Trigonometria: Arcos, Polígonos e Triângulos 1
1. (Unicamp 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos
regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma mede 10 cm.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A'.
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2. (Unifesp 2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r
e s, simétricas em relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na origem do sistema, e
os pontos A=(1,2), B, C, D, E e F, correspondentes às interseções das retas e do eixo Ox com
a circunferência.
Nestas condições, determine
a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do hexágono ABCDEF.
b) o valor do cosseno do ângulo AÔB.
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3. (Ufg 2005) O mostrador do relógio de uma torre é dividido em 12 partes iguais (horas), cada
uma das quais é subdividida em outras 5 partes iguais (minutos). Se o ponteiro das horas (OB)
mede 70 cm e o ponteiro dos minutos (OA) mede 1 m, qual será a distância AB, em função do
ângulo entre os ponteiros, quando o relógio marcar 1 hora e 12 minutos?
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4. (Uerj 2002) Considere o triângulo ABC a seguir, onde os ângulos A, B e C estão em
progressão aritmética crescente.
Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, nas seguintes condições:
a) sen A + sen B + sen C = (3 + Ë3)/2
b) åæ = 2 æè.
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5. (Fuvest 95) No quadrilátero a seguir, BC = CD = 3cm, AB = 2 cm, ADC = 60° e ABC = 90°.
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é:
a) 11.
b) 12.
c) 13.
d) 14.
e) 15.
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6. (Fuvest 90) Um triângulo T tem lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é:
a) 5/6.
b) 4/5.
c) 3/4.
d) 2/3.
e) 1/8.
7. (Cesgranrio 95) Um navegador devia viajar durante duas horas, no rumo nordeste, para
chegar a certa ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o
rumo correto, em quanto tempo, aproximadamente, chegará à ilha?
a) 30 min.
b) 1 h.
c) 1 h 30 min.
d) 2 h.
e) 2 h 15 min.
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8. (Fei 94) Se em um triângulo ABC o lado AB mede 3cm, o lado BC mede 4 cm e o ângulo
interno formado entre os lados AB e BC mede 60°, então o lado AC mede:
a) Ë37 cm
b) Ë13 cm
c) 2Ë3 cm
d) 3Ë3 cm
e) 2Ë2 cm
9. (Unesp 89) Os lados de um triângulo medem 2Ë3, Ë6 e 3+Ë3.
Determine o ângulo oposto ao lado que mede Ë6.
10. (Cesgranrio 93) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O co-seno do maior ângulo interno
desse triângulo vale:
a) 11/24
b) - 11/24
c) 3/8
d) - 3/8
e) - 3/10
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11. (G1) Determine os ângulos de um quadrilátero convexo, sabendo que eles medem x, 2x, 3x
e 4x.
12. (Mackenzie 96) Supondo x real, a desigualdade cos(cosx)>0 é verdadeira:
a) somente se -™/2 < x < -™/4.
b) somente se -™/4 < x < 0.
c) somente se 0 < x < ™/4.
d) somente se ™/4 < x < ™/2.
e) sempre.
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13. (Pucmg 97) Na figura, ABCD é um quadrado cuja área mede 4 m£, e C é o ponto médio do
segmento AE. O comprimento de BE, em metros, é:
a) Ë5
b) 2Ë5
c) 5Ë2
d) 3Ë5
e) 4Ë2
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14. (Fuvest 98) No cubo de aresta 1, considere as arestas åè e æî e o ponto médio, M, de åè
a) Determine o cosseno do ângulo BAD.
b) Determine o cosseno do ângulo BMD.
c) Qual dos ângulos, BAD ou BMD, é o maior? Justifique.
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15. (Cesgranrio 99)
Na figura anterior está representado o retângulo ABCD. Sobre o lado DC foi marcado o ponto
P, de modo que a medida de DP corresponde ao triplo do lado AD, enquanto a medida de CP
vale o dobro de BC. O ângulo APB mede, em radianos:
a) ™/2
b) (2™)/3
c) (3™)/4
d) (5™)/6
e) (8™)/9
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16. (Ufrj 99) O polígono regular representado na figura tem lado de medida igual a 1cm e o
ângulo ‘ mede 120°.
a) Determine o raio da circunferência circunscrita.
b) Determine a área do polígono.
