Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pos-graduação em Matemática e Estatı́stica - PPGME
Curso de Análise Funcional
Lista de Exercı́cios 5
Professor: Giovany M. Figueiredo
Data: 13/10/2010
1. Seja E um espaço normado e F ⊂ E um subespaço de E tal que F 6= E. Use o
Teorema de Hahn-Banach, segunda forma geométrica e mostre que existe f ∈ E 0 ,
f 6= 0 tal que f (x) = 0, para todo x ∈ F . Com este exercı́cio, conclua o seguinte
critério de densidade: Se f ∈ E 0 com f (x) = 0 para todo x ∈ F implicar que f ≡ 0,
então F = E.
2. Seja E um espaço normado e E 0 seu dual topológico. Se E 6= {0}, mostre que
E 0 6= {0}.
3. Seja E um espaço normado. Mostre que se f (x) = f (y) para todo f ∈ E 0 , então
x = y.
4. Seja E um espaço normado e G ⊂ E um subespaço de E. Considere S : G → l∞
um operador linear contı́nuio. Use o Teorema de Hahn-Banach e mostre que existe
um operador linear contı́nuo T : E → l∞ tal que T (x) = G(x) para todo x ∈ G e
kT k = kSk.
5. Considere G = span{(1, 0, 0)} o subespaço do IR3 gerado pelo vetor (1, 0, 0) e os
seguintes funcionais lineares: g : G → IR definido por g(x, y, z) = x, f1 : IR3 → IR
definido por f1 (x, y, z) = x + y e f2 : IR3 → IR definido por f2 (x, y, z) = x + z.
Mostre que f1 , f2 são extensões distintas de g. Fixando a norma da soma para o
IR3 , mostre que kf1 k = kf2 k = kgk. Conclua que a extensão de funcionais lineares
no primeiro corolário do teorema de Hahn-Banach não é única.
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6. Seja x0 = (1, 0, 0) ∈ IR3 e considere os seguintes funcionais lineares: f1 : IR3 → IR
definido por f1 (x, y, z) = x + y e f2 : IR3 → IR definido por f2 (x, y, z) = x + z.
Fixando a norma da soma para o IR3 , mostre que kf1 k = kf2 k = kx0 k e f1 (x0 ) =
kx0 k2 e f2 (x0 ) = kx0 k2 . Conclua que a extensão de funcionais lineares no segundo
corolário do teorema de Hahn-Banach não é única.
7. (Teorema de Hahn-Banach generalizado) Seja E um espaço vetorial sobre o corpo
dos complexos e ρ : E → IR um funcional tal que ρ(x + y) ≤ ρ(x) + ρ(y) e
ρ(λx) = |λ|ρ(x), para todo λ ∈ C.
I Seja G um subespaço de E e g : G → C
I
um funcional linear tal que |g(x)| ≤ ρ(x), para todo x ∈ G. Mostre que existe um
funcional linear que extende g, isto é, f (x) = g(x), para todo x ∈ G e |f (x)| ≤ ρ(x),
para todo x ∈ E.
8. Seja E um espaço normado e M ⊂ E um subespaço de E. Suponha que exista x0 ∈ E
tal que d0 = dist(x0 , M ) > 0. Prove que existe f ∈ E 0 tal que f (x) = d0 , para todo
x ∈ M e kf k = 1.
9. Seja W = {(x, y, z) ∈ IR3 : x+2y = z = 0} um subespaço vetorial do IR3 e considere o
funcional linear g : W → IR. Encontre duas extensões de g para o IR3 com normas
iguais a norma de g.
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