Instruções:
• Indique claramente as respostas dos itens
de cada questão, fornecendo as unidades,
caso existam.
• Apresente de forma clara e ordenada os
passos utilizados na resolução das questões.
Expressões incompreensíveis, bem como respostas não fundamentadas, não serão aceitas.
• Ao apresentar a resolução das questões,
evite textos longos e dê preferência às fórmulas e expressões matemáticas.
• Não use aproximações para os valores de π
ou e.
• Toda a resolução das questões deve ser a
caneta, não apenas as respostas numéricas.
Questão 1
“Pão por quilo divide opiniões em Campinas”
(Correio Popular, 21/10/2006).
Uma padaria de Campinas vendia pães por
unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho
de 50 g. Atualmente, a mesma padaria vende
o pão por peso, cobrando R$ 4,50 por quilograma do produto.
a) Qual foi a variação percentual do preço do
pãozinho provocada pela mudança de critério
para o cálculo do preço?
b) Um consumidor comprou 14 pãezinhos de
50 g, pagando por peso, ao preço atual. Sabendo que os pãezinhos realmente tinham o
peso previsto, calcule quantos reais o cliente
gastou nessa compra.
Resposta
a) O preço de 50 g de cada pãozinho, atualmente,
50 ⋅ 4,5
= 0,225 real.
1 000
0,225 − 0,2
Assim a variação percentual é
=
0,2
= 12,5%.
b) Como o preço de cada pãozinho de 50 g, atualmente, é 0,225 real, ao comprar 14 pães com essa
massa o consumidor paga14 ⋅ 0,225 = 3,15 reais.
é dado por
Questão 2
A figura abaixo mostra um fragmento de
mapa, em que se vê o trecho reto da estrada
que liga as cidades de Paraguaçu e Piripiri.
Os números apresentados no mapa representam as distâncias, em quilômetros, entre
cada cidade e o ponto de início da estrada
(que não aparece na figura). Os traços perpendiculares à estrada estão uniformemente
espaçados de 1 cm.
a) Para representar a escala de um mapa,
usamos a notação 1 : X, onde X é a distância
real correspondente à distância de 1 unidade
do mapa. Usando essa notação, indique a escala do mapa dado acima.
b) Repare que há um posto exatamente sobre
um traço perpendicular à estrada. Em que
quilômetro (medido a partir do ponto de início da estrada) encontra-se tal posto?
c) Imagine que você tenha que reproduzir o
mapa dado usando a escala 1 : 500000. Se
você fizer a figura em uma folha de papel,
qual será a distância, em centímetros, entre
as cidades de Paraguaçu e Piripiri?
Resposta
a) A distância entre Paraguaçu e Piripiri é
47 − 13 = 34 km. Entre essas duas cidades há 8
espaços de 1 cm cada. Logo 1 cm no mapa corres34
ponde à distância de
= 4,25 km = 425 000 cm,
8
ou seja, a escala do mapa apresentado é
1 : 425 000.
b) Medindo a partir do ponto de início da estrada, o posto se encontra no quilômetro
13 + 5 ⋅ 4,25 = 34,25 .
c) A distância entre essas duas cidades é 34 km =
= 3 400 000 cm. Usando a escala 1 : 500 000, a
3 400 000
distância entre elas na folha será
=
500 000
= 6,8 cm.
matemática 2
Questão 3
Por norma, uma folha de papel A4 deve ter
210mm × 297mm. Considere que uma folha
A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente
dobrada ao meio, de forma que a dobra é
sempre perpendicular à maior dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão geométrica que representa a espessura do papel dobrado em função do número k
de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o papel seis vezes, quais
serão as dimensões do paralelepípedo?
Resposta
a) Cada dobra faz com que a espessura do papel
seja multiplicada por 2. Assim, após k dobras, o
papel dobrado tem sua espessura multiplicada
por 2 k , ou seja, é 0,1 ⋅ 2 k mm.
b) A maior dimensão da folha de papel é dividida
por 2 a cada dobra. Assim, as dimensões do papel dobrado são:
Dobra
Dimensões
1
210 × 148,5 mm
2
105 × 148,5 mm
3
105 × 74,25 mm
4
52,5 × 74,25 mm
5
52,5 × 37,125 mm
6
26,25 × 37,125 mm
Assim, as dimensões do paralelepípedo são
26,25 mm, 37,125 mm e 0,1 ⋅ 2 6 = 6,4 mm.
