22 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Análise de Séries Temporais ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Análise e Previsão de Séries Temporais ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Série temporal : “Conjunto de valores de uma grandeza gerada seqüencialmente no tempo” Exemplo: t y(t) 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 .... 0.0000 0.9580 1.4540 -1.2937 -1.0410 1.0711 0.2001 1.3900 1.6156 1.6119 2.2902 1.7686 2.3908 0.0975 .... ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais t y(t) 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 21.0000 22.0000 23.0000 24.0000 25.0000 0.0000 0.9580 1.4540 -1.2937 -1.0410 1.0711 0.2001 1.3900 1.6156 1.6119 2.2902 1.7686 2.3908 0.0975 1.3802 1.3433 -0.0041 1.9573 0.7435 3.3151 1.1949 2.6287 2.4193 1.3781 0.2293 2.4408 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais t y(t) 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 21.0000 22.0000 23.0000 24.0000 25.0000 0.0000 0.9580 1.4540 -1.2937 -1.0410 1.0711 0.2001 1.3900 1.6156 1.6119 2.2902 1.7686 2.3908 0.0975 1.3802 1.3433 -0.0041 1.9573 0.7435 3.3151 1.1949 2.6287 2.4193 1.3781 0.2293 2.4408 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais t y(t) 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 21.0000 22.0000 23.0000 24.0000 25.0000 0.0000 0.9580 1.4540 -1.2937 -1.0410 1.0711 0.2001 1.3900 1.6156 1.6119 2.2902 1.7686 2.3908 0.0975 1.3802 1.3433 -0.0041 1.9573 0.7435 3.3151 1.1949 2.6287 2.4193 1.3781 0.2293 2.4408 Ajuste de uma função linear ( reta ) ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais t y(t) 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 21.0000 22.0000 23.0000 24.0000 25.0000 0.0000 0.9580 1.4540 -1.2937 -1.0410 1.0711 0.2001 1.3900 1.6156 1.6119 2.2902 1.7686 2.3908 0.0975 1.3802 1.3433 -0.0041 1.9573 0.7435 3.3151 1.1949 2.6287 2.4193 1.3781 0.2293 2.4408 Erros no Ajuste da Reta ek ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Regressão Linear: yk = a xk + b Mínimos Quadrados: Obter valores a e b de modo que n k 1 ek 2 n yk axk b 2 k 1 seja mínimo. d d 0, 0 da aˆ db bˆ Mínimos Quadrados n x y x k x yk y n xk yk k 1 n k 1 aˆ k 1 n x k x 2 k 1 bˆ y aˆ x ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Regressão Linear: yk = a xk + b No exemplo: t no lugar de k xk = x t = t yk = y( t ) ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Regressão Linear: %Supondo que os pares x(k) e y(k) estão disponíveis > uns = ones(size(x),1); > [coef,intervcoef,res,intervres,stat] = regress(y,[x uns],0.05) % 0.05 se refere (1 – 0.05) de nível de confiança % coef são os coeficientes angular e linear da reta % intervcoef são os intervalos de confiança dos coeficientes % res são os resíduos % intervres são os intervalos de confiança para os resíduos % stat contém os valores de R2, F e p ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais y(t) = 0.0665 t + 0.3823 a [ 0.0117 0.1212 ] b [ -0.4155 1.1800 ] = 0.05 R2 = 0.2075 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais y(t) = 0.0665 t + 0.3823 a [ 0.0117 0.1212 ] b [ -0.4155 1.1800 ] = 0.05 R2 = 0.2075 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais n yˆ k y R2 k 1 n yk y 2 k 1 R2 = 0.9259 yk y yk yˆ k yˆ k y Total Não-Explicado Explicado R2 = 0.4280 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Polinômio de 10a ordem y(t) = 1.7640e-010 t10 - 1.2032e-008 t9 + 3.8719e-008 t8 + 2.0053e-005 t7 - 8.4235e-004 t6 + 1.6681e-002 t5 – 0.18486 t4 + 1.1401 t3 - 3.4843e+000 t2 + 3.9049 t - 5.2614e-002 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Ajuste do Polinômio de 10a ordem: % Supondo que os pares y(k),x(k) já estão definidos > coef = polyfit(x,y,10) > plot(x,y,’r’) > hold on > ychapeu = polyval(coef,x) > plot(x,ychapeu) ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais previsão ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais yˆ k 1 yk ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais U de Theil Previsão “naïve” Forecast Relative Change Actual Relative Change APE k 1 yk 1 yk yk FPEk 1 yˆ k 1 yk yk n1 FPEk 1 APE k 1 2 U k 1 n1 k 1 yˆ k 1 yk APE k 1 1 yˆ k 1 proposta é tão boa quanto a “naïve” U 1 yˆ k 1 proposta é melhor que a “naïve” 1 yˆ k 1 proposta é pior que a “naïve” ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Adaptações do Método de Regressão Linear: Linear y(t) = at + b Polinomial y(t) = a1 t n + a2 t Exponencial y(t) = ab t log y(t) = log a + t log b Potencial y(t) = a t b log y(t) = log a + b logt Hiperbólica y(t) = a + b / t y(t) = a + b (1/ t ) n-1 + ... + ab ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais log 5 = 0.699 y(t) = 5 exp (- 0.1 t) = 5 (e -0.1) t = ab t log (e -0.1) = -0.0434 log y(t) = log a + t log b = log 5 + t log (e -0.1) ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Regressão Linear Robusta Robust OLS outliers ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Regressão Linear Múltipla: yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek Exemplo: y x2 k=3 k=1 k=2 k=4 k=5 x1 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k 0 • Multicolinearidade ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Complicantes na Regressão Linear: • Regressores mal escolhidos • Não linearidade yk a 0 a1x1k a 2 xk2 amxkm ek ek ~ N (0, 2 ) i.i.d. y e xi não são inter-relacionados yk fNL (xk )ek • Coeficientes variantes no tempo • Heterocedasticidade yk a(t) xk b(t) ek yk a xk b c(t) ek • Erros correlacionados no tempo ek i.i.d. • Erros com média não nula e ~ N (, 2 ) k • Multicolinearidade xi x j k k 0 i j , k ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Suavização Exponencial: yˆ k 1 yˆ k yk yˆ k = 0.5 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Suavização Exponencial: yˆ k 1 yˆ k yk yˆ k yˆ k 1 yˆ k yk yˆ k yk 1 yˆ k yk 1 yk 1 1 yˆ k 1 yk 1 yk 1 1 2 yˆ k 1 yk 1 yk 1 1 2 yk 2 1 yˆ k 2 yk 1 yk 1 1 2 yk 2 1 3 yˆ k 2 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Método de Holt-Winters: yˆ k m ak m bk a k bk bk 1 1 a k 1 bk yk 1 ak 11 bk 1 m=1 = 0.4 = 0.4 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Auto-Regressão - AR: yk 1yk 1 2 yk 2 ... n yk n ek Média Móvel - MA: yk 0 x k 1x k 1 ... m x k m e k ... Valores anteriores de y no lugar de xk ... Média ponderada dos últimos m+1 valores de xk yk 1yk 1 2 yk 2 ... n yk n 0 x k 1x k 1 ... m x k m e k ARMA ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Estimação de coeficientes de um modelo ARMA: >> dados=iddata(y,u,1) >> M=arx(dados,[2 1 0]) ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais y(k) y-chapeu (k) previsão ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Ajuste Polinomial n=2 n=3 y n=1 ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais ARIMA: yk yk 1 é ARMA ago 2007 EE-240/2007 – Análise de Séries Temporais Muito Obrigado! ago 2007
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