VESTIBULAR DA UNICAMP – 2010 – 1a e 2a Fase
Provas de Matemática
RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.
QUESTÕES DA FASE 1
1. Segundo o IBGE, nos próximos anos, a
participação das gerações mais velhas na
população do Brasil aumentará. O gráfico ao lado
mostra uma estimativa da população brasileira por
faixa etária, entre os anos de 2010 e 2050. Os
números apresentados no gráfico indicam a
população estimada, em milhões de habitantes, no
início de cada ano. Considere que a população
varia linearmente ao longo de cada década.
a) Com base nos valores fornecidos no gráfico,
calcule exatamente em que ano o número de
habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o
número de habitantes com até 17 anos. (Atenção:
não basta encontrar um número aproximado a
partir do gráfico. É preciso mostrar as contas.)
b) Determine qual será, em termos percentuais, a
variação da população total do país entre 2040 e
2050.
RESOLUÇÃO:
a) Fazendo corresponder ao ano 2010 a abscissa 0(anos passados), ao ano 2020, a abscissa 10 (anos
passados), .... temos o gráfico:
Considerando p1 = a1x + b1, equação da reta que passa pelos pontos (0,59) e (20,45). Como essa equação
passa pelo ponto (0,59) então 59 = b1⇒ p1 = a1x + 59. Como essa equação é verdadeira para o par
7
7
ordenado (20,45), 45 = 20a1 + 59 ⇒ 20a1 = −14 ⇒ a 1 = −
⇒ p1 = − x + 59 .
10
10
Considerando p2 = a2x + b2, equação da reta que passa pelos pontos (0,19) e (20,40). Como essa equação
passa pelo ponto (0,19) então 19 = b2⇒ p2 = a2x + 19. Como essa equação é verdadeira para o par
21
21
ordenado (20,40), 40 = 20a2 + 19 ⇒ 20a2 = 21 ⇒ a 2 =
⇒ p2 =
x + 19 .
20
20
Para determinar o ano em que o número de habitantes com 60 anos ou mais irá ultrapassar o número de
21
7
habitantes com até 17 anos, deve-se resolver a desigualdade:
x + 19 ≥ − x + 59 ⇒
20
10
800
21x + 14x ≥ 800 ⇒ x ≥
⇒ x ≥ 22,85 .
35
7
21
Logo de 2010 até o ponto de interseção dos gráficos das equações p1 = − x + 59 e p 2 =
x + 19 se
10
20
passaram 22,85 anos, assim o ano pedido é 2010 + 22 = 2032.
RESPOSTA: O ano de 2032.
1
b) A população em 2040, será de (127 + 52 + 40) = 219 milhões de habitantes.
A população em 2050, será de (116 + 64 + 35) = 215 milhões de habitantes.
Para determinar o percentual de diminuição da população, faça-se:
n(2040) − n(2050)
4
=
= 0,01860.....
n(2040)
215
RESPOSTA: Decresceu 1,86%
2. As mensalidades dos planos de saúde são
estabelecidas por faixa etária. A tabela ao lado fornece
os valores das mensalidades do plano "Geração
Saúde". Sabendo que o salário mínimo nacional vale,
hoje, R$ 465,00, responda às perguntas abaixo.
a) O gráfico em formato de pizza ao lado mostra o
comprometimento do rendimento mensal de uma
pessoa que recebe 8 salários mínimos por mês e aderiu
ao plano de saúde "Geração Saúde". Em cada fatia do
gráfico, estão indicados o item referente ao gasto e o
ângulo correspondente, em graus. Determine a que
faixa etária pertence essa pessoa.
b) O comprometimento do rendimento mensal de uma
pessoa com o plano de saúde "Geração Saúde" varia
de acordo com o salário que ela recebe.
Suponha que x seja a quantidade de salários mínimos
recebida mensalmente por uma pessoa que tem 56
anos, e que C(x) seja a função que fornece o
comprometimento salarial, em porcentagem, com o
plano de saúde. Note que x não precisa ser um número
inteiro. Determine a expressão de C(x) para x ≥ 1, e
trace a curva correspondente a essa função no gráfico
abaixo.
Faixa etária
Até 15 anos
de 16 a 30 anos
de 31 a 45 anos
de 46 a 60 anos
61 anos ou mais
Mensalidade
(R$)
120,00
180,00
260,00
372,00
558,00
RESOLUÇÃO:
a) A pessoa que recebe 8 salários mínimos tem uma renda bruta de 8 ×R$465,00 = R$ 3720,00.
3720
x
3720 x
x
Armando a proporção:
=
⇒
= ⇒ 186 = ⇒ x = 558 .
360° 54°
20
3
3
RESPOSTA: Essa pessoa pertence faixa etária de 61 anos ou mais.
b) Se a pessoa que tem 56 anos recebesse apenas um salário
mínimo, o seu salário seria de 465x reais.
Para determinar o seu comprometimento salarial, em
porcentagem, com o plano de saúde, deve-se resolver a
proporção:
465x
372
37200 80
=
⇒ 465C(x)x = 37200% ⇒ C( x) =
=
⇒ C(x)
100% C(x)
465x
x
.
Cujo gráfico está ao lado:
2
QUESTÕES DA FASE 2
1. Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de festa. Cada quilograma do bolo do tipo A consome 0,4
kg de açúcar e 0,2 kg de farinha. Por sua vez, o bolo do tipo B consome 0,2 kg de açúcar e 0,3 kg de
farinha para cada quilograma produzido. Sabendo que, no momento, a confeitaria dispõe de 10 kg de
açúcar e 6 kg de farinha, responda às questões abaixo.
a) Será que é possível produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B? Justifique sua resposta.
b) Quantos quilogramas de bolo do tipo A e de bolo do tipo B devem ser produzidos se a confeitaria
pretende gastar toda a farinha e todo o açúcar de que dispõe?
RESOLUÇÃO:
Para produzir 7 kg de bolo do tipo A e 18 kg de bolo do tipo B, serão necessários
(7×0,4 + 18 × 0,2) = 6,4 quilogramas de açúcar e (7 × 0,2 + 18 × 0,3) = 6,8 quilogramas de farinha.
RESPOSTA: Não porque a farinha não é suficiente.
b) Considerando que serão produzidos x quilogramas de bolo do tipo A e y quilogramas do tipo B,
podemos armar o sistema:
y = 5
0,4x + 0,2y = 10 0,4x + 0,2y = 10
0,4y = 2 
⇒
⇒
⇒ 0,4x + 1 = 10

