Autor: Cláudia Menino
Responsável: Prof. A. B. de Almeida
Hidrodinâmica: “Fluidos Perfeitos” e
Escoamentos (módulo 8)
Sumá
Sumário:
Cascata
2ª
de modelos de Hidrodinâmica
Modelo de “Fluido Perfeito”
Equações de Euler
Forma do Teorema de Bernoulli (líquidos perfeitos)
Linhas
piezométrica e de energia
Piezómetro e tubo de Pitot
Teorema
Fórmula
Jactos
de Bernoulli aplicado a líquidos reais
de Torricelli
líquidos na atmosfera
Vórtices
Escoamentos
Irrotacionais
Teorema de Bernoulli – 3ª Forma
Cascata de modelos da hidrodinâmica
Eq. da Continuidade
Equações de Cauchy
Eq da Q.de Movimento
(Eq. Da Energia)
Modelo Geral
“Fluido”
incompressível
Fluido
Newtoniano
Eq. de Navier - Stokes
Modelos Simplificados
“Fluido perfeito”
(incompressível e
não viscoso)
Eq. de Euler
“Fluido perfeito”
Escoamento
irrotacional
Eq. de Laplace
2
Cascata de modelos da hidrodinâmica
1 – Modelo simplificado de “Fluido Perfeito”
Perfeito”
Em muitas situações é razoável desprezar o efeito da viscosidade
(tensões tangenciais).
Ao anular a viscosidade nas equações de Navier-Stokes
desaparece o efeito das tensões tangenciais.
As partículas de fluido ficam sujeitas unicamente à acção das
forças normais (pressões) e as equações da quantidade de
movimento (equações de Navier-Stokes) transformam-se nas
Equações de Euler.
3
Fluido Perfeito – Eq. de Euler
1 – Equaç
Equações de Euler
Hipóteses simplificativas
Incompressibilidade
Não há viscosidade
( div V = 0)
( µ = 0)
Equações de Navier – Stokes Eq. de Euler (1755)
dV
ρ
= ρ g − grad p
dt
peso
Força de
Inércia total
Resultante
da pressão
4
Hidrodinâmica – forma diferencial
Fluido Perfeito
A equação de Euler pode ser modificada tendo em conta a
caracterização do campo gravítico
h=z
g = − g grad h
g
grad h
Aceleração da gravidade
Trocando a posição de alguns dos seus membros ter-se-á:
dv
dv
= ρ g − grad p ⇔ grad p + ρ g grad h = − ρ
⇔
ρ
dt
dt
p
a
1 dv
⇔ grad ( + h) = − = −
γ
g
g dt
dv ∂v Nota :
=
dt
dt
+ (v .grad ) v
(aceleração total ou material)
5
Hidrodinâmica – forma diferencial
Fluido Perfeito
Desenvolvendo as expressões, obtém-se:

∂ p
1 dvx
 + h  = −
∂x  γ
g dt


∂ p
1 dv y
 + h  = −
∂y  γ
g dt


∂ p
1 dvz
 + h  = −
∂z  γ
g dt

As equações de Euler podem ser escritas em coordenadas intrínsecas.
Estas coordenadas são definidas em cada ponto da trajectória de uma
partícula por um sistema de eixos ortonormados com os seguintes
versores:
s ⇒ is − segundo a tan gente à trajectória
n ⇒ in − segundo a normal a v e a s , no
plano osculador da trajectória, dirigida para
v b
b
is
s
in
n
n
centro de curvatura da trajectória
b = ib , vector normal ao plano osculador, definido pelos vectores s e n
6
Hidrodinâmica – forma diferencial
Fluido Perfeito
Tendo em conta as coordenadas intrínsecas e
admitindo que as trajectórias não se modificam
com o tempo, as equações de Euler podem ser
escritas do seguinte modo:
v = v iS e vn = vb = 0, obtendo − se
1  ∂v
∂ p
∂v 
( + h) = −  + v

