Universidade do Algarve
Departamento de Fı́sica
Problemas
de Mecânica de Fluidos
Orlando Camargo Rodrı́guez
12 de Setembro de 2005
Capa:
Waterval
(Queda d’água)
por:
M.C. Escher
2
1
Hidrostática
Problema 1 Determine a pressão do fluido contido numa seringa, quando uma enfermeira aplica uma força de 42 N sobre o êmbolo cujo raio é igual a 1,1 cm.
Problema 2 A uma distância de 6 km do local onde foi detonada uma bomba nuclear
com uma potência de 1 megaton1 , o excesso de pressão corresponde a 0,2 atm. Determine
a força de impacto com que explosão atinge uma parede de área 80 m2 (1 atm = 1,013×105
Pa).
Problema 3 Um cilindro de 8 cm de diâmetro encontra-se fechado com uma tampa bem
ajustada. Determine o valor mı́nimo de pressão que deve existir no interior do cilindro,
para que um homem capaz de exercer uma força de 500 N na tampa o consiga abrir.
Problema 4 Uma ventosa, com um diâmetro de 10 cm, é aplicada no tecto, para pendurar diversos objectos. Determine o valor máximo de massa que pode ser pendurada,
considerando que a pressão no interior da ventosa corresponde a 1/10 da pressão atmosférica.
Problema 5 Em 1654 Otto von Guericke, burgomestre de Magdeburgo e inventor da
bomba de ar, fez uma demonstração perante a corte imperial em que dois grupos de oito
cavalos não conseguiram separar dois hemisférios no interior dos quais foi criado o vácuo,
conforme indicado na Figura No.1. (a) Mostre que a força, F , necessária para separar os
dois hemisférios é dada por F = 2πR2 patm , em que R é o raio dos hemisférios e patm a
pressão atmosférica; (b) se R = 0, 3m e a pressão atmosférica for patm = 1,013×105 Pa,
qual a força que os grupos de cavalos teriam que exercer para separar os hemisférios?
Figura No.1
Problema 6 Calcule a variação da componente hidrostática da pressão sanguı́nea entre
a cabeça e os pés, ∆p, de uma pessoa cuja altura é 1,83 m, assumindo que a densidade
do sangue é 1,06×103 kg/m3 .
Problema 7 Determine a pressão atmosférica a uma altitude de 16 km acima do nı́vel
do mar (considere que a este nı́vel ρa = 1,2 kg/m3 ).
1
(a)
(b)
Figura No.2
Problema 8 Considere uma represa que retém a água a uma altura D, conforme mostra
a Figura No.2(a). Suponha que a largura da represa é W . Determine a força horizontal
resultante, exercida pela água sobre a represa.
Problema 9 Um recipiente cilı́ndrico, contendo um lı́quido com densidade ρ, roda com
velocidade angular constante ω, em torno de um eixo vertical, conforme indicado na
Figura No.2(b). (a) Mostre que o gradiente de pressão na direcção radial é dado por:
∂p
= ρω 2 r .
∂r
(b) Mostre que o gradiente de pressão na direcção vertical é dado por:
∂p
= ρg .
∂y
(c) Considere p = pc no eixo de rotação (r = 0); verifique que a pressão, p, em qualquer
ponto da superfı́cie livre do lı́quido é dada por:
p = pc + ρω 2 r2 /2 .
Problema 10 Um objecto cúbico de aresta L e peso no vácuo P está suspenso por uma
corda num tanque aberto cheio de lı́quido de densidade ρ. A face supensa do cubo é
paralela à superfı́cie livre do lı́quido e dista desta L/2. Calcule: (a) a força total exercida
na face suspensa do cubo; (b) a força total exercida na face inferior do cubo; (c) a tensão
na corda.
Problema 11 Uma mola, que tanto pode ser de bronze como de latão, tem uma massa
de 1,26 g medida no ar e uma massa aparente de 1,11 g quando se econtra mergulhada
em água. Determine o material com que a mola foi feita.
1
Um megaton corresponde a um milhar de toneladas de TNT.
2
Problema 12 Um bloco de madeira flutua na água com dois terços do seu volume submersos. Em óleo o mesmo bloco de madeira terá 0,9 do seu volume submerso. Determine
a massa especı́fica: (a) da madeira; (b) do óleo.
