EE-240/2009
Modelamento
EE-240/2009
Modelagem
Caixa
Transparente
Caixa
Opaca
Leis Físicas
Dados
Experimentais
Identificação
EE-240/2009
Caixa Transparente
(Branca)
EE-240/2009
Pao
Rc
Paw
Q
CS
QA
Pao
Rp
Q
Paw
Q
PA
Rp
Rc
PA
CL
QA
CL
CS
S
Ppl
Cpl
C pl
Ppl
EE-240/2009
d
 Paw   QS
dt
d
Ceq  PA   Q A
dt
CS
QS 
1
 Pao  Paw   QA  1  Pao  Paw   1  Paw  PA 
RC
RC
Rp
QA 
1
 Paw  PA 
Rp
d
P
1
 Paw  PA   1 Pao
CS  Paw    aw 
dt
RC Rp
RC
d
1
 Paw  PA 
Ceq  PA  
dt
Rp
Rp  RC
P
d
1

Paw   
Paw  A 
Pao
dt
CS R C R p
CS R p CS R C
d
 PA   Paw  PA
dt
C eq R p C eq R p
Pao
Q
QA
Paw
Rp
Rc
Q
PA
CS
S
CL
Ceq
Ppl
Cpl
P aw  a 11 Paw  a 12 PA  b1 Pao
P A  a 21 Paw  a 22 PA
x  Ax  Bu
EE-240/2009
x  Ax  Bu
x1 = Airway Pressure
x2 = Alveolar Pressure
u = Oral Apperture Pressure
Se a variável de interesse é
a ventilação alveolar QA:
QA 
1
 Paw  PA
Rp

y = Cx
EE-240/2009
Mux
respm2.mat
Mux
To File
1/s
Integrator
Volume vs time
Pao vs time
Q vs time
Pao
Q
1
Ventilator
QA
1/Rc
Sum
1/s
Qs
0.005
Paw
Memory
Integrator1
du/dt
dPaw/dt
Cs
Sum1
0.5
1/0.2
Rp
1/CL
Sum3
1/0.2
1/Cw
Sum2
EE-240/2009
Caixa Opaca
(Preta)
EE-240/2009
Modelagem
Caixa
Transparente
Leis Físicas
Caixa
Opaca
Não-Paramétrica
Paramétrica
EE-240/2009
Modelagem
Caixa
Transparente
Leis Físicas
Caixa
Opaca
Não-Paramétrica
Paramétrica
EE-240/2009
w
Planta
V
EE-240/2009
-20dB/dec
-20dB/dec
G (s) 
1000
s  10s  100
Planta
EE-240/2009
w
j
Planta
V H
EE-240/2009
uk
yk
hk
k
yk   hk iui
i0
Ruy ( j, k )  E [u j yk ]
 k

 E u j  hk iui 
 i0

k
  hk i E [ u j ui ]
i0
k
  hk i Ruu ( j, i)
i0
Ruu( j, i)   ji
k
Ruy ( j, k )   hk i  ji  hk  j
i0
EE-240/2009
uk
yk
hk
q i
*
E (.)
hi
EE-240/2009
Resposta Impulso
350
G(s) 
300
250
wn  2
200
  0.4
150
h(k)
4
s2  1.2s  4
G(z) 
100
0.073z  0.0674
z2  1.646z  0.786
50
0
-50
-100
-150
0
5
10
15
k
20
25
30
EE-240/2009
x1
x2
x3
y
x4
x5
x6
x7
y = f (x1,...,x7,W)
EE-240/2009
u(k)
z-1
z-1
y(k)
z-1
z-1
z-1
z-1
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),W)
EE-240/2009
W
u(k)
z-1
z-1
y(k)
z-1
RNA
z-1
z-1
z-1
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),W)
EE-240/2009