∂s γ
g  ∂t
∂s 
∂ p
1 v2
( + h) = −
∂n γ
g r
e
v b
is
in
n
r – raio de curvatura da
trajectória V
r
Centro de curvatura
7
Hidrodinâmica – forma diferencial
Fluido Perfeito – 2ª Forma
Equação de Euler segundo a direcção segundo “s” da trajectória
∂ p
1 ∂v 1 ∂v
( + h) = −
− v
∂s γ
g ∂t g ∂s
1 ∂v 2
2 ∂s
O que permite obter a expressão da variação de carga
hidráulica H 2ª Forma do Teorema de Bernoulli,
Bernoulli ao longo
de cada trajectória de acordo com o modelo de “fluido
perfeito”
∂ p
v2
1 ∂v
( +h+ )= −
∂s γ
2g
g ∂t
H
8
Hidrodinâmica – forma diferencial
Fluido Perfeito – 2ª Forma do teorema de Bernoulli
∂ p
v2
1 ∂v
( +h+ ) = −
∂s γ
2g
g ∂t
A 2ª forma do Teorema de Bernoulli aplica-se aos
escoamentos consistentes com a hipótese simplificativa dos
fluidos perfeitos
Escoamentos permanentes
∂v
, µ = 0 e div v = 0
=0
∂t
∂ p
v2
⇒ ( +h+ ) =0⇒
2g
∂s γ
v2
⇒ +h+
= cte
γ
2g
p
Conclusão: nos escoamentos de
fluidos perfeitos a carga hidráulica
mantém-se constante ao longo de cada
trajectória
9
Teorema de Bernoulli para fluidos perfeitos
Mas então e o que significam as várias parcelas da expressão
referida?
z
p
γ
p
γ
V2
2g
+ z
cota geométrica e relação a um plano horizontal de referência
representa a energia de posição da unidade de peso de líquido
situada á cota z
Altura piezométrica representa a energia de pressão da unidade de
peso de líquido submetido á pressão p
Altura cinética corresponde à energia cinética por unidade de peso
Cota ou carga piezométrica
No movimento permanente de líquidos perfeitos a carga total é
constante ao longo de uma trajectória (embora possa variar de
trajectória em trajectória)
10
Linha piezométrica e linha de energia
Considere-se uma trajectória num escoamento da qual são
conhecidos, nos respectivos pontos, as variadas cotas
geométricas em relação a um plano horizontal de referência e
os valores correspondentes aos campos de velocidade e de
pressão.
Admitindo que o escoamento é permanente e que o fluido
pode ser considerado como perfeito, a carga hidráulica H
mantém-se constante em todos os pontos da trajectória.
Observação:
A 1ª Forma do Teorema de Bernoulli é aplicada a tubos de fluxo (caso particular de
um volume de controlo finito). A 2ª Forma é aplicada a partículas de fluido ao longo
da respectiva trajectória. Os valores das velocidades e das pressões correspondem,
neste caso, aos valores dos respectivos campos nos pontos ao longo da trajectória.
11
Linha piezométrica e linha de energia
Caracterização da carga hidráulica
Se representarmos, na vertical de
cada ponto da trajectória, os
valores p/γ e (p/γ + z) obteremos a
linha piezométrica
H=cte
Se representarmos, a partir de uma
plano horizontal de referência os
valores (p/γ + z) obteremos a cota
piezométrica ou carga piezométrica
Se representarmos os valores V2/2g acima da linha piezométrica obtemos
a linha de cargas totais ou linha de energia (por unidade de peso de
líquido) cujas cotas em relação ao plano de referência representam os
valores da energia mecânica total por unidade de peso de líquido, ou da
carga total, correspondente à trajectória.
Observação:
O valor de H é constante ao longo de cada trajectória, mas pode ser diferente de
trajectória para trajectória
12
Linha piezométrica e linha de energia
No caso de líquidos perfeitos em movimento permanente a linha
de energia que corresponde a uma determinada trajectória é
horizontal porque a carga total é constante ao longo dessa
trajectória.
Observação:
A linha de energia está acima da linha piezométrica ou coincidente
com esta quando a velocidade for nula.
A linha piezométrica pode passar abaixo da trajectória se tomarmos
como referência pressões relativas – o que não acontece nunca caso
usemos pressões absolutas.
13
2ª Forma do Teorema de Bernoulli
Linha de energia
Linha piezométrica
A 2ª Forma do Teorema de Bernoulli é muito útil na compreensão da relação
entre as três grandezas da carga hidráulica.
Considere-se uma tubagem com secção constante e com tipográfica z do
eixo a variar com a distância ao reservatório.
Admitindo-se uma trajectória no interior da tubagem (eixo da tubagem)
suficientemente afastada da parede para se considerar válida a
aproximação de “fluido perfeito”, a carga hidráulica poderá ser considerada
constante (aproximação simplificativa): a linha piezométrica está localizada
a uma distância constante da linha de energia e a altura piezométrica será
positiva nos trechos em que o eixo esteja abaixo deste ou negativa (inferior
à pressão atmosférica) quando estiver acima.
14
Linha piezométrica e linha de energia
Piezómetro (medição da pressão)
Mas então, qual o significado físico da
cota piezométrica?
Considere-se, para responder a esta
pergunta, um tubo fino com o topo em
contacto com a atmosfera e cujo eixo é
normal à trajectória num ponto P,
pertencente ao eixo mas na base do
tubo – o já conhecido tubo
Piezomé
Piezométrico ou tubo de Prandtl.
A colocação deste tubo não altera a pressão no ponto P uma
vês que se mantém inalterada a trajectória que passa pelo
mesmo.
15
Linha piezométrica e linha de energia
Piezómetro (medição da pressão)
Se considerarmos um outro ponto P’, muito próximo de P, mas
situado dentro do tubo, a pressão deste será igual à de P
pP
γ
+ zP =
pP '
γ
+ zP'
zP ≈ zP '
Atendendo a que o líquido no interior do tubo se encontra em
repouso, verifica-se uma distribuição hidrostática de pressões, pelo
que se verifica:
pP'
γ
+ zP' =
pS
γ
+ z S = z S pois p S = p atm = 0 ( pressões relativas )
sendo S um ponto da superfície livre do líquido em contacto com a
atmosfera
16
Linha piezométrica e linha de energia
Piezómetro
Assim podemos compreender como é que podemos determinar as
pressões num fluido em escoamento utilizando um piezómetro
A cota atingida pela superfície livre da água num tubo piezométrico
(zs) corresponde à cota piezométrica na base do tubo e a distância na
vertical entre esta base e a superfície livre no piezómetro representa a
correspondente altura piezométrica (relativa).
Tubo piezométrico em laboratório
17
Linha piezométrica e linha de energia
Piezómetro e tubo de Pitot
Considere-se um tubo ligeiramente diferente do anterior: com um
ramo em ângulo recto, que é colocado no ponto P da linha de
corrente do escoamento tendo a abertura dirigida para montante
donde vem o escoamento este tubo é designado por tubo de
Pitot
Num ponto Q no interior do tubo, junto à entrada do mesmo, a
velocidade é nula – velocidade de estagnação – e a pressão é
maior do que a que ocorre no ponto P, situado na mesma linha de
corrente, a montante, a uma distante pequena mas suficiente para
18
que o escoamento não seja perturbado.
Linha piezométrica e linha de energia
Piezómetro e tubo de Pitot
Ao aplicarmos o teorema de Bernoulli (*) obtemos que
HP =
pP
γ
+ zP +
VP2 pQ
=
+ zQ
2g
γ
o que permite concluir que a cota da superfície livre atingida no
ramo do tubo de Pitot em contacto com a atmosfera (igual à cota
piezométrica em Q) é também igual à carga total em P, HP.
Deste modo, desprezando a pequena diferença de cotas entre P e
Q, pode afirmar-se que a energia cinética é transformada em
energia de pressão entre P e Q, sendo o aumento de pressão em
Q dado por:
pQ
γ
−
pP
γ
=
VP2
2g
19
Linha piezométrica e linha de energia
Piezómetro e tubo de Pitot
Um tubo de Pitot é, desta forma, um dispositivo utilizado para a
medição da velocidade.
Consiste em dois tubos: um para a medição da carga total,
ligado a um orifício no extremo do perfil arredondado do ramo
inferior, e outro que se destina a medir a cota piezométrica.
A diferença de cotas da superfície do líquido atingidas nos dois
tubos é a altura cinética V2/2g.
20
Teorema de Bernoulli aplicado a Líquidos
Reais com viscosidade
Quando o escoamento apresenta efeitos
relevantes da viscosidade, o líquido dizse “real”, em oposição a perfeito. Em
escoamento permanente, a carga total
diminui ao longo da trajectória, no
sentido
do
escoamento,
em
consequência do trabalho realizado
pelas forças resistentes viscosas. Diz-se
então que há perda de craga ao longo
da trajectória.
A variação da cota da linha de energia na unidade de percurso (ie,
variação da energia do líquido que se escoa, nas unidades de peso e
de percurso) é igual ao trabalho das forças resistentes viscosas
(também na unidade de peso e de percurso) o qual é designado por i
(perda de carga unitária).
21
Teorema de Bernoulli aplicado a
Líquidos Reais
De facto:
∂p
V2 
 + z +
 = −i
∂s  γ
2 g 
onde o sinal (-) se justifica por H diminuir
quando s aumenta.
A grandeza adimensional i designa-se por
perda de carga unitária (diminuição da
carga total H por unidade de percurso ao
longo da trajectória).
Integrando a equação acima entre dois pontos sobre a mesma
trajectória, 1 a montante e 2 a jusante obtém-se…
2
2
1
1
H 2 − H 1 = − ∫ i ds ⇔ H 1 − H 2 = ∫ i ds
… e este membro representa a
perda de energia por unidade de
peso (ou perda de carga) entre os
pontos 1 e 2 da trajectória
22
Teorema de Bernoulli aplicado
Líquidos Reais
No caso de líquidos reais em movimento variável é necessário
introduzir o termo
1 ∂V
g ∂t
que é também válido para líquidos perfeitos em movimento variável
representa a variação na unidade de tempo da quantidade de
movimento por unidade de peso líquido.
A expressão resultante da 2ª Forma do Teorema de Bernoulli é a
seguinte:
2
∂ p
V 
1 ∂V
 + z +
 = −
−J
∂s  γ
2g 
g ∂t
aplicável a movimentos variáveis de líquidos reais ao longo de uma
trajectória
23
Variação da cota piezométrica segundo a
normal às linhas de corrente
Considere-se uma linha de corrente num escoamento permanente de
um líquido (linha de corrente coincidente com a trajectória).
Como será que varia a cota piezométrica segundo a normal à linha de
corrente?
24
Hidrodinâmica – Forma Diferencial: Variação da cota
piezométrica segundo a normal às linhas de corrente
Equação de Euler segundo a direcção “n” da trajectória (linha de
corrente):

