Mecânica e Energia
Densidade com esferas
Um pouco de história
Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi um filósofo, inventor e matemático grego que viveu na
cidade chamada Siracusa, na Grécia Antiga. Diz a história que naquela época, o rei Hierão
mandou fazer uma coroa de ouro, porém ele desconfiou que o ourives o tinha enganado,
misturando algum outro metal – menos nobre – com o ouro. O rei, então, ordenou a
Arquimedes que solucionasse o problema, mas não queria que a coroa fosse desmanchada. O
prazo que o rei deu a Arquimedes estava a terminar e, segundo consta, ele acabou por
encontrar a solução deste problema por acaso, durante o banho.
Ao entrar na banheira, Arquimedes percebeu que o seu corpo deslocava certo volume de
água, fazendo a água transbordar e deduziu que o volume da água deslocada deveria ser igual
ao volume do seu corpo. Assim, ele pensou que o volume de água deslocado pela coroa, se
essa fosse feita de ouro puro, deveria ser diferente do volume deslocado por uma coroa com a
mesma massa mas feita com uma mistura de ouro e outro metal.
Isso pode ser traduzido da seguinte forma: uma determinada massa de ouro terá volume
diferente que a mesma massa de outro metal, como a prata. Arquimedes ficou tão empolgado
com a descoberta que saiu da banheira correndo para casa, sem roupa, gritando: Eureka!
Eureka!, que significa “descobri”, em grego.
Na verdade, Arquimedes descobriu – a partir das densidades do material da coroa e do ouro –
que a coroa não era de ouro puro, mas sim misturada com prata. Arquimedes percebeu que
massas iguais de diferentes metais deslocavam diferentes volumes de água. Para isso,
comparou a quantidade de água deslocada pela coroa com a quantidade de água deslocada
pela mesma massa de ouro e de prata. A coroa deslocava maior quantidade de água que a
mesma massa em ouro, porém menor que a mesma massa de prata. Isso mostrava que a
coroa não era feita somente de ouro. Arquimedes usou o conceito de densidade para provar
que a coroa tinha sido feita com uma liga (mistura) de ouro e prata. O rei não deve ter ficado lá
muito satisfeito com o ourives...
Material
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Uma esfera de aço maciça ( 3,49 cm)
Uma esfera de aço oca ( 12,7 cm)
Uma tina de vidro
Água
Papel absorvente
Dois recipientes de plásticos iguais
Balança
Montagem
O kit é constituído por uma tina de vidro e um conjunto de duas esferas de aço inoxidável com
massas iguais, ou aproximadamente iguais, mas com volumes muito diferentes. Uma esfera é
maciça, tendo um diâmetro de 3,49 cm, e a outra é oca e de diâmetro 12,7 cm. (Figura 1).
Figura 1 – Montagem experimental
Exploração
1. Pedir aos participantes para observar as duas esferas colocadas sobre uma mesa e preverem
qual delas terá maior massa (ou terá maior peso?).
2. Passar as esferas pelos participantes para segurarem uma em cada mão e estimarem qual
terá maior massa (ou terá maior peso?), e por quanto será a diferença.
(Observação: A resposta errada comum é que a esfera menor (maciça) é muito mais pesada!)
3. Pedir a um participante com os olhos vendados para segurar em cada mão (com as palmas
das mãos voltadas para cima) dois recipientes de plásticos iguais.
4. Colocar uma esfera em cada recipiente e perguntar como compara agora as massas. Podese repetir as etapas 4 e 5 com outros participantes.
(Observação: A resposta comum agora é que ambas têm o mesmo peso!)
5. Discutir como percebemos a massa de um objeto, a distinção entre peso e massa de um
corpo… Pode-se até utilizar uma balança para medir a massa de cada esfera.
Como é que os participantes percebem a massa das esferas? Quando as esferas foram
exibidas, usaram apenas o seu sentido de visão. Quando as esferas foram repassadas, usaram
a visão e o tato; e com os olhos vendados apenas usaram o tato. Por que é importante fazer
medições, em vez de confiar apenas nos nossos sentidos? (Com os olhos vendados foram
usados recipientes com áreas de contacto iguais. O que aconteceria se as áreas de contacto
fossem diferentes? Que grandeza física é relevante na “leitura” da mão?)
6. Agora que todos os participantes concluíram que as esferas têm a mesma massa, mostrar
uma tina com água e perguntar o que pensam que vai acontecer quando forem colocadas as
duas esferas de aço na água e porquê. Permitir alguma discussão… Quantos participantes
(braço no ar) pensam que a esfera maior vai flutuar? E afundar? Quantos participantes (braço
no ar) pensam que a esfera menor vai flutuar? E afundar?
7. Colocar as esferas no recipiente com água. Os participantes serão surpreendidos ao ver a
esfera maior a flutuar.
8. Se as duas esferas têm a mesma massa, por que é que uma flutua e a outra afunda?
Questionar sobre o que isso lhes diz sobre a sua densidade.
O que aconteceu?
As duas esferas são feitas do mesmo tipo de material (aço), têm igual massa, mas são de
volumes muito diferentes. A massa da esfera maior (oca) está distribuída por uma área maior.
A densidade é inversamente proporcional ao volume, isto é, para uma mesma massa, quando
o volume aumenta a densidade diminui (e vice-versa). Assim, a esfera maciça tem uma
densidade superior à da esfera oca, razão pela qual ela afunda em água.
Mais concretamente…
A esfera maior (oca) tem uma densidade consideravelmente menor que 1 g/cm3, enquanto a
esfera menor (maciça) tem uma densidade consideravelmente maior que 1 g/cm3. A densidade
da água usada é aproximadamente 1 g/cm3. Qualquer objeto com uma densidade menor que a
da água vai flutuar nela.
Assim, a flutuação dos corpos homogéneos pode ser explicada com base na densidade (ou
massa volúmica). Um corpo pode flutuar quando está mergulhado em líquidos cujas massas
volúmicas sejam maiores que a da substância de que é feito esse corpo. Por outro lado, a
flutuação dos corpos acontece quando o valor da impulsão (peso do volume do fluido
deslocado pela parte imersa) for igual ao valor da força gravítica que atua sobre o corpo
flutuante.
No que respeita à “leitura” das mãos, quando as esferas estão sobre as palmas, a área de
contacto é maior na esfera maior, pelo que a força exercida sobre a mão encontra-se mais
distribuída. A sensação que temos é que essa esfera “pesa menos”. (este é um efeito da
pressão exercida pela esfera sobre a mão!!!)