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17. (Mackenzie 98) A área do triângulo a seguir é:
a) 12 Ë3
b) 18 Ë3
c) 10 Ë3
d) 20 Ë3
e) 15 Ë3
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18. (Uerj 98) Um holofote está situado no ponto A, a 30 metros de altura, no alto de uma torre
perpendicular ao plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém, uma parte desse chão,
do ponto C ao ponto D, alinhados à base B, conforme demonstra a figura a seguir:
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D, a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 15°
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19. (Unicamp 99) Sejam A, B e C pontos de uma circunferência tais que, åæ=2km, æè=1km e
a medida do ângulo AïC seja de 135°.
a) Calcule o raio dessa circunferência.
b) Calcule a área do triângulo ABC.
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20. (Unirio 99)
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C sobre um mapa, sem escala. Sabe-se
que AB=80km e AC=120km, onde A é uma cidade conhecida, como mostra a figura anterior.
Logo, a distância entre B e C, em km, é:
a) menor que 90.
b) maior que 90 e menor que 100.
c) maior que 100 e menor que 110.
d) maior que 110 e menor que 120.
e) maior que 120.
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21. (Ufes 99) No triângulo ABC da figura, temos AD=CF=BE=2cm e DC=FB=EA=(1+Ë3)cm.
Calcule a medida, em graus, do ângulo AÊD e a área do triângulo DEF.
22. (Uel 99) Sobre uma circunferência —, de centro O e raio r=2Ë3cm, são marcados dois
pontos A e B que determinam em — uma corda de 6cm de comprimento. A medida, em
radianos, do menor dos ângulos AÔB é
a) 5™/6
b) 2™/3
c) ™/3
d) ™/4
e) ™/6
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23. (Unicamp 2000) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números inteiros ímpares
consecutivos cuja soma é 15.
a) Quais são esses números?
b) Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
c) Sendo ‘ e ’ os outros dois ângulos do referido triângulo, com ’>‘, mostre que
sen£’-sen£‘<1/4.
24. (Ufrj 2001) Os ponteiros de um relógio circular medem, do centro às extremidades, 2
metros, o dos minutos, e 1 metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
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25. (Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo 20/™ cm,
cujo ângulo oposto é de 15°. O comprimento da circunferência, em cm, é
a) 20 Ë2 (1 + Ë3).
b) 400 (2 + Ë3).
c) 80 (1 + Ë3).
d) 10 (2Ë3 + 5).
e) 20 (1 + Ë3).
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26. (Fuvest 2002)
As páginas de um livro medem 1dm de base e Ë(1+Ë3)dm de altura. Se este livro foi
parcialmente aberto, de tal forma que o ângulo entre duas páginas seja 60°, a medida do
ângulo ‘, formado pelas diagonais das páginas, será:
a) 15°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 75°
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27. (Ufscar 2002) Na figura, o dodecágono inscrito na circunferência tem seis lados medindo
Ë2 e seis lados medindo Ë24.
Lei dos cossenos: em um triângulo ABC, onde  é o ângulo compreendido entre os lados b e c,
a£ = b£ + c£ - 2bc . cosÂ
a) Calcule o ângulo ï.
b) Calcule o raio da circunferência.
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28. (Ufpi 2000) Em um triângulo, um dos ângulos mede 60° e os lados adjacentes a este
ângulo medem 1cm e 2cm. O valor do perímetro deste triângulo, em centímetros, é:
a) 3 + Ë5
b) 5 + Ë3
c) 3 + Ë3
d) 3 + Ë7
e) 5 + Ë7
29. (Ufrj 2002) O objetivo desta questão é que você demonstre a lei dos cossenos. Mais
especificamente, considerando o triângulo da figura a seguir, mostre que
a£ = b£ + c£ - 2bc cosš
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30. (Uerj 2001) A VIDA LÁ É MAIS CARA...
Só é possível chegar a Fernando de Noronha de barco ou avião. Por isso, tudo fica mais caro.
Veja alguns exemplos
- Milheiro de tijolos
Diferença em relação ao Recife: + 840%
- Mercurocromo
Diferença em relação ao Recife: + 600%
- Quilo de sal
Diferença em relação ao Recife: + 300%
- Quilo de tomate
Diferença em relação ao Recife: + 190%
- Botijão de gás
Diferença em relação ao Recife: + 140%
- Quilo de batata
Diferença em relação ao Recife: + 82%
- Litro de gasolina
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Diferença em relação ao Recife: + 68%
("Veja", 12/07/2000.)
Considere os pontos N, R e F para designar, respectivamente, Natal, Recife e Fernando de
Noronha.