∂ p
1 V2
 + h  = −
g r
∂n  γ

Esta equação traduz o efeito da curvatura de trajectória na
distribuição da cota piezométrica segundo a normal.
Pode concluir-se que, no caso geral, a distribuição de pressões
segundo a normal à trajectória não segue a lei hidrostática. Esta
conclusão é muito importante!
Observação:
A equação segundo a normal mantém-se válida em escoamentos
variáveis no caso das das trajectórias não se modificam com o
25
tempo!!
Hidrodinâmica – Forma Diferencial: Variação da cota
piezométrica segundo a normal às linhas de corrente
Exemplo: escoamento permanente num plano vertical
Centro de curvatura
A pressão em B não
obedece à lei hidrostática
PBR>PBH
Em resultado:
A hA
PBR
h
PBH
B
p
γ
+ h ≠ cte
hB
z =0
26
Hidrodinâmica – Forma Diferencial: Variação da cota
piezométrica segundo a direcção “radial” às linhas de corrente
Variação segundo a direcção radial “r”

 V2
∂ p
∂ p
 + h  = −  + h  =
>0
∂r  γ
∂n  γ

 gr
Observação: o sentido positivo da coordenada e é contrário ao
sentido positivo de n.
Então:
p

p

 + h  =  + h 
γ
B  γ
A
E sendo PA=Patm = 0
 p
  > hA − hB > altura de água do escoamento
 γ B
27
Variação da cota piezométrica segundo a
normal às linhas de corrente
Para trajectórias rectilíneas, o raio r é infinito, logo:

∂ p
 + z  = 0
∂n  γ

ou seja, a cota piezométrica é constante segundo qualquer linha
normal às trajectórias (a pressão obedece, neste caso, à lei
hidrostática de pressões em superfície normais às trajectórias).
28
Variação da cota piezométrica segundo a
normal às linhas de corrente
Se, para além de rectilíneas, são paralelas, a distribuição de
pressões em planos normais às trajectórias é hidrostática
Se as trajectórias forem rectilíneas, mas não paralelas, a
distribuição de pressões é hidrostática sobre superfícies não
planas, normais às trajectórias
Distribuição hidrostática de pressões
29
Variação da cota piezométrica segundo a
normal às linhas de corrente
Conclusão, para analisar o efeito da curvatura das trajectórias
sobre a lei de distribuição de pressões, é necessário considerar
três casos:
a)
b)
c)
Trajectórias rectilíneas e paralelas;
Trajectórias rectilíneas e côncavas;
Trajectórias rectilíneas e convexas.
(Concavidade e convexidade no sentido positivo das cotas geométricas)
30
Variação da cota piezométrica segundo a
normal às linhas de corrente
Vamos considerar, para os casos a) b) e c) dois pontos a igual distância, y,
situados na vertical que passa pelo centro de curvatura (comum às várias
trajectórias nos casos b) e c)).
Tendo em conta a equação

