Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 10 - Transformações Lineares no Plano e no Espaço
TRANSFORMAÇÕES LINEARES GEOMÉTRICAS NO PLANO
As Transformações Lineares Geométricas no Plano são Aplicações de IR2→ IR2 (plano) e tem
utilidade, entre outras áreas, em computação Gráfica. A seguir relacionamos algumas destas:
I.
Reflexões:
a) No eixo das Abscissas: y=0: F(x,y) = (x,-y); ∀ x, y ∈ IR
y
(x,y)
•
y
x
x
-y
•
(x,-y)
b) No eixo das Ordenadas: x = 0: F(x,y) = (-x,y); ∀ x, y ∈ IR
y
(-x,y)•
•(x,y)
y
-x
x
x
c) Na 1a Bissetriz y = x: F(x,y) = (y,x); ∀ x, y ∈ IR
y
y
(y,x)
•
y
•(x,y)
x
x
x
d) Na 2a Bissetriz y = -x: F(x,y) = (-y,-x); ∀ x, y ∈ IR
y
•(x,y)
y
x
-x
(-y,-x) •
-y
e) Na Origem do Sistema de Coordenadas: F(x,y) = (-x,-y); ∀ x, y ∈ IR
y
y
•(x,y)
y
-x
x
x
(-x,-y) •
-y
II. Homotetias (Semelhanças):
Uma Homotetia é definida pela Transformação Linear F(x,y)= k (x , y); ∀ x, y ∈ IR e ∀ k≠0 ∈ IR.
Esta transformação leva a cada vetor (x,y) do plano num vetor de mesma direção de mesmo ou
oposto sentido e de módulo igual, maior ou menor, conforme o valor atribuído ao real k.
a) Se k > 1 teremos uma Ampliação ou Dilatação;
y
(kx,ky)
ky
•
y
•(x,y)
x
x
b)
kx
Se 0< k < 1 teremos uma Redução ou Contração;
y
(x,y)
y
•
ky
•(kx,ky)
x
kx
x
c) Se k < 0 teremos uma Inversão;
y
y
•(x,y)
kx
x
x
•
(kx,ky)
ky
III. Rotações:
Uma Rotação é definida pela Transformação Linear F(x,y)=(x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ);
∀ x, y ∈ IR. O ângulo θ , por convenção tem orientação positiva, no sentido anti-horário.
y
θ
F(x,y) •
y
•(x,y)
x
x
IV. Cisalhamentos:
a) Horizontal: F(x,y)=(x+ay,y); ∀ a ≠0 ∈ IR
y
y
(x,y)
•
x
(x+ay,y)
•
x+ay
b) Vertical: F(x,y)=(x, bx+y); ∀ b ≠0 ∈ IR.
y
bx+y
(x, bx+y)
•
y
• (x,y)
x
x
x
V. Translação:
Uma Translação é definida pela Aplicação F(x,y)= (x+a , y+b).
Observamos que esta Aplicação é uma Transformação Linear apenas para o caso em que a=b.
y
y
y+b
y
(x,y)
(x+a,y+b)
•
(x+a, y+a)
y+a
•
y
• (x,y)
x
x
x+a
•
x
x
x+a
TRANSFORMAÇÕES LINEARES GEOMÉTRICAS NO ESPAÇO
As Transformações Lineares Geométricas no Espaço são Aplicações de IR3→ IR3.
A seguir relacionamos algumas destas:
I. Reflexões:
a) Reflexões em relação aos Planos Coordenados.
A Reflexão em relação, por exemplo, ao plano xOy é a Transformação Linear F: IR3→ IR3 , que
leva cada ponto (vetor) (x,y,z) na sua imagem (x, y, -z): F(x,y,z) = (x, y, -z); ∀ x, y, z ∈ IR.
Plano xOy. Sua matriz canônica é:
z
1
0
0
z
•(x, y, z)
y
0
1
0
0
0
-1
y
x
•
x
•(x, y ,-z)
As reflexões em relação aos planos xOz F(x, y, z)= (x, -y, z); ∀ x, y, z ∈ IR
yOz F(x, y, z)= (-x, y, z); ∀ x, y, z ∈ IR tem as seguintes matrizes Canônicas:
Plano xOz
Plano yOz
1
0
0
-1
0
0
0
-1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
e
b) Reflexões em relação aos Eixos Coordenados.
A Reflexão em relação, por exemplo, em torno do eixo x, é o Operador Linear F: IR3→ IR3 .
F(x, y, z) = ( x, - y, -z); ∀ x, y, z ∈ IR, cuja matriz canônica é:
z
1
0
0
z
x
•(x, y, z)
y
y
0
-1
0
0
0
-1
•
•(x,-y,-z)
x
De forma análoga F(x,y,z)= (-x,y,-z) define as reflexões ao eixo Oy e
define as reflexões ao eixo Oz.
Matriz para o eixo Oy
⇒
-1
0
0
0
0
1
0
0
-1
Matriz para o eixo Oz
⇒
F(x,y,z) = (-x,-y, z),
-1
0
0
0
0
-1
0
0
1
c) Reflexão na Origem.
A Reflexão em relação à origem é o Operador Linear F: IR3→ IR3 , que leva cada ponto (vetor)
(x,y,z) na sua imagem (-x, -y, -z): F(x,y,z) = (-x, -y, -z); ∀ x, y, z ∈ IR.
z
→
v
→
-v
•
y
x
II. Rotações:
Das rotações do espaço apresentaremos, exemplificando, a rotação em torno do eixo z das cotas.
Esta rotação, que faz cada ponto descrever um ângulo θ é efetivamente o Operador Linear
F: IR3→ IR3, definido por F(x,y,z)=(x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ, z);, ∀ x, y, z ∈ IR.
O ângulo θ, por convenção tem orientação positiva, no sentido anti-horário. Sua Matriz canônica
é:
cos θ
(F) = sen θ
0
z
´
o´•
θ
F(v)
α
−sen θ
0
cos θ
0
0
1
Observamos que:
i) F gira de um ângulo θ em torno da origem O,
os pontos do plano xOy (z=0), pois
F(x,y,0)=(x cosθ − y senθ , x senθ + y cosθ, 0);
ii) F não altera os pontos do eixo z, pois F(0,0,z)=(0,0,z);
iii) O ângulo θ corresponde ao ângulo central cujos lados
interceptam, na circunferência de centro em O´, um
arco de medida θ.
Esse ângulo não é o ângulo α formado pelos vetores
v e F(v).
v
O•
y
x
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.