0,2x + 0,3y = 6
0,4x + 0,6x = 12  y = 5
x = 22,5

RESPOSTA: Devem ser produzidos 22,5 quilogramas de bolo do tipo A e 5 quilogramas do tipo B.
2. Uma peça esférica de madeira maciça foi escavada, adquirindo o
formato de anel, como mostra a figura ao lado. Observe que, na
escavação, retirou-se um cilindro de madeira com duas tampas em
formato de calota esférica.
Sabe-se que uma calota esférica tem volume
πh 2
Vcal =
(3R − h ) , em que h é a altura da calota e R é o raio da
3
esfera. Além disso, a área da superfície da calota esférica
(excluindo a porção plana da base) é dada por Acal = 2πRh.
Atenção: não use um valor aproximado para π.
a) Supondo que h = R/2, determine o volume do anel de madeira,
em função de R.
b) Depois de escavada, a peça de madeira receberá uma camada de
verniz, tanto na parte externa, como na interna. Supondo,
novamente, que h = R/2, determine a área
sobre a qual o verniz será aplicado.
RESOLUÇÃO:
a) O volume do anel é: V ANEL = Vesfera – 2Vduas calotas – Vcilindro, ou
 πh 2

4π R 3
seja, V ANEL =
− 2
(3R − h) ) − πr 2 H cilindro .
3
 3

Então é necessário determinar a altura H e o raio r do cilindro em
função de R.
Sendo h = R/2, H = R
Na figura ao lado vê-se um triângulo retângulo de hipotenusa R e
catetos r e R/2, então r 2 = R 2 −
R2
R 3
⇒r=
.
4
2
3
  R 2

