Trigonometria
Aceite para publicação em 22 de Setembro de 2011
Trigonometria
Ficha técnica
Autor da atividade :
Licença da atividade:
José António Fernandes de Freitas
José António Fernandes de Freitas
Creative Commons da Casa das Ciências
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Trigonometria
CURSO Ciências e Tecnologias
ANO 11º
TEMA Funções Trigonométricas
Obs:
FICHA ORIENTADA DE MATEMÁTICA A
ESTUDO DA FUNÇÃO SENO
Na sequência de mover o ponto C, de forma a visualizar o gráfico da restrição da função
seno ao intervalo [0, 2π], responda às seguintes questões.
1. Mova o ponto C, no sentido anti-horário, sobre o arco que corresponde ao primeiro
quadrante e conjeture sobre a monotonia e sinal da função seno, registando as suas
conclusões. Proceda de igual forma para os restantes quadrantes.
Função
Quadrantes
Monotonia
Sinal
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
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Trigonometria
2. Identificar as raízes e os pontos de máximo e mínimo de
[0, 2π].
no intervalo
Explore o gráfico da função para completar as informações a seguir:
de 0 a 2 são …….. e …….
2.1.
As raízes de
2.2.
O valor mínimo de
de 0 a 2 é …….. e ocorre quando
……..
2.3.
O valor máximo de
de 0 a 2 é …….. e ocorre quando
……..
Observe agora parte da representação gráfica da função
.
3. Complete as seguintes afirmações:
é …………;
3.1.
o domínio da função
3.2.
o contradomínio da função
3.3.
zeros da função :
…………………;
3.4.
o máximo da função
é ….. para
……………………;
3.5.
o mínimo da função
é ….. para
……………………;
4. Como classifica a função
é ………..;
relativamente à paridade?
É uma função …………… , ou seja,
.
5. Dada qualquer amplitude
, qual o menor valor positivo
? ……………………………………..
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que satisfaz a condição
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6. A função seno é ……………………. e ………….. é o período positivo mínimo.
7. Preencha a tabela seguinte:
Domínio
Contradomínio
Zeros
Extremos
Período
k = -2
k = -1
k=
k=3
a = -3
a = -1
a=
a=2
m = -1
m=m=2
m=3
b = -2
b=b=
b=2
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Após uma análise dos resultados obtidos na tabela anterior, responda às questões
seguintes.
8. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro
?
em funções do tipo
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
9. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro
?
em funções do tipo
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
10. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro
?
em funções do tipo
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
11. Que pode concluir relativamente à influência do parâmetro
?
em funções do tipo
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
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ESTUDO DA FUNÇÃO COSSENO
Na sequência de mover o ponto C, de forma a visualizar o gráfico da restrição da função
cosseno ao intervalo [0, 2π], responda às seguintes questões.
12. Mova o ponto C, no sentido anti-horário, sobre o arco que corresponde ao primeiro
quadrante e conjeture sobre a monotonia e sinal da função cosseno, registando as suas
conclusões. Proceda de igual forma para os restantes quadrantes.
Função
Quadrantes
Monotonia
Sinal
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
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13. Identificar as raízes e os pontos de máximo e mínimo de
[0, 2π].
no intervalo
Explore o gráfico da função para completar as informações a seguir:
de 0 a 2 são …….. e …….
13.1. As raízes de
13.2. O valor mínimo de
de 0 a 2 é …….. e ocorre quando
……..
13.3. O valor máximo de
de 0 a 2 é …….. e ocorre quando
……..
Observe agora parte da representação gráfica da função
.
14. Complete as seguintes afirmações:
14.1. o domínio da função
é …………;
14.2. o contradomínio da função
é ………..;
14.3. zeros da função :
…………………;
14.4. o máximo da função
é ….. para
……………………;
14.5. o mínimo da função
é ….. para
……………………;
15. Como classifica a função
relativamente à paridade?
É uma função …………… , ou seja,
.
16. Dada qualquer amplitude
, qual o menor valor positivo
? ……………………………………..
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que satisfaz a condição
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17. A função cosseno é ……………………. e ………….. é o período positivo mínimo.
ESTUDO DA FUNÇÃO TANGENTE
Na sequência de mover o ponto C, de forma a visualizar o gráfico da restrição da função
tangente ao intervalo [0, 2π], para os valores de x onde a tangente está definida, responda às
seguintes questões.
