,6 23,7 24,1
Posição:
1
2
3
4
5
n +1 5 +1
Posição =
=
=3
2
2
Mediana = 22,6
Exemplo de Mediana
Amostra Tamanho Par
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenação: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição:
1
2
3
4
5
6
n +1 6 +1
Posição =
=
= 3,5
2
2
7,7 + 8,9
Mediana =
= 8,3
2
Moda
1.
2.
3.
4.
Medida de tendência central
Valor que ocorre mais freqüentemente
Não é afetada por valores extremos
Pode haver nenhuma moda ou várias
modas
5. Pode ser usada para dados quantitativos e
qualitativos
Exemplo de Moda
Nenhuma Moda:
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Uma Moda:
Dados:
6,3 4,9 8,9 6,3 4,9 4,9
Mais de Uma Moda:
Dados:
21 28 28
41
43
43
Questão
Você deve analisar dados de um teste sobre um
determinado parâmetro de vôo. Os dados são:
17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11
Descreva estes dados em termos de tendência
central.
Solução da Tendência Central
Média
n
X=
=
 Xi
i =1
n
=
X 1 + X 2 + ... + X 8
8
17 + 16 + 21 + 18 + 13 + 16 + 12 + 11
= 15,5
8
Solução da Tendência Central
Mediana
Dados:
17 16 21 18 13 16 12 11
Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21
Posição:
1 2 3 4 5 6 7 8
n +1 8 +1
=
= 4,5
Posição =
2
2
16 + 16
Mediana =
= 16
2
Solução da Tendência Central
Moda
Dados:
17 16 21 18 13 16 12 11
Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21
Moda = 16
Resumo das
Medidas de Tendência Central
Medida
Média
Mediana
Moda
Equação
S Xi / n
(n+1) Posição
2
Nenhuma
Descrição
Ponto de Equilíbrio
Valor Central
Quando Ordenados
Mais Freqüente
Medidas de Variação
ou Dispersão
Amplitude Total
1. Medida de dispersão
2. Diferença entre maior e menor
observação
Amplitude = X maior - X menor
Amplitude Total
1. Medida de dispersão
2. Diferença entre maior e menor
observação
Amplitude = X maior - X menor
3. Ignora como os dados estão distribuídos
7 8 9 10
7 8 9 10
Variância e Desvio Padrão
1. Medidas de dispersão
2. Medidas mais comuns
3. Considera como os dados estão distribuídos
Variância e Desvio Padrão
1. Medidas de dispersão
2. Medidas mais comuns
3. Considera como os dados estão distribuídos
4. Mostra variação ao redor da média (X ou m)
`X = 8,3
4 6
8 10 12
Fórmula da Variância Amostral
n
S =
2
 (X i - X)
i =1
n -1
2
=
2
2
(X1 - X) + (X2 - X) + ... + (X n - X)
n -1
2
Fórmula da Variância Amostral
n
S =
2
 (Xi - X)
i =1
n -1
2
=
2
n - 1 no denominador!
(Use N se Variância
Populacional)
2
(X1 - X) + (X2 - X) + L + (X n - X)
n -1
2
Fórmula do Desvio Padrão
Amostral
S= S
2
n
=
 (Xi - X)
i =1
n -1
2
=
2
2
(X1 - X) + (X 2 - X) + ... + (Xn - X)
n -1
2
Exemplo da Variância
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
n
S =
2
 (X i - X)
i =1
n
2
onde X =
n -1
2
S =
2
2
 Xi
i =1
n
= 8,3
(10,3 - 8,3) + (4 ,9 - 8,3) + ... + (7,7 - 8,3)
= 6,368
6 -1
2
Questão
Você deve analisar dados de um teste sobre um
determinado parâmetro de vôo. Os dados são:
17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11
Quais são a variância e o desvio padrão dos
dados?
Solução
Variância Amostral
Dados:
17 16 21 18 13 16 12 11
n
S =
2
 (X i - X)
n
2
i =1
n -1
onde X =
2
S =
2
2
 Xi
i =1
n
= 15,5
(17- 15,5) + (16 - 15,5) + ... + (11 - 15, 5)
,
= 1114
8 -1
2
Solução
Desvio Padrão Amostral
n
S= S =
2
 (X i - X)
i =1
n -1
2
, = 3,34
= 1114
Resumo das Medidas de
Variabilidade
Medida
Equação
Descrição
Amplitude Total
Xmaior - Xmenor
Interv. Interquartílico
Q3 - Q1
Desvio Padrão
(Amostral)
 (X
Desvio Padrão
(Populacional)
 (X i
Variância
(Amostral)
i
Dispersão 50% Centrais
- X)
n -1
- m)
Dispersão Total
2
2
Dispersão sobre
Média Amostral
Dispersão sobre
Média Populacional
N
S(Xi -`X )2
n-1
Dispersão Quadrática
sobre Média Amostral
Forma
Forma
1. Descreve como os dados estão distribuídos
2. Medida pela simetria
Simétrica
Média = Mediana = Moda
Forma
1. Descreve como os dados estão distribuídos
2. Medida pela simetria
Desvio à esquerda
Simétrica
Desvio à direita
Méd. Median Moda Méd. = Median= Moda Moda Median Média
Quartis
Quartis
1. Medida de tendência não-central
2. Divide dados ordenados em 4 partes
25%
25%
Q1
25%
Q2
25%
Q3
3. Posição do i-ésimo quartil
i  (n + 1)
Posição de Qi =
4
Exemplo de Quartil (Q1)
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição:
1
2
3
4
5
6
Posição Q 1
Q 1 = 6,3
1 (n + 1) 1  (6 + 1)
, @2
=
=
= 175
4
4
Exemplo de Quartil (Q2)
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição:
1
2
3
4
5
6
2  (n + 1) 2  (6 + 1)
Posição Q =
=
= 3,5
4
4
2
7,7 + 8,9
Q2 =
= 8,3
2
Exemplo de Quartil (Q3)
Dados:
10,3 4,9 8,9 11,7 6,3 7,7
Ordenados: 4,9 6,3 7,7 8,9 10,3 11,7
Posição:
1
2
3
4
5
6
3  (n + 1) 3  (6 + 1)
Posição Q3 =
=
= 5,25 @ 5
4
4
Q 3 = 10,3
Intervalo Interquartílico
1. Medida de dispersão
2. Também chamado dispersão central
3. Diferença entre terceiro e primeiro quartis
Intervalo Interquartílico = Q3 - Q1
4. Dispersão dos 50% centrais
5. Não é afetado por valores extremos
Questão
Você deve analisar dados de um teste sobre um
determinado parâmetro de vôo. Os dados são:
17, 16, 21, 18, 13, 16, 12, 11
Quais são os quartis Q1 e Q3 e o intervalo
interquartílico?
Solução do Quartil
Q1
Dados:
17 16 21 18 13 16 12 11
Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21
Posição:
1 2 3 4 5 6 7 8
1 (n + 1) 1  (8 + 1)
Posição Q 1 =
=
= 2,25 @ 2
4
4
Q 1 = 12
Solução do Quartil
Q3
Dados:
17 16 21 18 13 16 12 11
Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21
Posição:
1 2 3 4 5 6 7 8
Posição Q 3 =
Q 3 = 18
3  (n + 1)
4
=
3  (8 + 1)
4
= 6,75 @ 7
Solução do Intervalo
Interquartílico
Intervalo Interquartílico
Dados:
17 16 21 18 13 16 12 11
Ordenados: 11 12 13 16 16 17 18 21
Posição:
1 2 3 4 5 6 7 8
Intervalo Interquart.= Q3 - Q1 = 18 - 12 = 6