Questão 4
Um pluviômetro é um aparelho utilizado
para medir a quantidade de chuva precipitada em determinada região. A figura de
um pluviômetro padrão é exibida a seguir.
Nesse pluviômetro, o diâmetro da abertura
circular existente no topo é de 20 cm. A água
que cai sobre a parte superior do aparelho é
recolhida em um tubo cilíndrico interno.
Esse tubo cilíndrico tem
60 cm de altura e sua base
tem 1/10 da área da abertura superior do pluviômetro.
(Obs.: a figura ao lado não
está em escala).
a) Calcule o volume do tubo
cilíndrico interno.
b) Supondo que, durante
uma chuva, o nível da
água no cilindro interno
subiu 2 cm, calcule o volume de água precipitado por
essa chuva sobre um terreno retangular com 500 m de comprimento
por 300 m de largura.
Resposta
a) A área da base do tubo cilíndrico interno é
2
1 ⎛⎜
⎛ 20 ⎞ ⎞⎟
2
⋅ ⎜π ⋅ ⎜
⎟ ⎟ = 10 π cm . Portanto o seu vo⎝ 2 ⎠ ⎠
10 ⎝
lume é10 π ⋅ 60 = 600 π cm 3 .
b) Para uma altura de 2 cm, o volume de água
dentro
do
tubo
cilíndrico
interno
é
10 π ⋅ 2 = 20 π cm 3 . O volume captado por este
pluviômetro é referente à área da abertura circular
2
⎛ 20 ⎞
2
do seu topo, que é π ⋅ ⎜
⎟ = 100 π cm .
⎝ 2 ⎠
A área do terreno é 500 ⋅ 300 = 15 ⋅ 104 m 2 =
= 15 ⋅ 108 cm 2 . Admitindo-se que todo o terreno
recebeu chuva na mesma proporção, o volume de
água precipitado por essa chuva no terreno é
15 ⋅ 108 ⋅ 20 π
= 3 ⋅ 108 cm 3 = 3 ⋅ 10 2 m 3 .
100 π
Questão 5
Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma
pesquisa de opinião revelou que, a cada real
de aumento no preço do quilo, o restaurante
deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo
corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor
total pago pelos clientes.
a) Em que caso a receita do restaurante será
maior: se o preço subir para R$ 18,00 / kg ou
para R$ 20,00 / kg?
matemática 3
b) Formule matematicamente a função f(x),
que fornece a receita do restaurante como
função da quantia x, em reais, a ser acrescida
ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.
c) Qual deve ser o preço do quilo da comida
para que o restaurante tenha a maior receita
possível?
Resposta
a) Se o preço subir para R$ 18,00/kg, haverá um
aumento de R$ 3,00 no preço, o que acarretará
uma queda de 3 ⋅ 5 = 15 kg na venda diária de
comida e, conseqüentemente, a receita será
18 ⋅ (100 − 15) = 1 530 reais.
Analogamente, caso o preço aumente para
R$ 20,00/kg, a receita será 20 ⋅ (100 − 5 ⋅ 5) =
= 1 500 reais.
Logo a receita será maior se o preço subir para
R$ 18,00/kg.
b) Se o preço do quilograma da comida subir x
reais, o novo preço será, em reais, 15 + x . Além
disso, tal aumento acarretará uma queda de 5x kg
na venda diária de comida. Assim, temos
f(x) = (15 + x) ⋅ (100 − 5x) e, além disso,
x ≥0
x ∈ D(f) ⇔ x + 15 ≥ 0
⇔ 0 ≤ x ≤ 20, ou seja,
100 − 5x ≥ 0
D(f) = [0; 20].
Logo a função pedida é f: [0; 20] → R, definida por
f(x) = (15 + x) ⋅ (100 − 5x) = −5(x + 15) ⋅ (x − 20),
com x e f(x) em reais.
c) Note que o gráfico da função f(x) é uma parábola com concavidade voltada para baixo.