18. Mova o ponto C, no sentido anti-horário, sobre o arco que corresponde ao primeiro
quadrante e conjeture sobre a monotonia e sinal da função tangente, registando as suas
conclusões. Proceda de igual forma para os restantes quadrantes.
Função
Quadrantes
Monotonia
Sinal
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
19. Identificar as raízes e conjeturar sobre a existência de máximos e mínimos de
no intervalo [0, 2π], para valores de x onde a tangente está definida.
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Explore o gráfico da função para completar as informações a seguir:
de 0 a 2 são …….., ……. e ….…
19.1. As raízes de
19.2. O valor mínimo de
de 0 a 2 ………………………….
19.3. O valor máximo de
de 0 a 2 …………………………
Observe agora parte da representação gráfica da função
.
20. Complete as seguintes afirmações:
20.1. o domínio da função
é …………;
20.2. o contradomínio da função
20.3. zeros da função :
20.4. A função
é ………..;
…………………;
não tem …………………………..
21. Como classifica a função
relativamente à paridade?
É uma função …………… , ou seja,
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.
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22. Dada qualquer amplitude
, qual o menor valor positivo
? ……………………………………..
que satisfaz a condição
23. A função tangente é ……………………. e ………….. é o período positivo mínimo.
EXERCÍCIOS
1. Na figura está representada a trajectória de uma bola num relvado, depois de ter sido pontapeada por um
atleta.
Seja h uma função, de domínio
, definida por
.
Admita que h dá a altura, em metros, da bola ao solo em função da amplitude , em radianos, do arco SPB (S
é o ponto de saída da bola, P é um ponto fixo do relvado e B é o ponto onde se encontra a bola).
1.1.
Calcule h(0,7), apresentando o resultado arredondado às centésimas. Interprete o resultado no
contexto do problema.
1.2.
Recorra à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que lhe permite
resolver o seguinte problema:
Quais são os valores para a amplitude, em radianos, do arco SPB, para que a altura da bola seja
igual a 1 metro?
Apresente todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora, nomeadamente o gráfico, ou
gráficos obtido(s).
Apresente os resultados na forma de dízima, arredondado às centésimas.
1.3.
Num certo instante, a bola encontra-se a uma distância do
ponto P que é igual ao dobro da distância da projecção da
bola no relvado (ponto R, como se pode ver na figura ao lado)
a esse ponto P.
Qual á a altura da bola? Apresente o resultado em metros,
arredondado às centésimas.
2. Na figura está representada uma circunferência de centro C e raio 60 m.
O quadrado [ABCD] tem 120 m de lado.
EF é um arco de circunferência de centro em C e o ponto P move-se ao longo desse arco; em consequência,
o ponto Q desloca-se sobre o segmento [AB], de tal forma que se tem sempre
.
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Então, P é um ponto da circunferência cuja posição depende do ângulo
trapézio.
2.1.
2.2.
e o quadrilátero [CPQB] é um
Qual seria a área do trapézio se:
2.1.1.
?
2.1.2.
?
Mostre sucessivamente que:
2.2.1.
2.2.2.
2.2.3.
a altura h do trapézio é dada pela
expressão
:
é dado em função de
;
por
a área, A, do trapézio é dada em função de
por
.
2.3.
Determine o comprimento do arco PF se
2.4.
Recorra à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que permite resolver o
seguinte problema:
“Qual o valor de
.
para o qual a área do trapézio [CPQB] é 6000 m2?”
Num pequeno texto, explique as conclusões a que chegou, incluindo o(s) gráfico(s) obtido(s), bem
como as coordenadas de pontos relevantes. Apresente o valor pedido em radianos e na forma de
dízima arredondado às milésimas.
3. A nossa respiração é um fenómeno cíclico, com períodos alternados de inspiração e expiração. Em
determinado adulto, a velocidade do ar nos pulmões em função do tempo, em segundos, decorrido a partir
do início de uma inspiração
é
dada
pela
equação
Qual é o ciclo respiratório
completo desse adulto?
4. Num determinado lugar, as marés altas ocorrem às 0h e às 12h, com altitude de 0,9m, enquanto as marés
baixas ocorrem às 6h e às 18h com altitude de 0,1m. Nessas condições, qual a função que descreve a
altitude do mar em relação ao horário t, em horas?
Sugestão: Feito este estudo das funções trigonométricas, deve resolver os exercícios propostos no manual escolar.
FIM
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