Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de Fı́sica Teórica
Autor
Jim Skea
Data 7 novembro 2011
Mecanica Analı́tica
Exercı́cios 5: O Formalismo Hamiltoniano
Lembretes
O momento conjugado à coordenada qi é definido como
pi =
∂L
∂ q̇i
(1)
P
A hamiltoniana (ou função hamiltoniana) é H(qi , pi , t) = pi q̇i − L.
A hamiltoniana pode ser uma função do tempo e das coordenadas generalizadas e dos momentos conjugados, mas NÃO das velocidades generalizadas, que devem ser eliminadas usando (1).
As equações de Hamilton são
∂H
∂H
, ṗi = −
.
q̇i =
∂pi
∂qi
Q1* Encontre as equações de Hamilton para um oscilador harmonico unidimensional.
R1 A lagrangiana é
L = T − V = 12 mq̇ 2 − 21 kq 2 ,
que fornece
p=
∂L
p
= mq̇ ⇒ q̇ = .
∂ q̇
m
Portanto a hamiltoniana é
H = pq̇ − L = p
p
−
m
1
mq̇ 2
2
p2
+ 21 kq 2 .
− 12 kq 2 =
2m
Reparamos que, neste caso, H = T + V (porque V não depende da velocidade generalizada q̇). A
hamiltoniana gera as equações de Hamilton
∂H
∂p
∂H
ṗ = −
∂q
q̇ =
=
p
,
m
= −kq.
Derivando a primeira equação e usando a segunda para substituir pelo ṗ que resulta vem
q̈ = −
k
q
m
ou seja
q̈ + ω 2 q = 0
com ω =
p
k/m.
Q2* Encontre a hamiltoniana e as equações de Hamilton para um pêndulo sı́mples.
R2 Tomamos o zero da energia potencial em θ = π/2. Assim
T = 12 ml2 θ̇2
e
V = −mgl cos θ
(reparamos que V tem seu valor mı́nimo quando θ = 0, como deveria ser o caso). A lagrangiana é
L = T − V = 12 ml2 θ̇2 + mgl cos θ.
O momento conjugado pθ é
pθ =
∂L
pθ
= ml2 θ̇ ⇒ θ̇ =
.
ml2
∂ θ̇
Usando essa equação para eliminar θ̇,
p2θ
− mgl cos θ.
H = pθ θ̇ − L =
ml2
(Repare que H = T + V pois a energia cinética é quadrática nas velocidades generalizadas, e o potencial
independe dessa velocidades).
As equações de Hamilton são
∂H
pθ
=
,
∂pθ
ml2
∂H
= −mgl sen θ.
ṗθ = −
∂θ
Derivando a primeira equação e substituindo por ṗθ da segunda obtemos a equação de movimento usual
g
θ̈ + sen θ = 0.
l
θ̇ =
Q3* Obtenha as equações de Hamilton para o pêndulo cônico. Demonstre que pφ é uma constante do
movimento.
R3 Sendo θ o ângulo polar, medido da posição vertical, e φ o ângulo axial temos que
T = 21 ml2 θ̇2 + 12 ml2 sen2 θφ̇2
e
V = −mgl cos θ.
Assim,
L = T − V = 21 ml2 θ̇2 + 12 ml2 sen2 θφ̇2 + mgl cos θ.
Calculamos os momentos conjugados
∂L
∂L
pθ =
= ml2 θ̇, pφ =
= ml2 sen2 θφ̇,
∂ θ̇
∂ φ̇
que, invertidos, fornecem as suguintes expressões para as velocidades generalizadas:
pθ
pφ
θ̇ =
, φ̇ =
.
2
2
ml
ml sen2 θ
P
Podemos montar H da lagrangiana como H = pi q̇i − L mas é mais fácil reparar que a energia cinética é
quadrática nas velocidades q̇I e que o potencial independe de q̇I portanto a hamiltoniana é a energia total,
H = T + V . Eliminando q̇I em favor de pI temos
H=
pθ 2
pφ
+
− mgl cos θ.
2
2
2ml
2ml sen2 θ
As equações de Hamilton são
∂H
∂pθ
∂H
φ̇ =
∂pφ
∂H
ṗθ = −
∂θ
∂H
ṗφ = −
∂φ
θ̇ =
pθ
,
ml2
pφ
=
,
2
ml sen2 θ
cos θ pφ
=
+ mgl sen θ,
ml2 sen3 θ
=
= 0.
Podemos ver da última equação que pφ é uma constante do movimento. Alternativamente isso pode ser
deduzido reparando que φ é uma coordenada cı́clica (não consta explicitamente na hamiltoniana).
Q4* Considere o movimento unidimensional de uma partı́cula com coordenada cartesiana x e com energia
potencial V (x, ẋ, t). Demonstre que
(a) a hamiltoniana é igual à energia cinética se V tem a forma V = f (x, t) ẋ, onde f (x, t) é uma função
arbitrária de seus argumentos.
(b) a hamiltoniana é igual à lagrangiana se V tem a forma V = g(x, t) ẋ2 , onde g(x, t) é uma função
arbitrária de seus argumentos.
Q5* Uma partı́cula de massa m se desloca no espaço, sob o efeito de uma força conservativa, com energia
potencial V (r). Encontre a Hamiltoniana, em coordenadas esféricas (r, θ, φ) e demonstre que φ é ignorável,
mas θ nãoo. Escreva a expressãoo K = m2 r4 [θ̇2 + sen2 (θ)φ̇2 ] em termos dos momentos generalizados e use
as equações de Hamilton para demonstrar que K é uma constante do movimento (sua derivada total com
respeito a t é zero).
Q6 Um pêndulo simples, de massa m e comprimento l, está pendurado sob um carrinho, de massa M ,
que se desloca livremente ao longo de um trilho elevado horizontal, sem atrito. O pêndulo oscila num
plano paralelo ao movimento do carrinho. Com x representando a posiçãoo do carrinho e θ a inclinaçãoo
do pêndulo do vertical, escreva a lagrangiana L e encontre as equações de Lagrange do sistema. Monte a
Hamiltoniana e demonstre que x é ignorável (cı́clica).
Q7 Uma partı́cula de massa m se move em uma dimensão, sujeita à força
F (x, t) = kx−2 e−t/τ ,
(k, τ > 0, constantes).
Calcule L(x, t) e H(x, px , t). A hamiltoniana é igual à energia total? A hamiltoniana é conservada?
Q8 Um pêndulo simples, de comprimento inicial l0 e massa m, tem seu comprimento reduzido de acordo
com
dl
= −α, (α constante).
dt
Calcule L e H. A hamiltoniana é igual à energia total? A hamiltoniana é conservada?
Q9* Partindo da lagrangiana em coordenadas cartesianas
L=
1
~ · ~v ,
m~v 2 − qφ + q A
2
~v = (ẋ, ẏ, ż),
φ = φ(x, y, z, t),
~ = A(x,
~ y, z, t),
A
demonstre que a hamiltoniana de uma partı́cula de carga q, em um campo eletromagnético, é
H=
1
~ 2 + qφ.
(~p − q A)
2m
Escrevendo a lagrangiana em coordenadas cilı́ndricas (r, θ, z) mostre que se, em coordenadas cilı́ndricas,
~ tem a forma A
~ = (0, Aθ , 0), onde a componente angular, Aθ depende de r e z,
A
H=
1 2
[pz + p2r + r−2 (pθ − qrAθ )2 ] + qφ,
2m
~ indicada é de um campo
e podemos ecolher φ = 0 sem modificar as equações de Hamilton. (A forma de A
axial puramente magnético).