Problema 13 Uma peça de ferro fundido, contendo várias cavidades, tem o peso de 270
N no ar e de 162 N na água. Qual o volume das cavidades na peça? considere a densidade
do ferro como sendo 7,8 g/cm3 .
Problema 14 Uma esfera oca de ferro flutua completamente imersa na água. Se o seu
raio externo mede 120 cm e a densidade do ferro é 7,8×103 kg/m3 , qual é o valor do seu
raio interno?
Problema 15 Três estudantes, cada um de um peso de 360 N, fazem uma jangada juntando troncos, com diâmetro e comprimento 0,3 m e 1,8 m respectivamente cada um.
Quantos troncos são necessários para construir uma jangada e mantê-la em flutuação?
considere ρm = 667 kg/m3 .
Problema 16 Uma esfera de densidade ρ1 é solta do fundo duma tina. A tina contém
dois lı́quidos A e B, de densidades ρA e ρB , de alturas h1 e h2 e viscosidades desprezáveis.
Sabe-se que ρ1 = ρA . Caracterize, calculando o valor da aceleração, o movimento da esfera
no seu percurso até atingir a superfı́cie do lı́quido, localizada a uma distância h1 + h2 em
relação ao fundo da tina (ρ1 < ρB ).
Problema 17 Um tubo em forma de U contém um lı́quido homogéneo. Durante um
certo tempo um êmbolo faz baixar o nı́vel do lı́quido num dos lados. Quando o êmbolo é
retirado o nı́vel do lı́quido nos dois lados oscila. Mostre que o perı́odo de oscilação é
q
T = π 2L/g ,
em que L é o comprimento total do lı́quido no tubo.
Problema 18 Determine qual deve ser a área mı́nima de um bloco de gelo de 0,3 m de
espessura para que flutue na água suportando um automóvel de massa igual a 1100 kg.
Utilize para a densidade do gelo o valor ρg = 0,92 g/cm3 .
Problema 19 A tensão num fio que suporta um bloco sólido abaixo da superfı́cie de
um lı́quido (de densidade maior que a do bloco) é T0 , quando o recipiente que o contém
está em repouso (ver Figura No.3). Mostre que quando o recipiente sofre uma aceleração
vertical, ~a, dirigida para cima, a tensão no fio é dada por:
T = T0
a
1+
g
!
.
Sugestão: Considere os pesos do lı́quido e do bloco quando o sistema inteiro é acelerado.
3
Figura No.3
2
Escoamentos
Problema 20 Considere V como sendo o volume de uma certa massa de fluido. O fluxo
de volume, ou caudal, é definido pela razão ∆V /∆t no limite quando ∆t tende para zero.
Obtenha uma expressão para o caudal.
Problema 21 O fluxo de massa é definido pela razão ∆m/∆t no limite, quando ∆t tende
para zero. Obtenha a expressão diferencial do fluxo de massa.
Problema 22 Um tubo cilı́ndrico transporta óleo. A massa especı́fica do óleo vale 0,85
g/cm3 . Ao passar pela secção recta do tubo, a velocidade é constante e igual a 1,2 m/s.
O diâmetro do tubo vale 10 cm. Calcule: (a) o caudal; (b) o fluxo de massa.
Problema 23 A mangueira de um jardim possui um diâmetro de 2 cm e está ligada
a um irrigador que consiste num recipiente munido de 20 orifı́cios, cada um dos quais
com diâmetro de 0,14 cm. A velocidade da água na mangueira vale 0,85 m/s. Calcule a
velocidade da água ao sair dos orifı́cios.
Problema 24 Considere água a escoar continuamente, com velocidade inicial v0 , através
do cano de uma torneira que possui um diâmetro interno d. Determine o diâmetro do
jacto de água em função da distância, h, abaixo da torneira. Despreze a resistência do ar
e suponha que não se formam gotı́culas.
Problema 25 Um gás circula continuamente no interior de um sistema de tubos. Numa
certa secção recta da tubulação verificam-se os seguintes valores: ρ = 1,2 mg/cm3 , v =
0,2 m/s, A = 25 cm2 (área da secção recta). Calcule a massa especı́fica do gás noutra
secção do sistema em que a velocidade do gás é 0,1 m/s e a área da secção recta 20 cm2 .