Regras
u(k)
z-1
z-1
y(k)
z-1
z-1
z-1
z-1
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),,Regras)
EE-240/2009
u(k)
z-1
z-1
y(k)
z-1
z-1
z-1
z-1
EE-240/2009
Modelagem
Caixa
Transparente
Leis Físicas
Caixa
Opaca
Não-Paramétrica
Paramétrica
EE-240/2009
Identificação Paramétrica

uk 
wk 
Sistema
Parcialmente
Conhecido
 yk 
xk  1  f xk ,    C w k
yk  H xk  G vk
Identificador
ˆ  E Yk ,Uk 
EE-240/2009
Estimação Pontual
1. Estimador:
p y   ,   ,   Rq
Dados:
y correspondente a  T
um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
Obter:
Exemplo:
p y  ,2 
p y  ,1 
  se y  a
g( y)   1
 2 se y  a

a
y
EE-240/2009
2. Estimador Não-Polarizado:
E g( y)  R g p y , d  
Exemplo: Seja y  A  e
e ~ N(0, I)
Obter ˆ  g( y) tal que y  Aˆ
2
seja mínimo
d
2
y  A  0
d
d
y  A T y  A   0
d
d T
y y  2 y T A   T A T A  0
d

2A T A  2A T y  ˆ  0
1
ˆ  A T A  A T y

LSE
EE-240/2009

ˆ  A T A

1
A T y é não polarizado, pois

 E( A A )
 E( A A )
 E( A A )
Eg( y) E ( A T A )  1 A T y


T
1
A T ( A  e )
T
1
A T A  ( A T A )  1 A T e
T
1
A T A  E ( A T A )  1 A T e
 



EE-240/2009
3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
 



ˆ
  By tal que E    ,   cov   cov  
EE-240/2009
4. Limitante Inferior de Cramér-Rao:
onde
cov g( y)  M1 
 


mij  E
log p y ( y, )
log p y ( y, ) 




 i

j

 

Matriz de
Informação
de Fisher
5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se cov g( y)  M1 

6. Teorema: ˆ  gy   AT A
1 AT y é eficiente
7. Propriedades do LSE:

ˆ  gy   AT A
1 AT y é eficiente e não polarizado
EE-240/2009
8. Identificação de Modelos ARMAX:
yk  1yk 1    nyk n  1uk 1    muk m  ek
yk  1yk 1    nyk n  1uk 1    muk m  ek
 1 
y

y


y
u

u
 n   n 1
 en 
0
n 1
nm  

y    y
    e 


y
u

u
n
1
n
nm1 
n1 
 n1  
 n  
un1  unm 2     en 2 
 yn 2     yn1   y2

 
  1  








 
   

 yN    yN1   yNn uN1  uNm     eN 
m 
Y =
A
 + E

ˆ  A T A
1
 AT y
EE-240/2009
9. Lema de Inversão de Matrizes:
A  bc 
T 1
A
1

T
1
 1c A b

1
A 1bcT A 1
10. Estimação Recursiva:
T
T
N medidas  YN , AN , ˆ N onde ˆ N  ( AN
AN )1 AN
YN
 Y  A 
E 
N  1 medidas   N    TN     N 
 yN1  aN1 
eN1 
1
 A T  A    A T  Y 
ˆ N1    TN   TN    TN   N 
 aN1  aN1   aN1   yN1 
1
A