 π 

2
3
 2 
4π R
R    R 3 
π R3
4 5 3
Então VANEL =
− 2
R = π R3 −
−  ⇒ VANEL =
.
 3R − )   − π
3
2    2 
6
 3 12 4 
 3 




3
πR
RESPOSTA: O volume do anel é
.
6
b) Como a peça de madeira receberá uma camada de verniz, tanto na parte externa, como na interna, a
área sobre a qual o verniz será aplicado, tem por medida:
S = SESFERA – 2SCALOTA + SLATERAL DO CILINDRO ⇒ S = 4πR² – 2×2πRh + 2πrH ⇒
R 3
R
R = 4π R 2 − 2ππ 2 + πR 2 3 = 2 + 3 πR 2
S = 4π R 2 − 4ππ   + 2π
 2 
2


(
)
RESPOSTA: A superfície do anel tem área igual a (2 + 3 )πR 2 .
3. Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm × 2,5 cm. Os dois retalhos de couro
disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas figuras abaixo.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justifique.
RESOLUÇÃO:
No retalho semicircular, considere-se o retângulo ABCD e o triângulo
retângulo OAB com AD = 10cm, AB = x cm, AO = 5cm e OB = 6cm.
Pelo Teorema de Pitágoras: x² = 36 – 25 = 11 ⇒ x = 11 > 2,5 .
RESPOSTA: Como o retângulo de couro a ser recortado tem dimensões
10 cm × 2,5 cm então o retalho semicircular pode ser utilizado para a obtenção
da tira, pois ABCD tem dimensões 10 cm ×
maior que a do retângulo EFGH.
11 cm e assim sua superfície é
b) Os triângulos retângulos FOE e CBE são semelhantes, logo os
seus lados correspondentes são proporcionais:
FO CB
6 x
18
=
⇒ = ⇒x=
= 2,25 < 2,5.
OE BE
8 3
8
RESPOSTA: Como o retângulo de couro a ser recortado tem
dimensões 10 cm × 2,5 cm o retalho triangular não pode ser
utilizado para a obtenção da tira, pois ABCD tem dimensões
10 cm × 2,25 cm, assim sua superfície é menor que a do retângulo
EFGH.
4
4. Laura decidiu usar sua bicicleta nova para subir uma rampa. As figuras abaixo ilustram a rampa que
terá que ser vencida e a bicicleta de Laura.
a) Suponha que a rampa que Laura deve subir tenha ângulo de inclinação α, tal que cos(α) = 0,99 .
Suponha, também, que cada pedalada faça a bicicleta percorrer 3,15 m. Calcule a altura h (medida com
relação ao ponto de partida) que será atingida por Laura após dar 100 pedaladas.
b) O quadro da bicicleta de Laura está destacado na figura à direita. Com base nos dados da figura, e
sabendo que a mede 22 cm, calcule o comprimento b da barra que liga o eixo da roda ao eixo dos pedais.
a) Se cos(α) =
0,99 , sen() = 1 −
No triângulo retângulo ABC, senα =
( 0,99 )
2
= 0,01 = 0,1 .
BC
h
⇒ 0,1 =
⇒ h = 31,5 .
AC
315
RESPOSTA: A altura h (medida com relação ao ponto de partida)
que será atingida por Laura é de 31,5m.
b) No triângulo BCD tem-se o ângulo CD̂B mede 79°,
pois 24° + 77° + 79° = 180°.
O ângulo AD̂B mede 75°, pois 26° + 79° + 75° = 180°.
No triângulo ABD, α° = 75°, pois 30° + 75° + 75° =
180°.
Logo o triângulo ABD é isósceles e AD = b.
Aplicando a esse triângulo a lei dos cossenos em relação ao ângulo de 30° e sendo a = 22cm (dado da
questão):
484
22 2 = b 2 + b 2 − 2.b.b.cos30° ⇒ 484 = 2b 2 − 3 b 2 ⇒ b 2 2 − 3 = 484 ⇒ b 2 =
⇒
2− 3
(
b2 =
(
484 2 + 3
2 2 − 32
) = 22 (2 + 3 ) ⇒ b = 22
)
2
4−3
2+ 3 .
RESPOSTA: b = 22 2 + 3 cm.
5
5. O valor presente, Vp , de uma parcela de um financiamento, a ser paga daqui a n meses, é dado pela
fórmula abaixo, em que r é o percentual mensal de juros (0 ≤ r ≤ 100) e p é o valor da parcela.
p
Vp =
n
r 