∂ p
1 V2
 + z  = −
∂n  γ
g r

e atendendo, nos casos b) e c) aos sentidos relativos da normal e da cota
geométrica, verifica-se:
pA
+ zA =
γ
p A'
γ
p A ''
γ
pB
+ z A' <
+ z A '' >
γ
+ zB ⇔
pB '
γ
p B ''
γ
pB
γ
+ zB' ⇔
+ z B '' ⇔
pA
=
pB '
γ
>
p B ''
γ
+y
γ
p A'
<
γ
+y
p A ''
γ
+y
31
Variação da cota piezométrica segundo a
normal às linhas de corrente
As expressões anteriores mostram que a pressão cresce com
profundidade segundo a lei hidrostática de pressões quando
trajectórias são rectilíneas mas é maior ou menor do que
correspondente à referida lei, consoante as trajectórias tenham
concavidade ou a convexidade para cima.
a
as
a
a
O efeito da curvatura na distribuição da cota piezométrica (e das
pressões) ilustra-se pela posição da superfície livre do líquido nos
piezómetros quando comparada com a superfície livre do escoamento.
Descendo a base do tubo piezométrico, a posição da superfície livre
dentro do tubo não se modifica no caso (a), sobe no caso (b) e desce no
caso (c).
32
Aplicações na Engenharia
Como exemplos de aplicações na engenharia temos:
Determinação de força hidrodinâmicas actuantes em superfícies de
estruturas em contacto com os escoamentos.
Exemplo: laje de fundo de um canal curvo
33
Aplicação do Teorema de Bernoulli para líquidos
perfeitos – fórmula de Torricelli
Exemplo de aplicação do modelo de “fluido perfeito”
O modelo aproximado de “fluido perfeito” é váldo nos casos em
que o efeito de viscosidade não é relevante!
Exemplo: fluido em movimento afastado de fronteiras (parcelas sólidas
– gradiente de velocidade pouco relevante perto das paredes sólidas,
o que implica um efeito pouco relevante da viscosidade).
Com base na 2ª foma do teorema de bernoulli é possível deduzir a
velocidade de um jacto líquido à saída de um reservatório para a
atmosfera - Fórmula de Torricelli
34
Aplicação do Teorema de Bernoulli – fórmula de
Torricelli
Para deduzir a fórmula de Torricelli
considere-se um reservatório de
grandes dimensões dotado de um
pequeno orifício numa das suas
paredes laterais.
Neste caso o movimento é considerado permanente visto que a
velocidade de variação da cota da superfície é muito pequena.
Não obstante, a massa líquida do reservatório participa no
escoamento, o campo de velocidades só é relevante numa zona perto
do orifício onde as trajectórias são convergentes. À saída do orifício o
jacto sofre uma grande contracção cujo limite é uma secção em que as
tangentes às linhas de corrente são praticamente rectilíneas e
paralelas – a secção contraída.
Questão: com base no termo da equação de Euler segundo n ,
explique a razão da formação da secção contraída à saída do jacto
líquido.
35
Aplicação do Teorema de Bernoulli – fórmula de
Torricelli
Em todos os pontos da secção contraída a
pressão tem aproximadamente o mesmo
valor da patmosférica (pressão relativa nula)
Como o movimento é permanente e o efeito de viscosidade no interior do
reservatório pode ser desprezado, pode aplicar-se a 2ª forma do teorema de
Bernoulli, a uma trajectória fictícia entre dois pontos (A e P), logo
pA
A – ponto da superfície livre (V=0)
γ
+ zA +
VA2 pP
V2
p
p
=
+ zB + P ⇒ P = A = 0
2g
γ
2g
γ
γ
P – ponto da secção contraída, situado sobre o eixo do jacto
Se H=zA-zP for a carga hidráulica no ponto P do eixo d orifício, obtém-se a
fórmula de Torricelli (1604-1647):
V = 2gH
Observação: para líquidos “reais”, sem a aproximação de “fluido perfeito”, a expressão deve incluir um
36
coeficiente adimensional de correcção.
Jactos líquidos na atmosfera
A trajectória de um líquido para a atmosfera a pós a saída por um
orifício é designada por jacto. Os jactos líquidos podem ser
encontrados em estruturas de lazer (ex.: fontes de água) e em
estruturas hidráulicas de grande porte (ex.: descarregador de
barragens de jacto livre). A determinação das trajectórias dos
jactos é importante para a obtenção da zona de impacto e a
protecção contra erosões.
Barragem de Cahora Bassa
37
Jactos líquidos na atmosfera
Considere-se um jacto líquido na atmosfera: desprezando as
acções tangenciais entre o jacto e o ar (e se considerarmos a
pressão nula no interior do jacto) a força resultante reduz-se ao
próprio peso do líquido do trecho
z
atmosfera
Jacto de água na
atmosfera
0
x
Considere-se um jacto de água que é lançado na atmosfera com a
velocidade inicial V0.
A equação que rege o escoamento é a Equação de Euler no plano
x,z, sendo a pressão sempre nula.
38
Jactos líquidos na atmosfera
Aplicação da Equação de Euler:
dV
ρ
=ρ g
dt
De acordo com esta equação, as partículas de fluido ficam sujeitas a
forças de gravidade (peso) e forças de inércia (consideram-se forças
tangenciais nulas)
A equação é vectorial e tem duas componentes: segundo x e segundo
z.
39
Jactos líquidos na atmosfera
Tendo em conta o sistema de eixos definido, com origem no eixo
do jacto temos as duas componentes:
ax =
dVx
= 0,
dt
az =
dVz
= −g
dt
A integração destas equações conduz a:
Vx = C1 e VZ = − g t + C2 ,
C1 e C2 cons tan tes
z
V2
2
0
V
2g
2g
V0 z
V02x
2g
V0
α
0 V0 x
z =0
z
V02z
2g
x
40
Jactos líquidos na atmosfera
Se a velocidade na origem (x0=z0=0) tiver um valor V0 e fizer um
dado ângulo inicial com a horizontal, α:
Vx = Vox ,
VZ = Voz − g t ,
x = Vox t ,
1
z = Voz t − g t 2
2
ou ainda
1
z = Vo sin α t − g t 2
2
x = Vo cos α t ,
z
V2
2
0
V
2g
2g
V02x
2g
V0
V0 z
z =0
z
α
0 V0 x
2
0z
x
V
2g
41
Jactos líquidos na atmosfera
Se eliminarmos t nas duas equações anteriores obtemos a
equação que define a trajectória do jacto:
g
z = tg α x −
x2
2
2 V0 cos 2 α
De modo análogo podemos usar as equações anteriores para
obter a carga hidráulica
V2 V2
z + z = 0 z , e como
2g 2g
z
V 2 = Vx2 + Vz2 = V02x + Vz2 ⇒
⇒ z+
2
z
2
0z
2
0x
V
V
V
=
+
⇔
2g 2g 2g
V2
V2
⇔ z+
= 0
2g 2g
V02
2g
V2
2g
V0z
V0
α
0 V0x
V02x
2g
z =0
z
V02z
2g
Observação: a pressão actuante é considerada nula (patmosférica)
x
42
Jactos líquidos na atmosfera
z+
V2
2g
=
V02
2g
Esta equação exprime pois a carga total em relação
ao plano horizontal que passa pela origem (o plano
de referência), carga essa que é constante.
A partir dela é possível saber, por exemplo, qual o ponto mais alto atingido pelo
jacto – ponto onde Vz=0, e, consequentemente, V=Vx=V0x
z máx =
V02 V02x V02z
−
=
2g 2g 2g
z
V2
2
0
V
2g
É, deste modo, igual à altura cinética
correspondente à componente vertical
da velocidade na origem.
2g
V0 z
V02x
2g
V0
α
z =0
z
0 V0 x
2
0z
V
2g
x
43
Vórtices de eixo vertical
O movimento de um fluido com trajectórias circulares e
concêntricas é designado por Vórtice.
Se os centros das trajectórias contidas nos diferentes
planos estiverem sobre a mesma vertical, está-se na
presença de um vórtice de eixo vertical.
Os vórtices podem ocorrer na Natureza (tornados e
trombas de água), em escoamentos junto a orifícios ou
no interior de recipientes em rotação.
A variação da cota piezométrica com o raio, num
vórtice de eixo vertical obedece à seguinte
componente da equação de Euler:
2
 1V
∂ p
 + z  =
∂r  γ
 g γ
Observação: o sentido positivo de r é oposto ao de n , o
que explica o facto do segundo membro da equação
ser positivo!
44
Vórtices de eixo vertical
A componente segundo a vertical (binormal) é a seguinte:

