Tororó de Ideias
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1) Determine a área da região entre as curvas:
e
.
Primeiro achamos os extremos de derivação, para isso igualamos y1 e y2, que resulta nos
pontos em que as funções se cruzam:
Depois de achar os extremos de derivação, calculamos as áreas entre eles, usando o Teorema
Fundamental do Cálculo e subtraindo as funções:
Somamos as duas áreas obtidas para obter a área entre as duas curvas:
O gráfico da função:
y
x
2) Dado:
. Pede o domínio A “mais amplo”.
Nessa função temos duas condições :
, pois não existe raiz negativa no conjunto R;
, pois não existe logaritmo de 0 ou valores negativos.
P1
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Trocando alguns valores de lugar temos:
3) Sendo
se
e
, que formam o domínio da função:
uma função de duas variáveis x e y em R² tal que
é verdade.
, verificar
Primeiro melhoramos a função para facilitar os cálculos:
Agora derivamos parcialmente em relação a x e y:
Agora verificamos quanto vale a equação
Portanto a igualdade
:
é verdadeira.
4)Obter o valor da derivada direcional da função:
, em
e direção da reta que forma 45º com o sentido positivo do eixo x.
A reta de 45º com o sentido positivo do eixo x é a reta determinada pela equação y=x, que
pode ser representada pelo vetor:
.
Tendo o vetor
calculamos o módulo dele e depois o vetor unitário
Onde o valor que acompanha o versor é o valor de
é o valor de
.
e o valor que acompanha o versor
Tendo os valores de
e
derivamos a função em relação a x e y no ponto P dado:
Com os valores de
e
usamos a fórmula:
P1
:
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5) Obtenha, se houver, os pontos de máximo, mínimo ou sela de
.
Primeiro obtemos a derivada de 1ª ordem em relação a x e y e igualamos a 0:
Resolvemos o sistema obtido:
Substituímos em (II):
Substituímos os valores que achamos em (III):
Assim obtemos os pontos críticos da função, os prováveis pontos de mínimo, máximo ou sela:
Agora obtemos as derivadas de 2ª ordem em relação a x e y:
Substituímos os pontos críticos nas derivadas de 2ª ordem e calculamos o Hessiano,
lembrando que:
(0;0)
(1;1)
P1
A
0
6
B
0
6
C
-3
-3
H
-9
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Conclusão
Ponto de Sela
Ponto de Mínimo
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Agora substituímos os valores de x e y encontrados na função original para acharmos os
pontos:
Assim obtemos os pontos: (0;0;0) – Sela e (1;1;-1) – Mínimo
O Gráfico da função:
P1
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