1 + 100 


a) Suponha que uma mercadoria seja vendida em duas parcelas iguais de R$ 200,00, uma a ser paga à
vista, e outra a ser paga em 30 dias (ou seja, 1 mês). Calcule o valor presente da mercadoria, Vp ,
supondo uma taxa de juros de 1% ao mês.
b) Imagine que outra mercadoria, de preço 2p, seja vendida em duas parcelas iguais a p, sem entrada, com
o primeiro pagamento em 30 dias (ou seja, 1 mês) e o segundo em 60 dias (ou 2 meses). Supondo,
novamente, que a taxa mensal de juros é igual a 1%, determine o valor presente da mercadoria, Vp , e o
percentual mínimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar à
vista.
RESOLUÇÃO:
a) Vp =
200
1
⇒ Vp = 200 ×
100
= 198,0198........... ⇒ Vp = 198,02 .
101
1 

1 + 100 


Então o valor presente da mercadoria é: R$200,00 + R$198,02 = R$398,02
RESPOSTA: R$398,02.
b) Valor presente da primeira prestação: Vp =
p
1 

1 + 100 


1
⇒ Vp = p ×
100
= 0,99p .
101
2
p
 100 
⇒ Vp = p × 
Valor presente da primeira prestação: Vp =
 = 0,98p
2
 101 
1 

1 + 100 


Valor presente da mercadoria: 0,99p + 0,98p = 1,97p.
O desconto mínimo que deve ser dado ao cliente é de
2p − 1,97p 0,03
=
= 0,015 = 1,5% .
2p
2
RESPOSTA: O valor presente da mercadoria é 1,97p e o desconto mínimo a ser é de 1,5%.
6. Uma empresa fabricante de aparelhos que tocam músicas no
formato MP3 efetuou um levantamento das vendas dos
modelos que ela produz.
Um resumo do levantamento é apresentado na tabela ao lado.
Modelo
Preço
(R$)
A
B
C
D
150
180
250
320
Aparelhos
vendidos
(milhares)
78
70
52
36
a) Em face dos ótimos resultados obtidos nas vendas, a
empresa resolveu sortear um prêmio entre seus clientes. Cada
proprietário de um aparelho da empresa receberá
um cupom para cada R$ 100,00 gastos na compra, não sendo possível receber uma fração de cupom.
Supondo que cada proprietário adquiriu apenas um aparelho e que todos os proprietários resgataram seus
cupons, calcule o número total de cupons e a probabilidade de que o prêmio seja entregue a alguma
pessoa que tenha adquirido um aparelho com preço superior a R$ 300,00.
b) A empresa pretende lançar um novo modelo de aparelho. Após uma pesquisa de mercado, ela
descobriu que o número de aparelhos a serem vendidos anualmente e o preço do novo modelo estão
relacionados pela função n(p) = 115 – 0,25p, em que n é o número de aparelhos (em milhares) e p é o
preço de cada aparelho (em reais).
Determine o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa com o novo modelo, que é dada por
n × p.
6
RESOLUÇÃO:
a) Como se supõe que no ato da compra foi adquirido
apenas um aparelho, e para cada R$ 100,00 gastos na
compra, o proprietário do aparelho recebe um cupom, o
total de cupons distribuídos, em milhares, foi:
78 + 70 + 2 × 52 + 3 × 36 = 360.
O total, em milhares, de proprietários que adquiriram
aparelhos com preço superior a R$ 300,00 foi 36.
O total de cupons recebidos por eles foi de 3 × 36 = 108.
Logo a probabilidade pedida é:
108 3
p=
=
.
360 10
3
RESPOSTA: 360 mil cupons e P = = 30%
10
Modelo
Preço
(R$)
A
B
C
D
TOTAL
150
180
250
320
900
Aparelhos
vendidos
(milhares)
78
70
52
36
236
b) O número n, de aparelhos do novo modelo a serem
vendidos, é dado pela relação n(p) = 115 – 0,25p, depende do
preço por unidade (p) e sendo R = n × p, então, a receita bruta
é: R = p(115 – 0,25p) = – 0,25p² + 115 p.
Esta função está representada pela parábola ao lado, e o valor
máximo da receita é Rv é atingido no ponto (Pv, Rv)
Logo o valor de p que maximiza a receita bruta da empresa
−b
−115
115
com o novo modelo, é: p =
=
=
= 230 .
2a 2(−0,25) 0,5
RESPOSTA: R$ 230,00
7. Sejam dadas as funções f(x) = 8/42x e g(x) = 4x .
a) Represente a curva y = f(x) no gráfico ao lado, em que o eixo
vertical fornece log2(y).
b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações
f(z) = g(y)