Sabendo-se que o ângulo NFR é igual a 30°, calcule a medida aproximada do segmento NR,
distância entre as cidades de Natal e Recife.
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31. (Uerj 2001) A figura 1 representa uma chapa de metal com a forma de um triângulo
retângulo isósceles em que AB=BC=CD=2m.
Dobrando-a nas linhas BE e CE, constrói-se um objeto que tem a forma de uma pirâmide.
Desprezando a espessura da chapa, calcule o cosseno do ângulo formado pela aresta AE e o
plano ABC.
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32. (Ufpr 2003) Em um triângulo ABE, a medida do lado AE é 3, a do ângulo E é 75°, e a do
ângulo A é 45°. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado AB. Sabe-se que a distância AC é Ë2 e
que o segmento ED é perpendicular a AB. Nessas condições, é correto afirmar:
(01) A medida do ângulo B é igual a 60°.
(02) AD > ED
(04) EB = Ë6
(08 EC = Ë5
Soma (
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)
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33. (Fatec 2003) Em um paralelogramo ABCD, os lados åæ e åî medem, respectivamente,
xË2 cm e x cm, e š é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x
cm, então o ângulo š é tal que
a) cos š = (Ë14)/4
b) sen š = (Ë2)/4
c) cos š = (Ë3)/2
d) sen š = 1/2
e) tg š = Ë7
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34. (Uel 2003) Entre os povos indígenas do Brasil contemporâneo, encontram-se os
Yanomami. Estimados em cerca de 9.000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de
Roraima e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O espaço de floresta usado
por cada aldeia yanomami pode ser descrito esquematicamente como uma série de três
círculos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a área de uso imediato da
comunidade; o segundo, com raio de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária
familiar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições de caça e coleta coletivas, bem
como as roças antigas e novas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia localizada
no centro dos círculos, percorra 8 km em linha reta até um local de caça individual e a seguir
percorra mais 8 km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, chegando a um
local onde está localizada sua roça antiga, a distância do ponto de partida até este local é:
a) 8Ë3 km
b) (8Ë3)/3 km
c) 3Ë8 km
d) 8Ë2 km
e) 2Ë8 km
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35. (Fuvest 2004) Em uma semi-circunferência de centro C e raio R, inscreve-se um triângulo
equilátero ABC. Seja D o ponto onde a bissetriz do ângulo AðB intercepta a
semicircunferência. O comprimento da corda åî é:
a) RË(2 - Ë3)
b) RË[(Ë3) - (Ë2)]
c) RË[(Ë2) - 1]
d) RË[(Ë3) - 1]
e) RË(3-Ë2)
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36. (Unicamp 2004) O quadrilátero convexo ABCD, cujos lados medem, consecutivamente, 1,
3, 4 e 6 cm, está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.
a) Calcule o raio R da circunferência.
b) Calcule o volume do cone reto cuja base é o círculo de raio R e cuja altura mede 5 cm.
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37. (Uff 2004) A figura a seguir esquematiza uma situação obtida por meio de um sistema de
captação e tratamento de imagens, durante uma partida de vôlei.
Nos pontos M e N da figura estão localizados dois jogadores que estão olhando para a bola
com um ângulo de visada de 30°, em relação ao solo. Sabe-se que a distância dos olhos
(pontos P e Q) de cada jogador até o solo é igual a 2,0 m (PM = QN = 2,0 m), que a distância
entre os jogadores é igual a 1,5 m (MN = 1,5 m) e que cos ‘ = (Ë3)/4.
A distância (h) da bola (representada pelo ponto R) até o chão (h = RT) é:
a) 2,5 m
b) 3,0 m
c) 3,7 m
d) 4,5 m
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e) 5,2 m
38. (Ufrs 2004) Na figura abaixo, os ângulos u e v medem, respectivamente, ™/4 e 2™/3, OP =
Ë2 e OQ = Ë3.
Então, (PQ)£ é
a) 2 + Ë3.
b) 3 + Ë2.
c) 2 + Ë2.
d) 3 + Ë3.
e) (Ë2) + Ë3.
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39. (Fgv 2005)
O angulo ‘, indicado na figura B, é igual a
a) arc cos (-1/5).
b) arc cos (1/5).
c) arc cos (-24/25).
d) arc sen (24/25).
e) arc sen 1.
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40. (Fuvest 2006) Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6.