Logo seu valor máximo é obtido para
20 + ( −15)
x =
= 2,5 , isto é, o preço do quilogra2
ma da comida a15 + 2,5 = 17,50 reais.
Questão 6
Dois prêmios iguais serão sorteados entre dez
pessoas, sendo sete mulheres e três homens.
Admitindo que uma pessoa não possa ganhar
os dois prêmios, responda às perguntas abaixo.
a) De quantas maneiras diferentes os prêmios
podem ser distribuídos entre as dez pessoas?
b) Qual é a probabilidade de que dois homens
sejam premiados?
c) Qual é a probabilidade de que ao menos
uma mulher receba um prêmio?
Resposta
a) Como os prêmios são iguais, deve ser escolhido um subconjunto de duas dentre as dez pessoas. Logo o número de maneiras de distribuí-los
⎛10 ⎞ 10 ⋅ 9
é⎜ ⎟ =
= 45 .
⎝2 ⎠
2
⎛3 ⎞
b) Há ⎜ ⎟ = 3 subconjuntos de dois homens.
⎝2 ⎠
Logo, como existem 45 maneiras de distribuir-se
3
1
os prêmios, a probabilidade pedida é
.
=
45
15
c) Ao menos uma mulher recebe um prêmio se, e
somente se, os dois premiados não são ambos
homens. Ou seja, o evento do qual foi pedida a
probabilidade é o evento complementar do evento
do item b.
1
14
.
Portanto a probabilidade é1 −
=
15
15
Questão 7
Na execução da cobertura de uma casa, optou-se pela construção de uma estrutura,
composta por barras de madeira, com o formato indicado na figura abaixo.
Resolva as questões abaixo supondo que
α = 15o. Despreze a espessura das barras
de madeira e não use aproximações nos seus
cálculos.
a) Calcule os comprimentos b e c em função
de a, que corresponde ao comprimento da
barra da base da estrutura.
b) Assumindo, agora, que a = 10m, determine
o comprimento total da madeira necessária
para construir a estrutura.
Resposta
a) Observe a figura:
matemática 4
Note que os triângulos ABC, DBM e D’MC são isósceles; logo AB = AC = b, DB = DM , D’ M = D’C
$
e, como m (DEB)
= 90o , E é o ponto médio de
BM.
Além disso, ΔABM ~ ΔDBE (caso AA). Assim
$
m (BMA)
= 90o e, portanto, M é ponto médio de
BC. Dessa forma, ΔBDM ≅ ΔMD’C (caso LAL).
BM
BA
Então DE = c e, por semelhança,
=
⇔
BE
BD
b
AM
e2 =
⇔ BD =
⇔ AM = 2c .
2
DE
2
Sendo sen 15 o = sen(45 o − 30o ) =
⋅
2
3
1
2
6 − 2
e observando que,
⋅
−
⋅
=
2
2
2
4
o
o
$
para α = 15 , m (BAC)
= 180 − 2 ⋅15 o = 150o , tea
b
mos, pela lei dos senos,
=
⇔
sen 150o
sen 15 o
⇔
a
=
1
2
b
6 − 2
4
⇔b =
Usando esse método, encontre uma solução
aproximada para o sistema dado acima. Lembre-se de que as linhas de M T (a transposta
de uma matriz M) são iguais às colunas de M.
Resposta
a) Chamando de r, s e t as retas representadas
pelas equações −x1 + 2x 2 = 2 , 2x1 − x 2 = 2 e
x1 + x 2 = 2 , respectivamente, temos:
a( 6 − 2 )
.
2
Além disso, no ΔBDE, sen 15 o =
c
⇔
b
2
a(2 − 3 )
.
4
b) O comprimento total da madeira é 2AB + BC +
b
+ AM + 2DM + 2DE = 2b + a + 2c + 2
+ 2c =
2
⇔c =
3a( 6 − 2 )
4a(2 − 3 )
+
=
2
4
⎛6 + 3 6 − 3 2 − 2 3 ⎞
⎟ =
= 10 ⎜
2
⎠
⎝
= a + 3b + 4c = a +
Como não existe um ponto comum às 3 retas, o
sistema não tem solução.