 Y 
T
T
ˆ N1   AN
aN1  TN   AN
aN1  N 
aN1  
 yN1 




T
T
ˆ N1  AN
AN  aN1aN
1

 A Y
1
T
N N

 aN1yN1

EE-240/2009

T
PN  AN
AN
1

T
PN1  AN
 1 AN  1
 AN 
AN1   T 
aN1 
1
T


1
1
 AN   AN 
T
T
   T   T    AN AN  aN1aN1
 aN1  aN1  


A  bc 
T 1

T
T
PN1  AN
AN  aN1aN
1
 PN 

A
1
  P  a
 Pa a
1

T
1
 1c A b
T
N1aN1
N


1
A 1bcT A 1

1
1
T
T
1  aN1PNaN1
N N1 N1PN
KN1 

1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1

T
PN1  I  KN1aN
1 PN
EE-240/2009

 A Y
y 
T
T
ˆ N1  AN
AN  aN1aN
1

T
ˆ N1  PN1 AN
YN  aN1
1
T
N N
 aN1yN1

N1
PN1  PN 


1
T
T
1  aN1PNaN1 PNaN1aN
1PN

1PNaN1aNT1PNANT YN
1
T
T
 PNaN1yN1  1  aN1PNaN1  PNaN1aN
1PNaN1yN1
T
T
ˆ N1  PNAN
YN  1  aN
1PNaN1
T
ˆ N  PNAN
YN

T ˆ
ˆ N1  ˆ N  KN1 yN1  aN
1N
KN1 
1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1

EE-240/2009
yN  1yN1    nyNn  1uN1    muNm  eN
T
aN
1   yN1   yNn uN1  uNm 
 ek 
uk 
Sistema
Parcialmente
Conhecido
 yk 
  1  n 1  m T
Identificador
ˆ  E Yk ,Uk 

T ˆ
ˆ N1  ˆ N  KN1 yN1  aN
1N
KN1 

1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1


T
PN1  I  KN1aN
1 PN
EE-240/2009
Exemplo:
0
xk  1  1

0
yk  0 0
0.12 
 1
1
0  0.74 x k  0 uk  1 w k

 
 
1
1.5 
0
1
1 x k  v k
0
yk  1  1.50yk  0.74yk  0.12yk  n  1  1.00uk
EE-240/2009
13 set 2006
Identificação Paramétrica

uk 
wk 
Sistema
Parcialmente
Conhecido
 yk 
xk  1  f xk ,    C w k
yk  H xk  G vk
Identificador
ˆ  E Yk ,Uk 
EE-240/2009
Identificação Paramétrica
1. Estimador:
p y   ,   ,   Rq
Dados:
y correspondente a  T
um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
Obter:
Exemplo:
p y  ,2 
p y  ,1 
  se y  a
g( y)   1
 2 se y  a

a
y
EE-240/2009
2. Estimador Não - Polarizado:
E g( y)  R g p y , d  
Exemplo: Seja y  A  e
e ~ N(0, I)
Obter ˆ  g( y) tal que y  Aˆ
2
seja mínimo
d
2
y  A  0
d
d
y  A T y  A   0
d
d T
y y  2 y T A   T A T A  0
d

2A T A  2A T y  ˆ  0
1
ˆ  A T A  A T y

LSE
EE-240/2009

1 A T y é não polarizado, pois
Eg( y) E( A T A )  1 A T y
 E( A T A )  1 A T ( A  e )
 E( A T A )  1 A T A  ( A T A )  1 A T e 
 E( A T A )  1 A T A E( A T A )  1 A T e 
ˆ  A T A

3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
 



ˆ
  By tal que E    ,   cov   cov  
EE-240/2009
 



  By tal que E    ,   cov ˆ  cov  

E    
E By   
E B( A  e )   
E BA   E Be   
BAE    
BA  I


 

cov    E (  E  )(   E  ) T


 E (By  E  )(By  E  ) T


 E (B( A  e )  E  )(B( A  e )  E  ) T



 EBee B 
T



T
 BBT
EE-240/2009
 



ˆ
  By tal que E    ,   cov   cov  
ˆ  E[ˆ ]  ˆ  
 ( A T A) 1 A T y  
 ( A T A )  1 A T ( A  e )  
 ( A T A) 1 A T e
  
cov ˆ  E (ˆ  E[ˆ ])( ˆ  E[ˆ ]) T


 E ( A T A )  1 A T ee T A( A T A )  1
 

 ( A T A )  1 A TE ee T A( A T A )  1
 ( A T A )  1 A T A( A T A )  1
 ( A T A) 1
EE-240/2009
 



  By tal que E    ,   cov ˆ  cov  

~
Seja B  B  A T A
  
cov ˆ  A T A
1 A T

1

cov    BBT
Como BA  I,
1
~
BA  BA  A T A A T A  0

cov    BBT
T
~
~
 B  ( A T A) 1 A T B  ( A T A) 1 A T
~~
~
~
 BB T  BA( A T A )  1  ( A T A )  1 A TB T  ( A T A )  1 A T A( A T A )  1
~~
 BB T  ( A T A )  1
~~
 BB T  cov ˆ
0