O valor de CD é
a) 17/12
b) 19/12
c) 23/12
d) 25/12
e) 29/12
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41. (Unesp 2006) Dois terrenos, T e T‚, têm frentes para a rua R e fundos para a rua S, como
mostra a figura. O lado BC do terreno T• mede 30 m e é paralelo ao lado DE do terreno T‚. A
frente AC do terreno T• mede 50 m e o fundo BD do terreno T‚ mede 35 m. Ao lado do terreno
T‚ há um outro terreno, Tƒ, com frente para a rua Z, na forma de um setor circular de centro E e
raio ED.
Determine:
a) as medidas do fundo AB do terreno T e da frente CE do terreno T‚.
b) a medida do lado DE do terreno T‚ e o perímetro do terreno Tƒ.
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42. (Fuvest 2004) Um triângulo ABC tem lados de comprimentos AB = 5, BC = 4 e AC = 2.
Sejam M e N os pontos de AB tais que CM é a bissetriz relativa ao ângulo ACB e CN é a altura
relativa ao lado AB.
Determinar o comprimento de MN.
43. (Unicamp 92) Na figura adiante, åæ=åè=Ø é o lado do decágono regular inscrito em uma
circunferência de raio 1 e centro O.
a) Calcule o valor de Ø.
b) Mostre que cos 36° = (1+Ë5)/4.
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44. (Ufrj 2000) Sejam O = (0, 0), P = (5, 2) e P' = (2, 5).
Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário), o segmento OP de um certo
ângulo š, o ponto P transforma-se no ponto P'.
Determine cosš.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
(Puccamp 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda
percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma
condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios.
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45. Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as
medidas indicadas estão em centímetros.
O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual a
a) 148
b) 152
c) 155
d) 160
e) 172
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GABARITO
1. a) 375Ë3 cm¤
b) 50Ë3 cm£
2. a) B(-1; 2), C(-Ë5; 0), D(-1; -2), E(1; -2) e F(Ë5; 0)
S = 4[(Ë5) + 1] u.a.
b) cos (AÔB) = 0,6
3. AB = Ë(1,49 - 1,4 . cos 36°) m
4. a) A = 30°, B = 60° e C = 90°
b) A = 30°, B = 60° e C = 90°
5. [B]
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6. [E]
7. [C]
8. [B]
9. ‘ = 30°
10. [B]
11. 36°, 72°, 108° e 144°
12. [E]
13. [B]
14. a) O cosseno do ângulo BAD é Ë6/3.
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b) O cosseno do ângulo BMD é 7/9.
c) O ângulo BMD é maior do que o ângulo BAD.
15. [C]
16. a) r = Ë(3/2)
b) A = 3 - Ë3
17. [C]
18. [B]
19. a) R = Ë[(5 + 2 Ë2)/2] km
b) S = Ë2/2 km£
20. [C]
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21. AÊD = 45°, área = 3Ë(3)/2 cm£
22. [B]
23. a) 3, 5, 7
b) 120°
c) No Triângulo
Pela lei dos senos, tem-se:
(sen ’)/5 = (sen ‘)/3 = (sen 120°)/7
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(sen£ ’ - sen£ ‘)/(25 - 9) = 3/196
sen£ ’ - sen£ ‘ < 1/4
24. d = Ë7 m
25. [A]
26. [B]
27. a) 150°
b) Ë38
28. [C]
29. Seja h a altura relativa ao lado c e sejam x e y as projeções de a e b sobre c,
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respectivamente. Então: y = b cosš e x=c-bcosš.
Pelo Teorema de Pitágoras:
b£ = b£ cos£ š + h£
a£ = (c - bcosš)£ + h£ = c£-2bccosš+b£cos£š+h£
Logo: a£ = b£ + c£ - 2bc cosš.
30. 295 km
31. (Ë6)/3
32. 01 + 04 + 08 = 13
33. [E]
34. [A]
35. [A]
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36. a) R = 3(Ë66)/8 cm
b) 495™/32 cm¤
37. [B]
38. [A]
39. [A]
40. [E]
41. a) AB = 70 m; CE = 25 m
b) DE = 45 m e 2P = 15 . (6 + ™) m
42. MN = 11/30 unidades de comprimento
43. a) Ø = (Ë5-1)/2
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b) Pela lei dos cossenos temos:
Ø£ = 1£ + 1£ - 2.1.1. cos 36°Ì cos 36° = (1+Ë5)/4
44. cosš = 20/29
45. [C]
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