⎡ −1 2 ⎤
b) Para o sistema dado, temos A = ⎢ 2 −1⎥ ,
⎢
⎥
⎣⎢ 1 1 ⎦⎥
⎡2 ⎤
⎡ x1 ⎤
x = ⎢ ⎥ e b = ⎢2 ⎥. Portanto AT ⋅ Ax = AT ⋅ b ⇔
⎢ ⎥
⎣x 2 ⎦
⎢⎣2 ⎥⎦
= 5(6 + 3 6 − 3 2 − 2 3 ) m.
⎡ −1 2 ⎤
⎡ x1 ⎤
⎡ −1 2 1⎤ ⎢
⇔⎢
⋅ 2 −1⎥ ⋅ ⎢ ⎥ =
⎥
⎢
⎥
−
2
1
1
⎣
⎦
⎣x 2 ⎦
⎢⎣ 1 1 ⎥⎦
Questão 8
⎡2 ⎤
⎡ −1 2 1⎤ ⎢ ⎥
⎡6
=⎢
⎥ ⋅ ⎢2 ⎥ ⇔ ⎢ −3
2
1
1
−
⎣
⎦
⎣
⎢⎣2 ⎥⎦
Seja dado o sistema linear:
⎧− x1 + 2 x2 = 2
⎪
⎨2 x1 − x2 = 2
⎪x + x = 2
2
⎩ 1
a) Mostre graficamente que esse sistema não
tem solução. Justifique.
b) Para determinar uma solução aproximada
de um sistema linear Ax = b impossível, utiliza-se o método dos quadrados mínimos, que
consiste em resolver o sistema A TAx = A Tb.
⇔
⇔
6x1 − 3x 2 = 4
−3x1 + 6x 2 = 4
3x 2 = 6x1 − 4
9x1 = 12
⇔
⇔
−3 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡4 ⎤
⋅
=
⇔
6 ⎥⎦ ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣4 ⎥⎦
3x 2 = 6x1 − 4
−3x1 + 2(6x1 − 4) = 4
⇔
4
3
.
4
=
3
x1 =
x2
Uma solução aproximada para o sistema dado é
⎛4 4⎞
⎜ ; ⎟.
⎝3 3 ⎠
matemática 5
Questão 9
Em um triângulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculo de raio r. Sabe-se que o
$ tem 90o e que o círculo inscrito tanângulo A
gencia o lado BC no ponto P, dividindo esse
lado em dois trechos com comprimentos
PB = 10 e PC = 3.
a) Determine r.
b) Determine AB e AC.
c) Determine a área da região que é, ao mesmo
tempo, interna ao triângulo e externa ao círculo.
Resposta
a) Se a concentração de estrôncio 90 cai pela
metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do
estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor
da constante b.
b) Dada uma concentração inicial P0 , de estrôncio 90, determine o tempo necessário
para que a concentração seja reduzida a 20%
de P0 . Considere log2 10 ≈ 3,32.
Resposta
a) Se a meia-vida do estrôncio-90 é de 29 anos,
1
1
P(0) ⇔ P0 ⋅ 2 −b ⋅ 29 =
⋅ P0 ⇔
2
2
1
.
⇔ 2 −b ⋅ 29 = 2 −1 ⇔ b =
29
então P(29) =
b) P(t) = 0,2 ⋅ P0 ⇔ P0 ⋅ 2
−t
29
−t
29
= 0,2 ⋅ P0 ⇔
2
2
−t
⇔
= log 2
⇔
10
10
29
⇔ t = −29(log 2 2 − log 2 10) ⇔
⇔ t = 29(log 2 10 − 1).
Usando a aproximação log 2 10 ≈ 3,32, temos
t = 29 ⋅ (3,32 − 1) = 67,28 anos.
⇔2
Sejam Q e R, respectivamente, os pontos de intersecção da circunferência inscrita com os lados
AC e AB. Seja O o centro da circunferência inscrita.
Vamos provar que AROQ é um quadrado de lado r.
$ = 90o , m (ARO)
$
Inicialmente, como m (A)
= 90o ,
o
o
o
$
$
m (AQO) = 90 e m (ROQ) = 360 − (90 + 90o +
+ 90o ) = 90o , temos que AROQ é um retângulo.