∂ p
 + z  = 0
∂z  γ

Concluindo-se que a distribuição hidrostática de pressões mantém-se
válida neste caso.
Vórtice forçado – sob a acção de um binário exterior que mantém a
rotação do vórtice como sendo um movimento de corpo rígido:
V =wr
Demonstra-se que, neste caso, as tensões tangenciais são nulas
a equação de Euler (fluido perfeito) é válida.
Exemplo: líquido no interior de um recipiente cilíndrico que roda com velocidade
angular constante em torno do eixo vertical.
45
Vórtices de eixo vertical
A integração da equação de Euler segundo r conduz à seguinte
distribuição de pressões:
p
γ
+ z = z0 +
w2 r 2
2g
Que mostra que as superfícies de igual pressão (isobáricas) são
parabolóides de revolução. A superfície livre em contacto com a
pressão atmosférica é uma isobárica a superfície livre é
parabólica.
A carga hidráulica é constante ao longo de cada trajectória circular
(2ª forma do teorema de Bernoulli)
H = z0 +
w2 r 2
2g
QUINTELA 4.12
Observação: para cada trajectória (valor específico para V) existe um
46
valor de H.
Vórtice livre
O movimento de rotação de um fluido que ocorre livremente em
torno de um eixo, após ter causado a actuação dos binários que o
originaram, é designada por vórtice livre.
Neste caso, a carga hidráulica H é constante em todos os pontos,
o que implica a seguinte lei de velocidade (tangencial):
V=
K
r
Sendo K uma constante.
47
Vórtice livre
De acordo com a equação de Euler
 K2
∂ p
 + z  =
3
∂z  γ
 gr
E integrando entre dois pontos do escoamento com trajectórias
diferentes
p
K2
γ
+z+
2g r 2
= cte
A carga total H, em todos os pontos, é igual à cota da superfície
livre do líquido a uma distância infinita do eixo.
A superfície livre é um hiperbolóide de revolução, tendo por eixo o
eixo do vórtice:
z+
K2
=H
2g r 2
48
Vórtice livre
Num vórtice livre, a superfície livre do líquido baixa na
aproximação do eixo (onde a velocidade seria infinita) e não o
atinge.
Quando a zona central do vórtice está preenchida por líquido,
obtém-se um vórtice misto.
Nos tornados ou nas trombas de água, o escoamento na zona
central também ocorre sob a forma de vórtice forçado, combinado
com um movimento axial
FIGURA 4.17 QUINTELA
49
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Um escoamento é designado como irrotacional quando o
respectivo campo de velocidades obedece, simultaneamente, às
seguintes duas condições:
div (V ) = 0
condição de incompressibilidade
rot (V ) = 0
condição de irrotacionalidade
Estas condições estão associadas a uma aproximação que
corresponde à anulação do termo das tensões tangenciais das
equações de Navier-Stokes e à simplificação na obtenção de
soluções.
50
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Recorda-se que:
 ∂V ∂V y   ∂Vz ∂Vx   ∂V y ∂Vx  i − 
k
rot V = ∇ × V =  z −
−
−
 j −
∂z   ∂x
∂z   ∂x
∂y 
 ∂y
ou
i
j
k
∂
∂
∂
rot V =
∂x ∂y ∂z
Vx
V y Vz
51
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Substituindo
dV
na equação de Euler obtém-se:
dt
p
∂V
V2 
=0
+ grad  + h +
2 g 
∂t
γ
sendo
g = − g grad h
Tendo em conta que
V = grad Φ
obtém-se a seguinte expressão (3ª Forma do Teorema de Bernoulli)
p
V2 
∂Φ
 = −
grad  + h +
2g 
∂t
γ
válida para todos os pontos do escoamento Irrotacional
52
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Em escoamentos Irrotacionais permanentes
p
V2 
 = 0,
grad  + h +
e
2 g 
γ
p
V2
+h+
= cons tan te = H 0
γ
2g
Conclusão: nos escoamentos Irrotacionais, a carga hidráulica H0 é
uma constante para todos os pontos do escoamento! Conhecido o
valor de H0 num ponto do escoamento, esse será o valor de H0 em
todos os restantes pontos do escoamento!
(3ª Forma do Teorema de Bernoulli para escoamentos permanentes)
53
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Equação de Laplace
V = grad Φ
Substituindo
Na equação da continuidade obtém-se a seguinte condição:
div V = div ( grad Φ ) = lap φ = 0
O potencial de velocidade φ obedece à equação de Laplace!
∂ 2 Φ ∂ 2Φ ∂ 2 Φ
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Esta equação é uma equação fundamental para a obtenção das
soluções dos campos de velocidade e de pressão em escoamentos
irrotacionais (potenciais)
54
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Processo de análise dos escoamentos Irrotacionais
Resolução da equação de Laplace
lap Φ = 0 → solução Φ ( x, y, z, t )
Obtenção do campo de velocidades
V = grad Φ
Obtenção do campo de pressões (escoamento permanente)
V2
p ( x, y , z ) = H 0 −
−h
2g
Sendo H0 a carga hidráulica
Conclusão: nos escoamentos irrotacionais uma única equação
escalara – Equação de Laplace – permite a análise dos campos de
velocidade e de pressão
55
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Exemplo: escoamento em torno de um
ângulo recto
Função potencial de velocidade φ
Φ=
(
)
Campo de velocidades
Vx =
a 2
x − y2
2
∂Φ
=ax
∂x
Vy =
∂Φ
= −a y
∂y
Campo de pressões (admite-se que o plano é horizontal)
p
γ
+h+
H0
V2
= cte = H 0 (T .Bernoulli)
2g
- valor da carga hidráulica no ponto (0,0)
2
V = Vx2 + V y2
p = p0 −
ρ
2
a2 (x2 + y2 )
56
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Exemplos de redes isométricas (φ, χ)
a)
b)
O caudal entre duas linhas de corrente mantém-se constante
Quando as linhas de corrente se aproximam, a velocidade média
aumenta, e quando se afastam diminui
Nos pontos angulosos (duas tangentes) das linhas de corrente a
velocidade do escoamento num ponto é:
Nula – ponto de estagnação
infinita
57
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Teorema de Bernoulli (3ª Forma)
Mais alguns exemplos
de redes isométricas (φ, χ)
58
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Escoamentos planos(x,y)
A equação de Laplace possui duas famílias de soluções que são
ortogonais entre si:
Uma das funções é a função potencial de velocidade, φ
A outra solução é a função χ designada por função de corrente
χ1
χ2
χ3
χ4
χ5
y
Φ1
Φ6
Φ2
Φ3
Φ4
Φ5
As soluções podem ser
representadas por linhas de
igual valor de φ e de χ (linhas
ortogonais)
x
59
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Escoamentos planos(x,y)
As linhas de χ constante correspondem a linhas de corrente do
escoamento. Estas linhas são ortogonais às equipotenciais φ:
Linha equipotencial
φ = cte
∂χ
∂x
∂χ
Vy = −
∂y
Vx =
V
Linha de corrente
χ = cte
Observação:
A função χ obedece também à equação de Laplace lap χ =0
60
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Escoamentos planos(x,y)
Num escoamento plano, a diferença entre dois valores de χ
corresponde ao valor do caudal por metro de largura que se escoa
entre as respectivas linhas de corrente:
χ2
q = χ2- χ1
(p.u.largura)
χ1
Sendo o caudal constante entre duas linhas de corrente, conclui-se
o seguinte:
Quando as linhas de corrente se aproximam, a velocidade aumenta;
Quando as linhas de corrente se afastam a velocidade diminui.
61
Escoamentos Irrotacionais (Potenciais)
Escoamentos planos(x,y)
Exemplos de escoamentos irrotacionais simples
Escoamento uniforme
Φ = U x +V y