 
EE-240/2009
4. Limitante Inferior de Cramér-Rao:
onde
cov g( y)  M1 
 


mij  E
log p y ( y, )
log p y ( y, ) 
 j
 i


 

Matriz de
Informação
de Fisher
Como g(.) é não polarizado,
E g( y)   ou
R m g( )p y ( , )d  

i
R

m g(  ) p y (  ,  )d 


i
0

1
se j  i
se j  i
EE-240/2009



p y ( , ) d  I
R


g
(

)
log p y ( , ) p y ( , )d  I
m
R




E g( )
log p y ( , )   I



m
g( )




Por outro lado,
R m p y ( , ) d  1



R m  p y ( , ) d  0

R m  log p y ( , ) p y ( , )d  0


E  log p y ( , )   0
 





EE-240/2009


g



Se   


 log p y ( , ) 
 



então,


g




 g   T
cov    E  
 
 
  log p y ( , ) 

  






log p y ( , ) T  






cov g I 
cov    
0
I
M


I  I 
1 cov g
I  M 
   M1   0
I
M

 
 


cov g  M1  0
cov g  M1
EE-240/2009
5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se cov g( y)  M1 

6. Teorema: ˆ  gy   AT A

cov ˆ  AT A
p y (  , ) 

1
AT y é eficiente

1
 1

T




exp

y

A

y

A



m/ 2
2


2 
1
m
1
log py (, )   log2   y  A T y  A 
2
2

cov ˆ  M1


log p y ( , )  A T A  A T y  A T e



M  E A T eeT A  A T A
EE-240/2009
7. Propriedades do LSE:

ˆ  gy   AT A
1 AT y é eficiente e não polarizado
8. Identificação de Modelos ARMAX:
yk  1yk 1    nyk n  1uk 1    muk m  ek
 yn    yn1
y    y
n
 n1  
 yn 2     yn1

 


  
 yN    yN1
y
=

 y0

 y1
un

 y2

un1

 1 
unm     en 

 unm1     en1 
  n  

 unm 2     en 2 
  1  

 


   
 uNm     eN 
m 
un1 
  yNn uN1
A

+
e
EE-240/2009
Identificação Paramétrica Recursiva
1. Lema de Inversão de Matrizes:
A  bc 
T 1
A
1

T
1
 1c A b

1
A 1bcT A 1
2. Estimação Recursiva:
T
T
N medidas  YN , AN , ˆ N onde ˆ N  ( AN
AN )1 AN
YN
 Y  A 
E 
N  1 medidas   N    TN     N 
 yN1  aN1 
eN1 
1
 A T  A    A T  Y 
ˆ N1    TN   TN    TN   N 
 aN1  aN1   aN1   yN1 
1
A