f(y)/g(z) = 1
Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.
7
RESOLUÇÃO:
a) Sendo y = f(x) = 8/42x , então, h(x) = log2(y) = log2( 8/42x ) ⇒
h(x) = log2(23 − 4x) = 3 – 4x.
Sendo h(0) = 3, h(1) = −1 e h(3) = −9, então o gráfico pedido está ao lado.
 8
y
 4 2z = 4
8 = 4 y × 4 2z
23 = 2 2y + 4z
f(z) = g(y)


b) 
⇒ 8
⇒ 8
⇒
⇒
 3
= 4z
2 = 2 2z + 4y
f(y)/g(z) = 1  2y

2y
 4 z = 1 4
 4
1

6z = 3 ⇒ z =
2y + 4z = 3 4y + 8z = 6 
2
⇒
⇒

4y
+
2z
=
3
4y
+
2z
=
3
1


y =

2
1
1
RESPOSTA: y = e z = .
2
2
8. O papagaio (também conhecido como pipa, pandorga ou arraia)
é um brinquedo muito comum no Brasil. A figura ao lado mostra as
dimensões de um papagaio simples, confeccionado com uma folha
de papel que tem o formato do quadrilátero ABCD, duas varetas de
bambu (indicadas em cinza) e um pedaço de linha. Uma das varetas
é reta e liga os vértices A e C da folha de papel. A outra, que liga
os vértices B e D, tem o formato de um arco de circunferência e
tangencia as arestas AB e AD nos pontos B e D, respectivamente.
a) Calcule a área do quadrilátero de papel que forma o papagaio.
b) Calcule o comprimento da vareta de bambu que liga os pontos B
e D.
RESOLUÇÃO:
a) Calculando inicialmente o valor de x na figura ao lado:
x = 50sen30°= 25cm.
SABCD = SBAD + SBCD ⇒ SABCD =
50 × 25 1
3
+ × 50 × 50 ×
⇒
2
2
2
SABCD = 625 + 625 3 .
RESPOSTA: A area do quadrilátero de papel é
(
)
625 1 + 3 cm².
8
b) Sendo o arco BD tangente aos segmentos AD e AB, então
estes são, respectivament, perpendiculares aos raios
OD e BO. Logo, o quadrilátero ABOD é um quadrado ccuja
diagonal mede 50cm.
50
Assim: OD 2 = 50 ⇒ OD =
= 25 2 cm.
2
O comprimento do arco BD é:
l=
90°
50 2π 25 2π
× 2π × 25 2 =
=
cm.
360°
4
2
RESPOSTA: O comprimento da vareta de bambu que liga os
pontos B e D é
25 2π
cm.
2
 a 11 a 12 a 13 
9. Considere a matriz A = a 21 a 22 a 23  , cujos coeficientes são números reais.
a 31 a 32 a 33 
a) Suponha que exatamente seis elementos dessa matriz são iguais a zero. Supondo também que não há
nenhuma informação adicional sobre A, calcule a probabilidade de que o determinante dessa matriz não
seja nulo.
b) Suponha, agora, que aij = 0 para todo elemento em que j > i, e que aij = i − j + 1 para os elementos em
que j ≤ i. Determine a matriz A, nesse caso, e calcule sua inversa, A−1.
RESOLUÇÃO:
9×8× 7
= 84 modos de se armar a matriz A com seis elementos iguais a zero.
3 × 2 ×1
Essa matriz somente terá determinante diferente de zero, quando os três elementos não nulos dessa matriz
estiverem formando a diagonal principal, porque estarão em linhas diferentes.
Existem A3,3= 3 × 2 × 1= 6 modos diferentes de distribuir esse três elementos na diagonal principal.
6
1
Logo a probabilidade de que o determinante dessa matriz não seja nulo é: p =
=
.
84 14
1
RESPOSTA: .
14
 a 11 a 12 a 13  1 0 0
b) De acordo com as condições do item b: A = a 21 a 22 a 23  = 2 1 0 .
a 31 a 32 a 33  3 2 1
a) Existem C 9,6 = C 9,3 =
a b c 
Considerando A = d e f  . Sendo A × A −1 = I :
g h i 
a
b
c
1 0 0   a b c  1 0 0 