Problema 26 Um êmbolo no interior de um tubo vertical empurra uma coluna de 0,2 m3
de água de baixo para cima, com uma velocidade de 1 m/s. O êmbolo desloca-se até uma
altura de 8 m, em relação ao nı́vel inicial. O tubo está aberto para a atmosfera apenas
na sua parte superior. O diâmetro do tubo é igual a 10 cm. (a) Qual a pressão externa,
p, sobre o êmbolo? (b) Calcule a pressão dinâmica, ρv 2 /2, da água sobre o êmbolo. (c)
Calcule a pressão barométrica, ρgh, exercida pela água sobre o êmbolo. (d) Determine a
pressão total que a água exerce sobre o êmbolo.
4
Problema 27 Num oleoduto horizontal, de área transversal constante, a pressão diminui
0,34 atm entre dois pontos distanciados de 300 m. Qual a perda de energia por litro de
óleo e por unidade de distância?
Problema 28 A Figura No.4 mostra um lı́quido que se escoa através de um orifı́cio de um
tanque. O orifı́cio encontra-se a uma profundidade h abaixo da superfı́cie livre do lı́quido.
(a) Calcule a velocidade do lı́quido que sai do orifı́cio. (b) Se o orifı́cio se encurvasse
directamente para cima, qual seria a altura máxima atingida pelo jacto desse lı́quido?
Figura No.4
Problema 29 Um tanque de grandes dimensões contém água até uma altura H. É feito
um pequeno orifı́cio na sua parede à profundidade h abaixo da superfı́cie da água (ver
Figura No.4). (a) Mostre que a distância x da base da parede até onde o jacto atinge o
solo é dada por
q
x = 2 h (H − h) .
(b) Poder-se-ia ter perfurado a outra profundidade de modo a que esse segundo jacto
tivesse o mesmo alcance? Em caso afirmativo, a que profundidade?
Problema 30 A superfı́cie superior da água num dado recipiente fica à altura H do solo.
(a) Determine a que altura h do solo deve ser feito um pequeno orifı́cio para que a água
que sair por ele atinja o solo à distância máxima da base do recipiente. (b) Qual o valor
desta distância máxima?
Problema 31 Uma pessoa sopra ar, com a velocidade de 15 m/s, através de um dos
ramos de um tubo em U , que contém água. Qual será a diferença entre os nı́veis da água
nos dois ramos do tubo? Considere a densidade do ar igual a 1,2 kg/m3 .
Problema 32 Um gás ideal flui ao longo de um tubo horizontal. Numa dada secção do
tubo verifica-se que ρ1 = 2 mg/cm3 e que v1 = 3 m/s, enquanto noutra secção são medidos
os valores ρ2 = 3 mg/cm3 e v2 = 4 m/s. Calcule a diferença de pressão entre as duas
secções do tubo.
5
Problema 33 Um tubo de Pitot é montado na asa de um avião para determinar a
velocidade do aparelho em relação ao ar, que está à temperatura de 0◦ C. O tubo contém
álcool e indica uma diferença de altura nos nı́veis de 26 cm. Qual a velocidade do avião
em relação ao ar? considere a densidade do álcool igual a 8,1×102 kg/m3 .
Problema 34 Através de um sistema de tubos com área transversal de 4 cm2 circula
água a uma velocidade de 5 m/s. A água baixa de nı́vel 10 m de uma forma gradual,
enquanto a área dos tubos aumenta para 8 cm2 . (a) Qual a velocidade do escoamento no
nı́vel mais baixo? (b) se a pressão no nı́vel superior for igual a 1,5×105 Pa, qual a pressão
no nı́vel mais baixo?
Problema 35 Um pequeno avião tem uma área de 9,3 m2 em cada asa. Para uma certa
velocidade do ar, este escoa sobre a superfı́cie superior da asa com velocidade igual a 49
m/s e sob a superfı́cie inferior com a velocidade de 40 m/s. (a) Qual o peso do avião? (b)
Suponha que o avião voa a velocidade constante e que os efeitos de elevação, associados
à construção da fuselagem e da cauda, são pequenos. Discuta a impulsão dinâmica se o
avião, voando à mesma velocidade do ar, estiver (i) em voo plano, (ii) a subir com uma
inclinação de 15◦ e (iii) a descer com a mesma inclinação. Considere a densidade do ar
igual a 1,2 kg/m3 .