 YN 
N
T
T
ˆ
AN aN1 
N1   AN aN1  T  

a
 N1  
 yN1 




T
T
ˆ N1  AN
AN  aN1aN
1

 A Y
1
T
N N

 aN1yN1

EE-240/2009
PN 


1
T
ANAN

T
PN1  AN
 1 AN  1
A 
AN1   TN 
aN1 
1
T


1
1
A  A 
T
T
   T N   T N    AN
AN  aN1aN
1
 aN1  aN1  


A  bc 
T 1

T
T
PN1  AN
AN  aN1aN
1
 PN 

A
1
  P  a
 Pa a
1

T
1
 1c A b
T
N1aN1
N


1
A 1bcT A 1

1
1
T
T
1  aN1PNaN1
N N1 N1PN
KN1 

1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1

T
PN1  I  KN1aN
1 PN
EE-240/2009

 A Y
y 
T
T
ˆ N1  AN
AN  aN1aN
1

T
ˆ N1  PN1 AN
YN  aN1
1
T
N N
 aN1yN1

N1

T
PN1  PN  1  aN
1PNaN1
1PNaN1aNT1PN

1PNaN1aNT1PNANT YN
1
T
T

 PNaN1yN1  1  aN
P
a
PNaN1aN
 1 N N 1
1PNaN1yN1
T
T
ˆ N1  PNAN
YN  1  aN
1PNaN1
T
ˆ N  PNAN
YN

T ˆ
ˆ N1  ˆ N  KN1 yN1  aN
1N
KN1 
1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1

EE-240/2009
3. Identificação de Modelos ARX:
yN  1yN1    nyNn  1uN1    muNm  eN
T
aN
1   yN1   yNn uN1  uNm 
 ek 
uk 
Sistema
Parcialmente
Conhecido
 yk 

T ˆ
ˆ N1  ˆ N  KN1 yN1  aN
1N
  1  n 1  m 
T
Identificador
KN1 

1
PNaN1
T
1  aN1PNaN1


T
PN1  I  KN1aN
1 PN
ˆ  E Yk ,Uk 
EE-240/2009
Exemplo:
0
xk  1  1

0
yk  0 0
0.12 
 1
1
0  0.74 x k  0 uk  1 w k

 
 
1
1.5 
0
1
1 x k  v k
0
yk  1  1.50yk  0.74yk  0.12yk  n  1  1.00uk
EE-240/2009
EE-240/2009
13 set 2006
1.5
1
Parametros Estimados
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tempo
yk  1  1.50yk  0.74yk  0.12yk  n  1  1.00uk
EE-240/2009
Matriz P
5
4
3
2
P[i,j]
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tempo
EE-240/2009
4. Região de Confiança quando e ~ N(0 , 2 I ) e  é conhecido:

ˆ ~ N  ,  2 ( AT A)1

ˆ i ~ N i , 2pii


ˆ i  i  ~ N 0 ,1 
 pii
 x  percentil x / 2 de N( 0 , 1 )


i  ˆ i   x  pii , ˆ i   x  pii com confiança 1  x 
EE-240/2009
5. Região de Confiança quando e ~ N(0 , 2 I ) e  é desconhecido:
Y  RN e   R q
ˆ 2 
1
Y  A ˆ
Nq
 ˆ i  i 
pii
ˆ
~ t N q 
 x  percentil x / 2 de t ( N  q )


ˆ pii , ˆ i   x 
ˆ pii com confiança 1  x 
i  ˆ i   x 
EE-240/2009
6. Teste de Hipóteses:
ˆ  LSE

  LSE impondo q  q 1    q p  1  0
Y  A  e

S ˆ
N
  eˆ k2
k 1

S  
N

 ek2
k 1
Se q  q1    qp 1  0 é verdadeiro, então

ˆ
ˆ
S  e S   S  são independentes

S ˆ  S 
2
p 
~

2

= 
ˆ
S
2
N  q
~

2





EE-240/2009


S ˆ  S 
2
~  p 
2
  ~  2 N  q
S ˆ
2
u ~  2 p 
v ~  2 r 

u/p
~ F( p, q )
v/r


S ˆ  S  1
p
2
~ F p, N  q 
ˆ
S
1
 2 N  q

Se N - q é grande
1
F p, N  q    2  p 
p


S ˆ  S  N  q 1 2
~  p 
ˆ
p
p
S

EE-240/2009
2
Para p =1,  (p) possui valor crítico de 4 para significância 95%
Portanto, q  0 é rejeitado se

ˆ
S   S 
4

N q 
S ˆ


ˆ  r  1 parâmetros

  r parâmetros
Sr
Se
Sr  Sr  1
4

N q 
Sr  1
Então a ordem é r
r
EE-240/2009
Muito Obrigado!
EE-240/2009