U,V – componentes de velocidade
segundo x e y
Nascente (poço)
Φ=
q
log r
2Π
Nascente ou poço consoante o sinal de q
(q – caudal por metro, ao longo do eixo)
Vórtice potencial rectilíneo (vórtice livre)
Φ=
Γ
θ
2Π
Γ - circulação em torno do eixo do vórtice
62
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Princípio da solidificação - princípio de Rankine
Ao sobrepor soluções pode ser obtida uma linha de corrente fechada
que separa duas zonas de escoamento: um escoamento exterior e um
escoamento interior. O resultado corresponde à solução de um
escoamento em torno de um corpo sólido com a forma da rgião
isolada (escoamento interno). A forma do corpo pode ser obtida por
sobreposição de soluções simples.
[exemplo 2]
63
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Exemplo 2
1 – a sobreposição de um escoamento uniforme
com uma nascente e um poço origina uma linha
de corrente fechada;
2 – as linhas de corrente exteriores a essa linha
fachada
correspondem
ao
escoamento
perturbado por um corpo com a forma indicada
(sombreado). Essa forma pode ser “construída”
através do escoamento simples sobreposto.
Observação: a zona exterior do escoamento
potencial pode ser obscurecida e ser
considerada como um corpo sólido (exemplo:
uma secção do pilar de uma ponte).
64
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Exemplo 3:
A selecção de nascentes e poços com caudais (intensidades)
adequadas permite “construir” uma asa (ou uma pá de máquina)
envolvida por um escoamento).
nascentes
poços
65
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Escoamento em torno de um cilindro
1 – Dipolo
Sobrepondo uma nascente com um poço, com idênticos valores de
q, e impondo que a distância d entre estes tenda para zero mantendo
constante o valor de q.d, obtém-se um escoamento irrotacional
designado por dipolo
2 – Cilindro
Sobrepondo um dipolo com um escoamento uniforme obtém-se o
escoamento em torno de uma linha de corrente fechada
(circunferência) que pode ser considerada como a superfície limítrofe
de um cilindro.
66
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
3 – Resultado
Sobreposição
de
um
escoamento
uniforme (velocidade Vx=U) com um
dipolo aparecimento de uma linha
de corrente fechada superfície de
um cilindro hipotético com eixo
normal ao plano.
Malha resultante das linhas de
corrente e das equipotenciais. As
velocidades e as pressões em torno
do cilindro podem ser obtidas!
Não esquecer:
ortogonais!
estas
linhas são
67
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Método da imagem
O principio da sobreposição permite resolver de forma simples alguns
problemas de escoamentos condicionados por paredes planas. Um
plano sólido (linha de corrente através da qual não pode passar fluido)
pode ser considerado um eixo de simetria).
O efeito desse eixo de simetria no escoamento em estudo pode ser
obtido através da sobreposição deste com um outro escoamento
idêntico mas colocado numa posição simétrica (imagem),
relativamente à parede (eixo de simetria)
Exemplo:
68
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Obtenção de soluções de equação de Laplace
Para além das soluções analíticas de escoamentos simples, a obtenção das
funções φ e χ que obedecem à equação de Laplace, tendo em conta as
condições de fronteira (nos limites da zona do escoamento) pode ser obtida
por meio de métodos numéricos e computacionais.
Exemplo: linhas de corrente obtidas em computador num canal com uma soleira descarregadora
a jusante; a velocidade do escoamento aumenta na zona próxima do descarregador (as linhas
69
de corrente convergem).
Propriedades das soluções da equação de
Laplace
Condições de fronteira
Na integração da equação de Laplace não é imposta a condição de
velocidade nula ao longo das superfícies sólidas!
No caso de superfícies não porosas pode ser imposta a condição da
componente da velocidade normal à superfície ser nula
∂χ
V n= −
=0
∂n
sendo n a direcção normal à superfície sólida.
Em outras zonas das fronteiras poderá ser especificado o valor de χ (ou de φ)
70
Vórtice de Rankine
Os escoamentos em vórtice podem ocorrer
na Natureza (tornados e trombas de agua na
atmosfera) e em instalações hidráulicas
É o caso do esvaziamento de um
reservatório por um orifício no fundo, onde
há tendência para a formação de um vórtice
de Rankine combinação de um vórtice
livre com um movimento radial e vertical e
um vórtice forçado na zona central.
71
Vórtice de Rankine
No esvaziamento de um reservatório
tende a formar-se numa zona afastada
do eixo do orifício um escoamento
irrotacional (aceleração a partir do
repouso) com um momento angular
constante (região I)
Vθ =
K
Γ
=
r 2Π r
Pela 3ª forma do Teorema de Bernoulli obtém-se a lei da altura de
água h(r) (perfil de tipo hiperbólico):
h(r ) = h0 −
Γ2
8 Π2g r 2
Sendo Γ a “circulação” em torno do eixo do orifício e h0 a altura de
água longe deste (r=R)
72
Vórtice de Rankine
A velocidade num vórtice potencial é puramente tangencial…
73
Vórtice de Rankine
Os efeitos de viscosidade (tensões viscosas) aumentam à medida
que r decresce. A partir de um determinado valor de r a tensão
tangencial é suficiente para mover a massa de líquido do interior
de acordo com um “vórtice forçado” (núcleo de vórtice) com um
vector vorticidade constante e um perfil parabólico (zona II).
Observação: este tipo de vórtice pode propiciar a entrada de ar
nas tubagens e provocar danos relevantes.
74
Vórtices (cont.)
A sobreposição do vórtice potencial rectilíneo (conservação da
quantidade de movimento angular) com o escoamento radial para
o orifício (poço) resulta num escoamento com linhas de corrente
(trajectórias) rectilíneas:
Φ = m ln r + k θ
χ = m θ − k ln r
75
Irrotacionalidade - Validade
Validade da aproximação da irrotacionalidade:
A não consideração dos efeitos da viscosidade implica (à semelhança do
que também acontece com a aproximação de “fluido perfeito”) a perda
de validade dos escoamentos irrotacionais nas zonas sob forte influência
de paredes sólidas: a condição de aderência deixa de ser imposta e são
nulas as tensões viscosas.
A aproximação será especialmente válida em
escoamentos
que
aceleram a partir da situação em repouso (com V = 0 ⇒ rot V = 0 ) e em
zonas afastadas das fronteiras sólidas.
•
Exemplo: zonas de aproximação a canais descarregadores a partir de
albufeiras
76
Irrotacionalidade - Validade
Limitação importante dos modelos aproximados irrotacionais
A não consideração da viscosidade e da condição de aderência nas
paredes sólidas pode conduzir a consequências importantes nos
escoamentos; uma dessas consequências é a conclusão que a força
resultante exercida pelo escoamento num corpo imerso é nula
(Paradoxo d’Alembert).
Nos escoamentos reais (manifesta-se a viscosidade, obedecendo à
condição de aderência) o efeito de parede sólida pode modificar
significativamente o comportamento do escoamento, nomeadamente
o campo de pressões em torno de um corpo sólido
•
