Métodos Matemáticos em Biologia I
Polo da UFRJ em Xerém
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1 semestre de 2011
Cálculo Integral
Exercício 1. Ache uma primitiva de f e em seguida, derive para conferir os resultados.
1. f (x) = (2x2 − 3)2
2. f (x) = (3x2 + 5 +
5. f (x) =
√
3. f (x) =
x5 + 2x2 − 1
x4
4. f (x) =
x−1/3 − 5
x
x)
x4 + 3x−1/2 + 4
√
3
x
1
6. f (x) = (2 cos x + √ )
x
7. f (x) = (ex − e−x )
Exercício 2. Calcule as integrais definidas.
Z
1
(x3 − 4x2 + 1) dx
1.
Z
2
Z
9√
4.
0
Z
π/2
5.
cos(x) dx
2.
3.
Z
2
dx
1 x
2
Z
2
2
x2 dx. Deduza o
x dx e I2 =
1
2
(x − 1)(x − 2) dx
c.
1
1
2
Z
2x(x + 1) dx
b.
Z
1
Z
(6x − 1) dx
2
dx, I1 =
1
valor das seguintes integrais.
Z
2 sen(x) dx
−π
Exercício 3. Calcule as integrais definidas I0 =
a.
π
6.
Z
Z
x dx
4
0
Z
dx
6
1x
2
(3x + 2)2 dx
d.
1
1
Exercício 4. Utilize o método de substitução de variável para calcular as integrais:
Z
1.
Z
2.
1
2x
dx (dica: u = 1 + x2 )
2
1
+
x
0
π
2
sen(x + 7) dx (dica: u = x + 7)
4.
π
4
5
6.
0
Z
Z
dx
(dica: u = 3x − 5)
8
0 (3x − 5)
dx
+ 5x + 13
−10
(dica: escreve o denominador na forma u2 +a)
Z 4√
√
x−2
7.
dx (dica: u = x − 2)
2 x+1
Z 7
10 √
8.
x2 − 2x4 dx (dica: u = 1 − 2x2 )
sen2 (x) cos(x) dx (dica: u = sen x)
π
3.
1
5.
0
Z
Z
tan(x) dx (dica: u = cos x)
− π4
x2
0
1
Exercício 5. Utilize o método de integração por partes para calcular as integrais:
Z
1
xe−2x dx
1.
(dica: u = x, dv =
Z
e−2x dx)
4.
0
Z
Z
x ln(x) dx (dica: u = ln x, dv = xdx)
3.
π
2
1
e2x sen(x) dx
5.
1
Z
x cos(x) dx (dica: u = x, dv = cos(x) dx)
0
2
2.
π
3
0
(dica: u = e2x , dv = sen(x) dx)
Z π
2
6.
sen3 (x) dx
x2 sen(x) dx
0
(dica: u = x2 , dv = sen(x) dx)
0
(dica: u = sen2 (x), dv = sen(x) dx)
Exercício 6. Encontre a área limitada pela curva y = 4 − x2 e o eixo dos x.
Exercício 7. Encontre a área limitada pela curva y = −2 + x2 e o eixo dos x.
Exercício 8. Encontre a área limitada pela curva y = sen x e pelo eixo dos x de 0 até 2π. (Dica:
divide a região em duas subregiões onde sen é negativo ou positivo)
y
y
4
y
√
− 2
x
√
2
π
0
−2
2
−2
x
Exercício 9. Encontre a área limitada por y = x2 e y = x + 2.
y
4
−2
0
2
x
Exercício 10. Encontre a área limitada por y = x3 e y = x.
y
1
x
−1
2
2π
Z
Exercício 11. Seja f (x) =
x = 0.
x
1
1
dt. Pelo TFC, f é a primitive de
que se anula em
2
1 + x2
01+t
1. Justifique que f é uma função crescente sobre R.
2. Seja C a curva gráfico de f , mostre que C passa pela origem O e dê a equação da reta tangente
a C em O.
Z tan x
π π
1
3. Para x ∈] − , [ definimos g(x) = f ◦ tan(x) =
dt.
2 2
1 + t2
0
π π
Demonstre que g é derivável em ] − , [ e determine g 0 (x).
2 2
Deduza uma expressão simples de g(x).
√
4. Determine f (1) e f ( 3).
Z
x
dt
+
5. Para x ∈]0, +∞[ definimos h(x) =
2
01+t
h é constante. Qual é o valor de h(x)?
Z
1
x
0
dt
. Calcule a derivada de h e deduza que
1 + t2
6. Determine lim f (x).
x→+∞
7. Mostre que f (x) = −f (−x) (Dica: cálcule a derivada de u(x) = f (x) + f (−x)). Diz-se que f é
impare, a sua curva gráfico é simétrica em relação a origem O. Esboça o gráfico de f .
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