Temos ainda que OR = OQ = r. Assim, AROQ é
um quadrado de lado r.
a) No triângulo retângulo ABC, AB = AR + RB =
= AR + PB = r + 10, AC = AQ + QC = AQ + PC =
= r + 3 e BC = 10 + 3 = 13.
Logo, por Pitágoras, (r + 10) 2 + (r + 3) 2 = 13 2 ⇔
⇔ r 2 + 13r − 30 = 0 ⇔ r = 2.
b) AB = r + 10 = 12 e AC = r + 3 = 5.
c) Como o círculo é interno ao triângulo, a área
AB ⋅ AC
pedida é área ABC − área
=
− πr 2 =
2
12 ⋅ 5
=
− π ⋅ 2 2 = 30 − 4 π.
2
Questão 10
O decaimento radioativo do estrôncio 90 é
descrito pela função P( t) = P0 ⋅ 2− bt , onde t é
um instante de tempo, medido em anos, b é
uma constante real e P0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração
no instante t = 0.
=
Questão 11
Seja dada a reta x − 3y + 6 = 0 no plano xy.
a) Se P é um ponto qualquer desse plano,
quantas retas do plano passam por P e formam
um ângulo de 45o com a reta dada acima?
b) Para o ponto P com coordenadas (2, 5), determine as equações das retas mencionadas
no item (a).
Resposta
1
x + 2 , ou
3
1
seja, o coeficiente angular da reta r é .
3
Considere ms o coeficiente angular das retas que
formam 45 o com r, assim:
1 − 3ms
1=
1
3 + ms
− ms
o
3
⇔
tg 45 =
⇔
ou
1
1 + ms
1
− 3ms
3
−1 =
3 + ms
−1
ms =
2
ou
⇔
ms = 2
a) Seja r : x − 3y + 6 = 0 ⇔ y =
matemática 6
Logo sendo P um ponto qualquer do plano, existem sempre duas retas que passam por P e formam 45 o com a reta r.
b) As equações possíveis para P = (2; 5) são:
−1
−1
y −5 =
(x − 2)
y =
x +6
2
2
ou
⇔
ou
y = 2x + 1
y − 5 = 2(x − 2)
Questão 12
Seja ABCDA1 B1C1 D1 um cubo com aresta de
comprimento 6 cm e sejam M o ponto médio
de BC e O o centro da face CDD1C1 , conforme mostrado na figura a seguir.
a) Se a reta AM intercepta a reta CD no ponto P e a reta PO intercepta CC1 e DD1 em K e
L, respectivamente, calcule os comprimentos
dos segmentos CK e DL.
b) Calcule o volume do sólido com vértices A,
D, L, K, C e M.
Resposta
a) Considere primeiro o plano que contém A, B,
C, D, M e P:
Como CM e AD são paralelos, pelo caso AA, os
triângulos ADP e MCP são semelhantes, de modo
DP
AD
DP
6
que:
=
⇔
=
⇔
CP
MC
DP − 6
3
⇔ DP = 12 cm.
Agora, considere o plano que contém C, D, C1 , D1 ,
O, P, L e K:
Novamente pelo caso AA, os triângulos PM1 O,
PCK e PDL são semelhantes. Sendo OM1 =
CD 6
= CM1 =
=
= 3 cm e, portanto, PM1 = 9 cm,
2
2
MO
DL
CK
3
DL
CK
1
=
= 1 =
⇔
=
=
⇔
PD
PC
PM1
9
12
6
3
⇔ DL = 4 cm e CK = 2 cm.
b) O sólido de vértices A, D, L, K, C e M é um
tronco de pirâmide de bases ADL e MCK, e seu
volume é igual à diferença entre os volumes das
pirâmides PADL, de base ADL e altura PD, e
PMCK, de base MCK e altura PC.
Assim, o volume pedido é:
1 AD ⋅ DL
1 MC ⋅ CK
⋅
⋅ PD −
⋅
⋅ PC =
3
2
3
2
1 6 ⋅4
1 3 ⋅2
=
⋅
⋅ 12 −
⋅
⋅ 6 = 42 cm 3 .
3
2
3
2