Exemplo: ocorrência do fenómeno de separação
A capacidade actual dos computadores já permite que as equações
de Navier-Stokes possa ser uma plataforma para a análise dos
escoamentos complexos, tendo em conta a condição de aderência
•
Exemplo: escoamentos em torno de aviões
77
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
Considere-se o escoamento irrotacional em torno de um cilindro
recto, de directriz circular e eixo normal à direcção do escoamento
incidente (paralelo e uniforme). A velocidade é nula e a pressão
máxima,
nos
pontos
A
e
D
(pontos
de
estagnação); a velocidade é máxima e a pressão mínima, nos pontos
B e C.
Escoamento irrotacional em
torno de um cilindro
Conclusão: o escoamento é simétrico, o campo de pressões é
simétrico e, a força resultante sobre o cilindro é nula! (Paradoxo) 78
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
Escoamento irrotacional
em torno de um cilindro
A condição de irrotacionalidade permite o deslizamento das
partículas líquidas sobre a parede sem se desenvolverem tensões
tangenciais. Não haveria, assim, perda de energia. Se o
escoamento ocorre no plano horizontal, o excesso da energia de
pressão em A em relação ao escoamento uniforme incidente
transformar-se-ia integralmente em energia cinética até B e C; a
energia cinética em B e C voltaria a ser recuperada na totalidade,
como energia de pressão, no percurso de B para D e de C para D
(o campo de pressões é simétrico e a força resultante é nula).
79
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
O escoamento de um líquido real em torno do cilindro (e ao longo
de qualquer parede) difere do obtido pela aproximação irrotacional
(potencial); de facto, a velocidade (relativa) de um líquido real em
contacto com a parede sólida é nula, o que implica a existência de
uma região do escoamento com forte gradiente de velocidade
segundo a normal à parede e, portanto, o aparecimento de
tensões tangenciais viscosas.
Surge, então, o conceito de camada limite: zona adjacente à
parede sólida onde os efeitos viscosos são importantes.
Exteriormente à camada limite, onde os gradientes da velocidade
são pequenos, o escoamento pode ser estudado como se fosse
perfeito ou, eventualmente, irrotacional.
80
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
EXEMPLO: escoamento em torno de uma asa
81
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
No contacto entre o líquido em movimento e a parede sólida
origina-se
o
desenvolvimento
da
camada
limite,
cuja espessura cresce para jusante.
Camada limite provocada por uma placa
plana, fina e paralela à velocidade do
escoamento
82
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
Numa conduta ou num canal com origem num reservatório, a
camada limite desenvolve-se a partir da entrada e, a determinada
distância ocupa a totalidade da secção.
O crescimento da espessura da camada limite é menor quando as
pressões no exterior a ela decrescem no sentido do escoamento.
Progressão da camada limite no trecho inicial de uma conduta
83
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
Assim, se um trecho curto de escoamento nas proximidades de
uma parede for acelerado a partir do repouso (pressões
decrescentes para jusante), poderá admitir-se que o escoamento é
quase irrotacional, pois a espessura da camada limite poderá ser
pequena. Este procedimento não é válido no caso de escoamento
retardado, em que a espessura da camada limite tende a crescer
mais rapidamente, podendo ainda dar lugar à separação da
camada limite, ou simplesmente separação (a estudar a seguir).
Progressão da camada limite no trecho inicial de uma conduta
84
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
A fim de ilustrar o fenómeno da separação, considere-se o
movimento de um líquido real em torno de um cilindro. Entre A e B
e entre A e C a camada limite vai crescendo mas é sempre muito
pequena.
esteira
Entre B e D, e C e D, a pressão tende a crescer no sentido do
escoamento (gradiente adverso da pressão), a espessura da
camada limite cresce rapidamente e a pressão vai retardar a
velocidade do escoamento no seu interior e inverter o respectivo
sentido: ocorre a separação do escoamento e a formação de uma
85
zona especial rotacional - esteira
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
SENTIDO DO ESCOAMENTO
SEPARAÇÃO NUM
ESCOAMENTO EM
TORNO DE UM CILINDRO
86
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
87
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
88
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
A energia cinética é máxima em B e C e tende a ser recuperada
como energia de pressão de B e C para D. O escoamento separa-se
da parede em dois pontos simétricos, onde se originam vórtices (em
sentidos contrários em cada um dos pontos de separação). Em
determinadas condições, os vórtices desprendem-se e deslocam-se
dando lugar a uma esteira.
esteira
Esteira a jusante de um cilindro
89
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
Exemplo: fenómeno de separação numa conduta divergente
Quando a separação ocorre, as fronteiras sólidas deixam de
corresponder a linhas de corrente exterior;
A separação é inconveniente devido ás perdas de energia a que dá
lugar no transporte de líquidos e pelas vibrações que pode originar –
uma forma de reduzir esta últimas é conferir formas apropriadas, as
ditas hidrodinâmicas.
Distribuição da velocidade num canal divergente
90
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
LÍQUIDO REAL
Condição de aderência
A velocidade é nula na parede
sólida.A pressão aumenta no
sentido do escoamento e faz
retardar e até inverter o sentido
das camadas de fluido próximas
da perede sólida.
Zonas Separadas
91
Líquidos perfeitos e líquidos reais
Camada limite. Separação
ESCOAMENTO SEPARADO
Zona quase irrotacional
DIVERGENTE
RISCO DE SEPARAÇÃO
92
Outras aproximações da hidrodinâmica
Escoamentos em meios porosos – Modelo de Darcy
Muitos dos escoamentos em solos naturais ou em meios artificiais
obedecem à lei de Darcy:
V = − K ∇Φ
Em que V é a velocidade aparente (ou macroscópica) do escoamento –
velocidade nos poros dividida pela porosidade do meio e,
desprezando a altura cinética,
Φ = h+
p
γ
carga hidráulica
A constante de proporcionalidade K é designada por coeficiente de
permeabilidade.
93
Outras aproximações da hidrodinâmica
Condição da incompressibilidade:
div V = − K lap Φ = 0
Conclusão: este tipo de modelo aproximado de escoamento
obedece também à equação de Laplace malhas isométricas
Observação: o modelo de Darcy é muito utilizado na engenharia
civil (mecânica dos solos, geotecnia) nomeadamente na análise de
fundações e na estabilidade de barragens de aterro.
Na realidade, o escoamento nos poros do solo é viscoso (laminar) e
não irrotacional!!
94
Outras aproximações da hidrodinâmica
Escoamento sem inércia (escoamento lento)
Quando os escoamentos são muito lentos os termos de inércia na
equação de Navier-Stokes poderão ser desprezados:
p