Problema 36 A velocidade do ar ao passar na superfı́cie inferior de uma asa é de 100
m/s. Qual deve ser a velocidade na face superior para que a pressão da impulsão seja
igual a 1,2×105 N/m2 ?
Problema 37 Um tubo de Venturi tem 25 cm de diâmetro enquanto no estrangulamento
o diâmetro vale 12,5 cm. A pressão da água no tubo vale vale 0,54 atm e no estrangulamento vale 0,41 atm. Determine o caudal do escoamento.
6
Problema 38 Considere o tubo de Venturi da Figura No.5, sem o manómetro. Seja A
= 5a e considere que a pressão em A é igual a 2 atm. (a) Quando a pressão p0 , em a, se
aproxima de zero ocorre um fenómeno designado por cavitação, em que a água se evapora
formando pequenas bolhas. Calcule os valores da velocidade v em A e da velocidade v 0 em
a que fariam com que a pressão p0 fosse igual a 0. (b) Calcule o caudal para um diâmetro
do tubo em A igual a 5 cm.
Figura No.5
3
Fenómenos Capilares
Problema 39 Calcule a pressão no interior de uma gota lı́quida esférica com 2 mm de
raio, sendo a pressão atmosférica 760 mmHg. Considere que a tensão superficial do lı́quido
é γ = 72,8 dine/cm, e que a densidade (ou massa especı́fica) do lı́quido é ρ = 13,6 g/cm3 .
Problema 40 Qual é a pressão no interior de uma bola de sabão de raio exterior R,
sendo γ a tensão superficial da solução de sabão e P0 a pressão exterior?
Problema 41 Uma bola formada de 5 mg de solução de sabão, flutua no ar quando
cheia de hidrogénio. Determine o excesso de pressão, em relação à pressão atmosférica,
no interior do sabão. Dados: ρar = 1,29 g/l, ρH = 0,090 g/l, γ = 25×10−3 N/m.
Problema 42 Determine o trabalho requerido para aumentar o diâmetro de uma bola
de sabão de 2 para 6 cm. Utilize a tensão superficial dada no problema anterior.
Problema 43 Qual é a diferença de energias entre sistemas constituidos por duas gotas
de mercúrio de raios 0,3 cm e 0,1 cm e o sistema que resulta da junção das duas? para o
mercúrio γ = 500 dine/cm.
Problema 44 Um lı́quido situa-se sobre uma superfı́cie sólida, sendo o ângulo de contacto 60◦ . A tensão superficial do lı́quido é de 50×10−3 N/m e a tensão de contacto
sólido-lı́quido é de 40×10−3 N/m. Determine a tensão de contacto sólido-ar.
7
Problema 45 O trabalho de adesão entre um lı́quido e um sólido é de 60 erg/cm2 e a
tensão superficial do lı́quido é de 40 erg/cm2 . Determine o ângulo de contacto entre os
dois meios.
Problema 46 Um lı́quido de densidade 0,8 g/cm3 eleva-se 50 cm num tubo capilar de
0,04 mm de diâmetro interior. Qual é a tensão superficial do lı́quido? considere que o
diâmetro do menisco é igual ao diâmetro interior do tubo.
Problema 47 Um tubo capilar com diâmetro interior 0,25 mm está mergulhado em água,
cuja tensão superficial é de 72,7×10−3 N/m. A que altura se eleva a água dentro do tubo?
considere que o ângulo de contacto é zero. Indique o que acontece se depois o tubo capilar
continuar a ser mergulhado gradualmente na água.
Problema 48 Num tubo capilar de vidro a água sobe até a altura de 9,6 cm acima do
nı́vel de água na tina. Qua altura deveria descer mercúrio no mesmo tubo sabendo-se que
a tensão superficial da água é de 72 dine/cm, a do mercúrio 540 dine/cm e os ângulos de
contacto são respectivamente 0 e 140◦ . Dado: ρHg = 13,6 g/cm3 .
