Prova I - Modelagem e Simulação - 09/11/2006
nome:
1)[2.5] Escreva um programa na linguagem que preferir para montar a matriz B do Método Combinado de Mínimos
Quadrados para o seguinte modelo matemático:
X(t ) = A cos(2ωt )e − ξωt
Obs: o programa deve fazer apenas o solicitado. O programa que realizar outras operações além das solicitadas será
considerado errado.
2) [2.5] Escreva uma Função de Utilidade do Dinheiro que represente um perfil de aversão ao risco para o domínio
[− ∞, ∞] .
3) [2.5] Determine para quais valores de X e Y a alternativa 1 é a decisão a ser tomada segundo o critério de Bayes.
Estado
Alternativa
Alternativa 1
Alternativa 2
Probabilidade à Prior
Payoff
Estado 1
X
90
0.2
Estado 2
-70
Y
0.8
4) [2.5] Uma companhia produz certo componente eletrônico. A partir de dados históricos estimou-se que a
probabilidade dos componentes apresentarem defeito é de 20%. No entanto, está probabilidade pode variar
consideravelmente se a corrente elétrica apresentar pequenas irregularidades. Devido a esta característica, pode-se
utilizar este componente para detectar o estado da corrente elétrica. A probabilidade da corrente elétrica ser
classificada como regular num dado instante é 40% dado que o componente é defeituoso e a probabilidade da
corrente elétrica ser classificada como irregular num dado instante dado que o componente não é defeituoso é 10%.
O lucro obtido na venda de um componente é R$10,00, porém se o componente for defeituoso ocorre um prejuízo de
R$30,00. Determine se é viável produzir este componente considerando todas as informações disponíveis utilizando
o critério de Bayes.
P(A = a i B = b j ) =
(
)
P B = b j A = a i .P(A = a i )
∑ P(B = b
n
k =1
j
A = a k ).P(A = a k )
(
) P(AP=(Ba =, Bb =) b )
P A = ai B = b j =
i
j
j
dz dz dy x ′
=
, e = ex
dx dy dx
( )
Boa Prova
Fernando Nogueira
1
Prova I - Modelagem e Simulação - 09/11/2006
Solução
1)[2.0] código Matlab
B=zeros(n,2*n);
for i=1:n
B(i,2*i-1)=1;
B(i,2*i)=2*A*sin(2*w*t(i))*w*exp(-Q*w*t(i))+A*cos(2*w*t(i))*Q*w*exp(-Q*w*t(i));
end
2)[2.0] y(x ) = x é a função cujo perfil é indiferente ao risco. Assim, qualquer função cujo y(x ) < x, ∀x representa
um perfil de aversão ao risco. Um exemplo simples é: y(x ) = x − 1 .
3)[2.0]
Estado
Payoff
Alternativa
Estado 1
X
90
0.2
Alternativa 1
Alternativa 2
Probabilidade à Prior
Estado 2
-70
Y
0.8
0.2 * X − 0.8 * 70 = 0.2 * 90 + 0.8 * Y
0.2 * X − 56 = 18 + 0.8 * Y
Y = 0.25X − 92.5
40
20
0
Y
-20
decisão = alternativa 2
-40
-60
-80
decisão = alternativa 1
-100
-120
-100
Fernando Nogueira
0
100
200
X
300
400
500
2
Prova I - Modelagem e Simulação - 09/11/2006
Através do gráfico pode-se perceber que qualquer par [X,Y] abaixo da reta resulta na alternativa 1 como a
| Y < 0.25X − 92.5 representa todos os pares que a alternativa 1 é a
decisão a ser tomada. Assim, X, Y
decisão a ser tomada.
[
]
4)[2.0]
Estado
Alternativa
Produzir
Não Produzir
Probabilidade à Prior
Apresentar
defeito
-30
0
0.2
Payoff
Não apresentar defeito
10
0
0.8
E[Payoff]
2
0
Máximo
D=apresentar defeito
ND=não apresentar defeito
R=estado regular da corrente elétrica
I=estado irregular da corrente elátrica
a Priori
Condicionais
Conjunta
a Posteriori
P(D) = 0.2
P(R/D) = 0.4
P(I/D) = 0.6
P(R E D) = 0.08
P(I E D) = 0.12
P(D/R) = 0.08/(0.08+0.72) = 0.1
P(D/I) = 0.12/(0.12+0.08) = 0.6
P(ND) = 0.8
P(R/ND) = 0.9
P(I/ND) = 0.1
P(R E ND) = 0.72
P(I E ND) = 0.08
P(ND/R) = 0.72/(0.08+0.72) = 0.9
P(ND/I) = 0.08/(0.12+0.08) = 0.4
P(R) = 0.08+0.72=0.80
P(I) = 0.12+0.08=0.20
Se o estado da corrente for Regular
Estado
Alternativa
Produzir
Não Produzir
Probabilidade à Prior
Apresentar
defeito
-30
0
0.1
Payoff
Não apresentar defeito
10
0
0.9
E[Payoff]
6
0
Máximo
Se o estado da corrente for Irregular
Estado
Alternativa
Produzir
Não Produzir
Probabilidade à Prior
Apresentar
defeito
-30
0
0.6
Payoff
Não apresentar defeito
10
0
0.4
E[Payoff]
-14
0
Máximo
Solução
Se o estado da corrente for Regular, produzir componente.
Se o estado da corrente for Irregular, não produzir componente.
Fernando Nogueira
3