grad  + h  = µ lap V
γ

•
Exemplo de aplicação: estudo de movimentos de pequenas partículas
sólidas no ar ou na água Solução de Stokes
95
Modelos aproximados
A aproximação de “fluido perfeito” permite um conhecimento de
algumas características importantes dos escoamentos.
Salientam-se os efeitos das curvaturas das linhas de corrente
A consideração da viscosidade nula ou a hipótese da
irrotacionalidade podem ser aceitáveis em alguns tipos ou zonas
de escoamentos, nos quais a influência das superfície sólidas não
seja significativa, ou não estejam instaladas tensões tangenciais
relevantes.
96
Modelos aproximados
A aproximação do escoamento irrotacional (potencial) permite, quando
válida, a obtenção dos campos de velocidade e de pressão, a partir do
conhecimento de funções escalares (φ ou χ) associadas a escoamentos bi
ou tridimensionais (2D ou 3D).
Salienta-se a adopção destes métodos na análise das turbo-máquinas e na
aeronáutica
Os efeitos da viscosidade junto das paredes sólidas (formação da camada
limite) conduz em muitas situações práticas relevantes a comportamentos
que as afastam significativamente das soluções aproximadas
Exemplo: a ocorrência de separação
A capacidade computável actual permite a obtenção de soluções
numéricas aplicáveis a casos práticos com base nas equações de Navier
– Stokes (2D e 3D)
A instabilidade do escoamento (ocorrência de escoamentos turbulentos)
exige, contudo, modificação das equações de Navier - Stokes
97