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4
O sistema SI de unidades
Unidades básicas
Quantidade
Comprimento
Massa
Tempo
Temperatura
Corrente eléctrica
Intensidade luminosa
Quantidade de substância
Unidade
metro
quilograma
segundo
kelvin
ampere
candela
mol
Sı́mbolo
m
kg
s
K
A
cd
mol
radiano
esteradiano
rad
sr
Unidades adicionais
Ângulo plano
Ângulo sólido
Unidades derivadas com nome próprio
Quantidade
Frequência
Força
Pressão
Energia
Potência
Carga
Potencial eléctrico
Capacidade eléctrica
Resistência
Conductância eléctrica
Fluxo magnético
Densidade do fluxo magnético
Inductância
Fluxo luminoso
Iluminância
Actividade
Dose absorbida
Dose equivalente
5
Unidade
hertz
newton
pascal
joule
watt
coulomb
volt
farad
ohm
siemens
weber
tesla
henry
lumen
lux
becquerel
gray
sievert
Sı́mbolo
Hz
N
Pa
J
W
C
V
F
Ω
S
Wb
T
H
lm
lx
Bq
Gy
Sv
Derivação
s−1
kg×m×s−2
N×m−2
N×m
J×s−1
A×s
W×A−1
C×V−1
V×A−1
A×V−1
V×s
Wb×m−2
Wb×A−1
cd×sr
lm×m−2
s−1
J×kg−1
J×kg−1
Prefixos
yotta
zetta
exa
peta
tera
Y
Z
E
P
T
1024
1021
1018
1015
1012
giga
G
mega M
quilo k
hecto h
deca da
109
106
103
102
10
deci
centi
milli
micro
nano
9
d 10−1
c 10−2
m 10−3
µ 10−6
n 10−9
pico
p
femto f
ato
a
zepto z
yocto y
10−12
10−15
10−18
10−21
10−24
6
Relações úteis
Unidades de comprimento
1 angstrom
=
1×10−10 m
1 polegada
=
0,0254 m
1 pé
=
0,3048 m
1 pé (USA)
=
1200/3937 m
1 jarda
=
0,9144 m
1 jarda (USA)
=
3600/3937 m
1 milha naútica
=
1852 m
1 milha terrestre
=
1609,344 m
1 milha terrestre
=
6336000/3937 m
(USA)
Unidades de área
1 acre
=
4046,8564224 m2
1 are
=
1×102 m2
1 hectare
=
1×104 m2
Unidades de volume
1 litro
=
1×10−3 m3
1 barril de petróleo
=
0,15898729492 m3
1 galão (USA)
=
3,785411784×10−3 m3
1 galão (UK)
= 4,54609929488×10−3 m3
Unidades de massa
1 libra
=
0,45359237 kg
1 onça
=
0,02834952312 kg
1 slug
=
14,5939029372 kg
Unidades de pressão
1 atm
=
101325 Pa
1 atmosfera técnica
=
98066,5 Pa
1 metro de água
=
9806,65 Pa
1 milimetro de mercúrio
=
101325/760 Pa
1 torr
=
101325/760 Pa
1 pé de água
=
2989,06692 Pa
1 polegada de água
=
249,08891 Pa
1 polegada de mercúrio
=
3386,38815789 Pa
1 libra por polegada quadrada =
6894,75729317 Pa
Unidades de força
1 dine
=
1×10−5 N
1 quilograma-força
=
9,80665 N
1 libra-força
=
4,44822161526 N
10
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Densidade de algumas substâncias
kg/m3
1 ×103
1,02×103
9,2 ×102
2,71×103
1,29
2,2 ×103
8,8 ×103
8,92×103
2,79×103
1,26×103
2,8 ×103
7,1×102
7,8×103
8,7×103
2,24×104
8,4×103
1,36×104
9,2 ×102
1,93×104
8,5 ×102
1,05×104
1,91×104
7,14×103
Substância
Água∗
Água de mar∗
Gelo
Alumı́nio
Ar
Betão
Bronze
Cobre
Duralumı́nio
Glicerina∗
Granito
Eter∗
Ferro
Invar
Irı́dio
Latão
Mercúrio∗
Óleo
Ouro
Petróleo
Prata
Volfrâmio
Zinco
∗
ρ
kg/dm3 ou g/cm3
1
1,02
0,92
2,71
1,29×10−3
2,2
8,8
8,92
2,79
1,26
2,8
0,71
7,8
8,7
22,4
8,4
13,6
0,92
19,3
0,85
10,5
19,1
7,14
A 20◦ C/293 K.
11