MF
Mecânica dos Fluidos
Módulo 02 – Estática dos Fluidos
Aula referente ao Cap. 03 do FOX
MF – 1⁰ Sem. ­ Jundiai → AMB
MF
Nota sobre a Disciplina / Slides
MF → AMB
Caríssimos,
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Este material serve apenas para orientá­los ao que deve ser estudado nos livros referenciados na descrição desta matéria. CUIDADO!!! Estas notas de aula são apenas resumos sequenciais do que você deve estudar; não acredite que apenas isto lhe dará bagagem para nossas provas. NÃO DEIXE DE ESTUDAR PELOS LIVROS TEXTOS, FAZER MUITOS EXERCÍCIOS e frequentar as aulas. Na aula anterior falamos do Cap. 01 e 02 do Fox; esta aula se refere ao Cap. 03.
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Motivação e Aplicação
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Estática dos Fluidos
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HIDROSTÁTICA
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Fluido → pode ser definido através da aplicação de uma (τ), onde a substância escoará ou deformará continuamente enquanto tal força agir.
(τ)→0, para um fluido em repouso
Fluido estático → aproxima­se de um corpo rígido, onde somente tensões normais estão presentes, ou seja, PRESSÃO.
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Aplicações deste conceito → distribuição de pressão em oceanos e atmosfera; projeto de instrumentos de medida de pressão (manômetros); forças sobre superfícies submersas, planas e curvas; empuxo em corpos submersos; comportamento de corpos flutuantes.
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Estática dos Fluidos – Equação Básica
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MF → AMB
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Objetivo → obter uma equação para o campo de pressão em um fluido estático
Pressão → lembre­se que aumenta com a profundidade
Tomando­se a segunda lei de Newton a um elemento diferencial de massa: dm = ρdV.
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Estática dos Fluidos – Equação Básica
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Forças atuantes → forças de corpo (campo ou gravidade) e forças de superfície
Tomando­se um elemento de fluido diferencial, a força devido ao campo será
d FB = g⋅dm= g⋅⋅d ∀
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Em coordenadas cartesianas
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d FB = g⋅⋅d ∀ = g
⋅⋅dx⋅dy⋅dz
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Fluido estático → não há (ρ), a única força atuante é a força de superfície ou pressão.
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Estática dos Fluidos – Equação Básica
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MF → AMB
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Pressão → campo escalar, p = p(x, y, z) e varia com a posição dentro do fluido
As pressões nas faces do elemento, indicando a força superficial líquida, serão:
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Pode­se reduzir a equação anterior para o gradiente da pressão, o qual em coordenadas cartesianas será:


 p  p   p 
d FS =−
i
j
k dx⋅dy⋅dz=−∇ p dx⋅dy⋅dz
x
y
z
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Estática dos Fluidos – Equação Básica
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Combinando as forças existentes (campo e superfície), a força total em um fluido será:

dF



d F =d F S  d F B =− ∇ p g d ∀ ⇒
=−∇ p g
d∀
Utilizando a segunda lei de newton e para uma partícula em um fluido estático:
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d
F
=⋅
a =0⇒ −∇ p 
g =0
d∀
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Escolhendo o sistema de coordenada alinhado com o eixo
dp
dp
dp
=0 ,
=0 ,
=− g
dx
dy
dz
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Estática dos Fluidos – Equação Básica
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Note que a pressão é independente das coordenadas x e y; depende apenas de z.
Pressão pode ser reescrita como:
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Restrições
(1) Fluido Estático
(2) A gravidade é a única força de campo
(3) O eixo z é vertical e aponta para cima
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dp
=− g=−
dz
Relação básica pressão­
altura da estática dos fluidos
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Pressão em um fluido estático → basta integral a equação anterior para as condições de contorno do problema.
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Estática dos Fluidos – Equação Básica
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Valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência; para o vácuo, considera­se absoluta
pmanométrica = pabsoluta − p atmosférica
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MF → AMB
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Medidores de pressão → indicam uma diferença de pressão (entre a medida e a do ambiente).
Pressão manométrica → níveis de pressão medidos em relação à pressão atmosférica.
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Variação de Pressão em Fluido Estático
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Essa variação é descrita pela relação pressão­
altura:
dp
=− g
dz
MF → AMB
Líquidos Incompressíveis: Manômetros
• Massa específica é constante:
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dp
=− g=constante
dz
MF
Variação de Pressão em Fluido Estático
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Variação de pressão → integral em relação as condições de contorno.
p
z
∫ dp=−∫ ⋅g⋅dz ⇒ p− p0 =−⋅g⋅ z 0− z
p0
MF → AMB
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z0
Manômetros → aparelhos simples e baratos; indicam a diferença de pressão relacionando com a diferença de elevação entre dois pontos; a precisão destes aparelhos podem ser melhorados com a utilização de líquidos diferentes e imiscíveis.
MF
Variação de Pressão em Fluido Estático
Gases
• Massa específica varia consideravelmente com a altura;
• Variação de pressão fluido compressível → integral em relação as condições de contorno; utilizando­se a equação dos gases ideais:
MF → AMB
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−p
p= R T = d p =− g d z=
g dz
RT
Considerando uma variação linear da temperatura com a altitude (T = T ­ mz):
0
p
z
dp
g dz
∫ p =−∫ R T − mz 
p0
0
0
MF
Variação de Pressão em Fluido Estático
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Variação da pressão para um gás cuja temperatura variar linearmente com a altura será dado por:
   
T 0 −mz
p
g
g
mz
ln =
ln
=
ln 1−
p0 mR
T0
mR
T0
g /mR
 
MF → AMB
mz
p= p0 1−
T0
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 
T
= p0
T0
g/ mR
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Empuxo e Estabilidade
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Arquimedes enunciou no século III a.C.:
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MF → AMB
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Um corpo imerso em um fluido está sujeito a uma força de empuxo vertical igual ao peso do fluido que se desloca.
Um corpo flutuante desloca seu próprio peso no fluido em que flutua.
EMPUXO → nada mais é do que uma força líquida vertical que atua em um objeto que está imerso ou flutuando em sua superfície.
Força vertical → pela pressão hidrostática:
p= p0  g h
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Empuxo e Estabilidade
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Força líquida vertical sobre o elemento será:
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Tomando­se o volume do elemento:
dF Z = p0   g h2 dA− p0   g h1  dA= gh 2 −h1  dA
F Z =∫ df z =∫∀  g d ∀= g ∀
MF → AMB
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Assim, matematicamente temos a prova que para um corpo submerso, a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado:
F empuxo = g ∀
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Referências
Livros utilizados para preparar os slides anteriores:
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MF → AMB
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White, F. M., Mecânica dos Fluidos, 4⁰ Ed, Mc Graw Hill, 2002.
Fox, R. W. e Mc Donald, A. T., Introdução à Mecânica dos Fluidos, 5⁰ Ed, Guanabara, 2005.
Potter, M. C. & Wiggert, D. C., Mecânica dos Fluidos, 3⁰ Ed, Thomson, 2004.