Prof. Robson Rodrigues da Silva
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6. Números Complexos
6.1 Introdução
No início do século XVI, os problemas matemáticos que conduziam a equações do tipo
3
x + px + q = 0 eram considerados sem solução. Entretanto, a fórmula resolutiva para esse tipo de
equação foi apresentada por Cardano no seu livro Ars Magna em 1545. Na verdade essa fórmula já
havia sido desenvolvida por um matemático italiano apelidado de Tartaglia em 10 de Fevereiro de
1535. Mas isso é uma outra história...
1
3
p
 q
x  3    
3
2
Cardano (1501 – 1576)
2
3

q 3 p
 q

   
2
3
2
Tartaglia (1500 – 1557)
2
Euler (1707 – 1783)

q
2
Bombelli (1526 – 1572)
Em 1572 um matemático chamado Bombelli apresentou uma equação que resolvida pela
3
fórmula de Cardano apresentava um resultado inusitado: x – 15x – 4 = 0.
Aplicando a fórmula de Cardano obtemos: x =
3
 121  2  3  121  2 , que na época com
a notação dada pelo próprio Bombelli era escrita como:
x = RcRq0m121p2 m RcRq0m121m2
O que significa
pior:
3
 121 ? Bombelli ousou admitir que
 121  11  1 e conseguiu mostrar o
 121  2  3  121  2 = 4. Para isso Bombelli assumiu que ( (  1)(  1)  1.
Apenas em 1777 é que o grande matemático suíço Leonhard Euler utlizou o símbolo “i” para
representar a
 1 e a batizou de unidade imaginária.
Outro problema que também intrigava muito os matemáticos da época era o seguinte:
“Um certo número é dividido em duas partes de tal forma que a soma dessas partes vale 6 e o
produto vale 13. Determine esse número.”
Tente resolver esse problema!
1
Para saber mais leia: “O Romance das Equações Algébricas” – Gilberto G. Gabi – Editora Makron Books
Álgebra I – Números complexos
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Atualmente os números complexos podem ser apresentados da seguinte forma:
6.2 Definição
Chama-se número complexo a todo número da forma z = a + bi, onde a, b  R e i =  1 .
Exemplos: z = 2 + 3i, z = 2i, z = 5.
Observações
1. O conjunto dos números complexo será denotado por C.
2. A forma z = a + bi é chamada forma algébrica do número complexo.
3. O número real a é chamado parte real do complexo z e denotamos Re(z) = a.
4.O número real b é chamado parte imaginária de z e denotamos Im(z) = b.
5.Quando b = 0, z é chamado de número real. Assim podemos identificar cada número real com um
número complexo com parte imaginária nula. Por esse motivo podemos escrever que R  C.
6.Quando a = 0 e b  0 dizemos que z é um imaginário puro.
7.Sendo i =
 1 temos que i2 = -1.
6.3 Igualdade de complexos
Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di temos z1 = z2  a = c e b = d.
6.4 Adição e multiplicação de complexos na forma algébrica
Sejam os complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, então definimos:
Adição. z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
Multiplicação. z1.z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
Exemplos: Sendo z1 = 2 + 3i e z2 = -4 + 5i determine:
a) z1 + z2
b) z1.z2
Exercícios
1. Determine m para que z = (m – 2i)(2m – i) seja um imaginário puro.
2
2. Obtenha os reais a e b tal que (a + bi) = 2i.
6.5 Divisão de complexos na forma algébrica
6.5.1 Conjugado de um número complexo
Dado o número complexo z = a + bi, chama-se conjugado de z, ao número complexo z  a  bi .
Exercícios
1. Prove que z. z e z + z é um número real.
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2. Determine o número complexo z tal que iz + z + z = 1 + 2i.
6.5.2 Divisão de complexos na forma algébrica.
Dados dois números complexos z1 e z2, com z2  0, chama-se divisão de z1 por z2 ao processo
que associa ao par (z1, z2) um único número complexo z, tal que z1 = z.z2.
Exemplo. Sendo z1 = 3 + 2i e z2 = 1 + 5i obtenha
z1
.
z2
Exercício. Determinar o número real x de modo que o número complexo z =
6.6 Potências de i
Proposição. Toda potência de i com expoente natural é igual a 1, i, - 1 ou - i.
Exercício 1. Demonstre a proposição anterior.
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Exercício 2. Calcule i .
1  2i
seja real.
xi