 1 0 0 
2 1 0 × d e f  = 0 1 0 ⇒  2a + d
2b + e
2c + f  = 0 1 0 .

 
 


3 2 1 g h i  0 0 1
3a + 2d + g 3b + 2e + h 3c + 2f + i  0 0 1
a = 1
b = 0
c = 0



Então, 2a + d = 0
, 2b + e = 1
, 2c + f = 0
⇒
3a + 2d + g = 0 3b + 2e + h = 0 3c + 2f + i = 1



−1
a = 1
b = 0
c = 0
a = 1 b = 0 c = 0






, e = 1
, 0 + f = 0 ⇒ d = −2, e = 1 , f = 0 .
2 + d = 0
3 + 2d + g = 0 0 + 2 + h = 0 0 + 0 + i = 1 g = 1 h = −2 i = 1






9
0 0
1 0 0 
1



−1
RESPOSTA: A = 2 1 0 e A = − 2 1 0 .
3 2 1
 1 − 2 1
10. Suponha que f : IR→IR seja uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)) e periódica, com período 10
(isto é, f(x) = f(x+10)). O gráfico da função no intervalo [0, 5] é apresentado abaixo.
a) Complete o gráfico, mostrando a função no intervalo [-10, 10], e calcule o valor de f(99).
b) Dadas as funções g(y) = y² – 4y e h(x) = g(f(x)), calcule h(3) e determine a expressão de h(x) para
2,5 ≤ x ≤ 5.
RESOLUÇÃO:
a) Sendo f(x) uma função ímpar (isto é, f(–x) = –f(x)), então a imagem
correspondente ao intervalo [–5, 0] é simétrica à imagem do intervalo
[0, 5]. e periódica, com período 10 (isto é, f(x) = f(x+10))
Sendo f(x) uma função ímpar e periódica, com período 10 (isto é, f(x) =
f(x+10)), a imagem do intervalo de [5, 10] é igual à imagem do intervalo
de [–5, 0], e a do intervalo de [–10,–5] é a do intervalo [0, 10].
RESPOSTA: O gráfico ao lado é da função f(x) no intervalo
[–10, 10].
Sendo f(x) periódica de período 10, f(99) = f(89) = f(79) =...... = f(9)
Se 9 ∈ [7,5; 10], f(9) ∈ [–5, 0]. Ou seja o ponto (9, f(9)) pertence ao
segmento AB contido na reta y = ax + b, determinada pelos pontos (7,5;
–5) e (10, 0).
2,5a = 5
− 5 = 7,5a + b 
⇒ a = 2 ⇒ y = 2x − 20 .

