Curso de linguagem matemática – Professor Renato Tião
1. Calcule os valores das somas infinitas a seguir:
a) 1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+...
b) 0,3 + 0,03 + 0,003 + . . .
c) 1000 + 200 + 40 + 8 + . . .
d) 16 − 8 + 4 − 2 + 1 −
1
2
+...
e) 5 – 5 + 5 – 5 + 5 – 5 + . . .
f)
3
4
+
4
3
+
16
9
+
64
27
+...
2. Considere o quadrado Q1 de lado 1, o quadrado Q2 cujos vértices são os pontos médios dos lados de
Q1, o quadrado Q3 cujos vértices são os pontos médios dos lados de Q2 e assim por diante. Determine:
a) A soma das áreas dos infinitos quadrados que podem ser obtidos desta forma
b) A soma dos perímetros desses infinitos quadrados.
3. Prove que a soma dos primeiros números ímpares positivos resulta sempre num quadrado perfeito, não
importa quantos sejam somados:
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16
:
:
1
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4. A sequência ( x , y , z ) é uma PA de razão
positiva. Se x + y + z = 9 e xyz = 15 então o valor
do logaritmo de x na base yz é
n
7. As sequências an = 3n -8 e bn =18 ⋅ 32 são
respectivamente:
A) uma PA decrescente e uma PG crescente.
A) negativo.
B) uma PA crescente e uma PG decrescente.
B) zero.
C) uma PA e uma PG crescentes.
C) um número entre zero e um.
D) uma PG e uma PA crescente.
D) maior que um.
E) uma PG decrescente e uma PA crescente.
E) inexistente.
5 Unifesp. Se os primeiros termos de uma
progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o
quociente d/b é igual a
8. Se a = (−2, 1, 4, 7, ...) for uma progressão
aritmética, podemos afirmar que a sequência b
a
definida por bn = 2 n , será uma
A) progressão aritmética crescente
A) 1/4
B) progressão aritmética decrescente
B) 1/3
C) progressão geométrica crescente
C) 2
D) progressão geométrica decrescente
D) 7/3
E) progressão geométrica alternada
E) 5
6 Fuvest. Sejam a1, a2, a3, a4, a5, números
estritamente positivos tais que log2a1, log2a2,
log2a3, log2a4, log2a5 formam, nesta ordem uma
9. Considere as sequências definidas
funções an = 2n+1 e bn = 3n-1.
pelas
Sendo assim, uma sequência c tal cn = abn é
progressão aritmética de razão ½. Se a1= 4, então
certamente uma progressão:
o valor da soma a1+a2+a3+a4+a5 é igual a
A) aritmética de razão 3
B) aritmética de razão 6
A) 24 + 2
C) aritmética de razão 8
B) 24 + 2 2
D) geométrica de razão 8
C) 24 + 12 2
E) geométrica de razão 9
D) 28 + 12 2
E) 28 + 18 2
10 Fuvest. Uma sequência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz à lei de formação:
an+1 = 6an , se n é ímpar
1
an+1 = an , se n é par
3
Sabendo-se que a1 =
2,
a) escreva os oito primeiros termos da sequência.
b) determine a37 e a38.
2
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11 Fuvest. Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, –4 e –9 aos primeiro, segundo e terceiro termo dessa progressão aritmética, obtemos
três números em progressão geométrica. Determine os termos destas progressões.
12 Fuvest. Em uma PA (a1, a2, a3, ..., an, ...) a soma dos n primeiros termos é dada por Sn = bn2 + n,
sendo b um número real. Sabendo-se que a3 = 7, determine
a) o valor de b e a razão da progressão aritmética.
b) o 20º termo da progressão.
c) a soma dos 20 primeiros termos da progressão.
13 Fuvest. Determine os valores a e b dos números reais tais que:
I. a , b e a+b formam, nessa ordem, uma PA;
a
b
II. 2 , 16 e 2 formam, nessa ordem, uma PG.
3
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14 ESPM. Se os números inteiros forem escritos
18 ESPM. A soma dos n primeiros termos de
obedecendo à sequência abaixo, determine qual
uma sequência é dada por Sn = 3n2 – 5n.
a linha e qual a coluna que o número 300
ocupará.
O vigésimo termo desta sequência é:
A) 112
B) 121
C) 132
D) 146
E) 152
19.
19. Se a sequência an for uma progressão
geométrica decrescente de termos positivos,
podemos afirmar que a sequência de seus
logaritmos decimais: ( log a1 , log a2 , log a3 , ... )
será uma
15 Unifesp. Determine o valor da soma dos
termos que são números primos da sequência
cujo termo geral é an = 3n + 2, para n natural,
variando de 1 a 5.
A) PA crescente
B) PA decrescente
C) PG crescente
D) PG decrescente
E) PG alternada
16 GV. Duas sequências: (x1, x2, x3, ... , xn, ...) e
(y1, y2, y3, ... , yn, ...) são tais que:
y1 =1
y2 = 4
y
xn = n
yn+1
Se sequência (x1, x2, x3, ... , xn, ...) for uma PG
de razão 2 então, quais serão os 6 primeiros
termos da sequência (yn)?
17 Unesp. Coelhos se reproduzem mais
rapidamente que a maioria dos mamíferos.
Considere uma colônia de coelhos que se inicia
com um único casal de coelhos adultos e denote
por an o número de casais adultos desta colônia
ao final de n meses. Se a1 = 1, a2 = 1 e, para n ≥ 2,
an+1 = an + an–1, o número de casais de coelhos
adultos na colônia ao final do quinto mês será
20. A sequência an é uma progressão geométrica
em que a1 + a3 = 20 e a 2 + a 4 = 60 . Assinale a
alternativa equivalente ao valor da soma dos dez
primeiros termos desta sequência.
A) 910
B) 910−1
C) 99
D) 95
E) 95−1
22. Sejam α, β e γ três ângulos geométricos cujas
medidas em graus formam, nesta ordem, uma
progressão aritmética de razão 15º. Sabendo que
a
sequência
progressão
1
( , tg α , tg β, tg γ , 3)
3
geométrica
de
termos
é
uma
positivos,
podemos afirmar que os ângulos
A) α é complemento de β
A) 13
B) β é complemento de γ
B) 8
C) α é complemento de γ
C) 6
D) α é suplemento de β
D) 5
E) β é suplemento de γ
E) 4
4