Geometria Analítica
Módulo 3
Vetores - Tratamento Algébrico: Vetores no espaço R².
Vetor definido por 2 pontos.
Expressão analítica no R².
Módulo de vetor.
Operações com vetores.
1. Vetores no R²
Os eixos cartesianos em duas dimensões ( eixo x e eixo y) é também chamado
de R². No R² uma vetor pode ser escrito em função de suas componentes em
cada eixo. Para isto usamos os chamados vetores unitários (de módulo igual a
1) ou versores assim denominados



i ou x : versor do eixo x  | i | = 1



j ou y : versor do eixo y  | j | = 1
Escrever um vetor em função de seus versores é que se chama de expressão
analítica do vetor
Todo vetor fica definido por dois pontos extremidade e origem.
Um vetor PQ  Q  P possui origem em P e extremidade em Q.
A subtração de Q – P deve ser feita observando a seqüência x e y
Exemplo: Na figura temos os pontos P(3; 2) e Q(8; 9).


O vetor PQ  Q  P = (8 – 3) i + (9 – 2) j logo


A expressão analítica de PQ  5 i + 7 j
Observe que o vetor OA também possui a mesma expressão analítica só que
sua componentes coincidem com as componente do ponto A pois o vetor OA
possui origem na origem dos eixos


PQ  5 i + 7 j = (5; 7)


OA  5 i + 7 j = (5; 7) logo PQ  OA
O ponto A é indicado A(5, 7)
O cálculo do modulo do Vetor OA ou PQ é feita pelo teorema de Pitágoras
| OA |² = 5² + 7²  | OA | =
74 = 8,6
Do exemplo concluímos que é sempre possível ter um vetor equivalente com
origem na própria origem do sistema de eixos e neste caso a extremidade
deste vetor igual as componente do próprio vetor.
Por exemplo



v  Xi  Yj  ( X ; Y ) como Origem (0 ;0) seu extremidade (X; Y)
 



O modulo de um vetor v  Xi  Yj  ( X ; Y ) é | v | ²  X ²  Y ² ou | v | X ²  Y ²
2. Operações com vetores usando a expressão analítica
As operações de soma vetorial e multiplicação por escalar são feitas
componente a componente.
Exercício Resolvido - 1
Solução:

Um vetor é definido por v  AB sendo A(1;3) e B(2;6). Determine a expressão
analítica deste vetor.
Solução:

  

v  AB  B  A  (2  1)i  (6  3) j  1i  3 j
A expressão analítica é:

 

v  1i  3 j ou v  (1; 3)
Exercício Resolvido – 2
Solução:

Um vetor é definido por v  AB sendo A(1;3) e B(2;6). Determine o módulo
deste vetor
Solução:


Pela solução do exercício anterior a expressão analítica do vetor v  1i
 



O módulo de um vetor v  Xi  Yj é | v | X ²  Y ²  | v | 1²  3²  10

3j
Exercícios propostos

1. Um vetor é definido por v  AB sendo A(1;4) e B(5;7). Determine a
expressão analítica deste vetor e também o seu módulo.






2. Sendo conhecidos vetores no R² p  2i  4 j e q  6i  3 j .
 
a) p + q
 
b) 2 p + q
 
c) p - q
 
d) 3 p -2 q


3. Sendo conhecidos vetores no R² p = (6, -8) e q = (12, 5), determine:
a) o modulo de cada vetor
 
b) p + q
  
c) o modulo do vetor v = p + q
 

d) u = 3 p -2 q
4. Considere a figura
A expressão analítica do vetor b da figura é:
a) 6i + 4j
b) - 6i + 4j
c) 6i - 4j
d) -6i - 4j
e) 6i + 5j
Obs: Pode-se dispensar a flechinha indicativa de vetor deste que seja indicado
no texto que se trata de um vetor
Referência bibliográfica: Bibliografia básica e complementar da disciplina