5 www Considere um meio elástico linear em que o campo de deslocamento é dado por
u1 = " fsin [ (X3
u2 = u3 = 0;
ct)] +
sin [ (X3 + ct)]g
(a) Caracterize o movimento das partículas do meio.
(b) Determine em que condições são satisfeitas as equações do movimento, na ausência de forças
de corpo.
(c) Suponha que existe uma fronteira em X3 = 0 que é livre de tensão. Sob que condições o
movimento satisfaz esta condição fronteira para todo o instante?
(d) Suponha que também existe uma fronteira em X3 = l que também é livre de tensão. Que
condições adicionais terão de ser impostas a este movimento de maneira a que esta condição
fronteira seja satisfeita em qualquer instante?
Solução: a) Este campo de deslocamento resulta da sobreposição de duas ondas planas, transversais (a direcção de vibração (u1 ) é perpendicular à direcção de propagação (X3 )), progressivas
(porque não são estacionárias ou seja têm um termo de propagação ct) que se propagam com
direcção de propagação segundo e3 .
b) A eq. do movimento de Cauchy no caso de deslocamentos in…nitesimais escreve-se:
@Tij
0 Bi + @Xj
8 @2u
@T11
@T12
@T13
1
>
< 0 @t2 = @X1 + @X2 + @X3
@ 2 u2
@T21
@T22
@T23
Temos então no caso de forças de corpo nulas:
0 @t2 = @X1 + @X2 + @X3
>
: @ 2 u3
@T31
@T32
@T33
0 @t2 = @X1 + @X2 + @X3
8 @2u
@T11
@T12
@T13
1
>
< 0 @t2 = @X1 + @X2 + @X3
22
23
21
Uma vez que u2 = 0 e u3 = 0 …camos com
+ @T
+ @T
0 = @T
@X1
@X2
@X3
>
:
31
32
33
0 = @T
+ @T
+ @T
@X1
@X2
@X3
Vamos agora utilizar a lei de Hooke: Tij = Ekk ij + 2 Eij
|{z}
@ 2 ui
0 @t2
=
e
Vamos começar por Ekk :
@u1
@u1
E11 = 12 @X
+ @X
=0
1
1
E22 =
E33 =
Tij =
@u2
@X2
@u3
@X3
(0)
=0
=0
ij
+ 2 Eij = 2 Eij
T11 = 0
T12 = 0 T13 = 2 E13 = 2
T21 = 0
T31 = 2 E31 = 2
T11 = 0
1
2
@u3
@X1
+
T12 = 0 T13 =
@u1
@X3
1
2
T22 = 0
T23 = 0
T32 = 0
T33 = 0
@u1
@X3
+
@u3
@X1
@u1
@X3
T21 = 0
T22 = 0
T23 = 0
@u1
T31 = @X3 T32 = 0
T33 = 0
@u1
@
= " @X3 fsin [ (X3 ct)] + sin [ (X3 + ct)]g = " fcos [ (X3 ct)] +
@X3
@u1
@
= " @t
fsin [ (X3 ct)] + sin [ (X3 + ct)]g = " c f cos [ (X3 ct)] +
@t
@ 2 u1
@
= " c @t
f cos [ (X3 ct)] + cos [ (X3 + ct)]g = " 2 c2 f sin [ (X3
@t2
8
@u1
@ 2 u1
> 0 @ 2 u21 = @T13 = @
=
>
@t
@X3
@X3
@X3
<
@X32
…camos com
>
>
:
0=0
0=
@T31
@X1
=0
1/2
cos [ (X3 + ct)]g
cos [ (X3 + ct)]g
ct)]
sin [ (X3 + ct)]g
@
(" fcos [ (X3
" 2 c2 f sin [ (X3 ct)]
sin [ (X3 + ct)]g = @X
3
2 2
2
c f sin [ (X3 ct)]
sin [ (X3 + ct)]g = " f sin [ (X3
0 "
2
ct)]
sin [ (X3 + ct)]g) = (f sin [ (X3 ct)]
0 (c f sin [ (X3
2
0 c =q
c=+
(o sinal é positivo por convenção)
0
ct)] + cos [ (X3 + ct)]g)
ct)]
sin [ (X3 + ct)]g
sin [ (X3 + ct)]g)
0
c) tn = (0; 0; 0)
ne3 = (0; 0; 1)
2 3 2 3
T13
0
6
7
6
7
Tbn = 4T23 5 = 405
T33
0
@u1
T13 = T31 = @X3 = " fcos [ (X3
T23 = T32 = 0
T33 = 02 3 2 3
T13
0
6 7 6 7
Como 4T23 5 = 405
ct)] +
cos [ (X3 + ct)]g
T33
0
Retiramos que: T13 = " fcos [ (X3 ct)] + cos [ (X3 + ct)]g = 0
Ora isto signi…ca que cos [ (X3 ct)] + cos [ (X3 + ct)] = 0
cos [ (X3 ct)] =
cos [ (X3 + ct)]
Para X3 = 0 …camos com cos ( ct) =
cos ( ct)
Mas como cos ( ) = cos ( )
Ficamos com = 1.
d) cos [ (X3 ct)] =
cos [ (X3 + ct)]
Para X3 = l …camos com cos [ (l ct)] =
cos [ (l + ct)]
Já sabemos que = 1
Ficamos com cos ( l
ct) = cos ( l + ct)
Queremos eliminar a dependência do tempo, para isso usamos cos [ (l + ct)] = cos [
(l + ct)]
Ficamos com cos ( l
ct) = cos ( l
ct)
l
ct =
l
ct + 2k
2 l = 2k
= kl ; k = 1; 2; 3; ::: (Nota: 0 não pode ser pois nesse caso = 0 e não haveria deslocamento!)
2/2