0 = 10a + b
b = −20

Nesta equação substituindo x por 9, determinamos f(9) = f(99):
y = 18 – 20 = – 2.
RESPOSTA: f(99) = – 2.
b) Se x pertence ao intervalo 2,5 ≤ x ≤ 5, então a equação de f(x) é a
reta y = ax + b que passa pelos pontos A e B da figura ao lado:
10
2,5a = −5
5 = 2,5a + b 
⇒ a = −2 ⇒ y = −2x + 10 ⇒ f(x) = −2x + 10 .

0 = 5a + b
b = 10

Sendo h(x) = g(f(x)), então h(x) = (–2x + 10)² – 4(–2x + 10) ⇒
h(x) = 4x² – 32x + 60 e h(3) = 36 – 96 + 60 = 0.
RESPOSTA: h(x) = 4x² – 32x + 60 e h(3) = 0, para 2,5 ≤ x ≤ 5.
11. No desenho abaixo, a reta y = ax (a > 0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares,
interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2, 0), resolva as questões abaixo.
a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a.
b) Supondo, agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com
centro em A e tangente ao eixo x.
Seja y = mx + n a equação da reta que passa pelos pontos C e B = (2, 0).
Usando as coordenadas de B: 2m + n = 0 ⇒ n = − 2m ⇒ y = mx − 2m.
Como as retas y = mx − 2m e y = ax são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é igual
1
1
2
 2
a −1, donde: am = −1 e m = − ⇒ y = − x + ⇒ C =  0, 
a
a
a
 a
2
RESPOSTA: C =  0,  .

a
b) Supondo a = 3, temos as equações formando o sistema:.
1

x=
 y = 3x

y
=
3x
9x
=
−
x
+
2




5
⇒
⇒
⇒

1
2⇒
3y
=
−
x
+
2
10x
=
2
3
y
=
−
x
+




y=
3
3

5
1 3
A= , 
5 5
3
1 3
A equação da circunferência com centro em A =  ,  , tangente ao eixo x e raio
é:
5
5 5
2
2
2
1 
3

3
2
2
 x −  +  y −  =   ⇒ 25x + 25y − 10x − 30y − 1 = 0 .
5 
5

5
1 3
5 5
RESPOSTA: A =  ,  e 25x 2 + 25y 2 − 10x − 30y − 1 = 0
12. Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrantes usando estratégias
agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos integrantes em um período de
uma semana e dobrar o número de novos participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100
internautas novos na primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira, e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100 associados na primeira
11
semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o número de internautas novos em 100 pessoas. Ou
seja, 100 novos membros entrarão no site B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira,
etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos associados o site A espera
ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar à marca dos 10000 membros?
RESOLUÇÃO:
a)
1a semana
100
site A
2a semana
200
TOTAL
NOVOS MEMBROS
3a semana
4a semana
400
800
6300
5a semana
1600
6a semana
3200
RESPOSTA: O site A espera atrair daqui a 6 semanas 3200 novos sócios, e ter daqui a 6 semanas um
total de (150 + 6300) = 6450 sócios.
b)
1a semana
100
site B
2a semana
200
NOVOS MEMBROS
3a semana
.........................
300
na semana
100+(n – 1)100 =100n
TOTAL
2200 +
(100 + 100n )n ≥ 10000 ⇒ 50n 2 + 50n − 7800 ≥ 0 ⇒ n 2 − n − 156 ≥ 0 ⇒
2
− 1 ± 1 + 624 − 1 ± 25
=
⇒ n' = −13 e n' ' = 12.
2
2
Logo a solução da inequação n 2 − n − 156 ≥ 0 é: n ≤ − 13 ou n ≥ 12.
As raízes da equação n 2 − n − 156 = 0 , são n =
RESPOSTA: Em 12 semanas.
12