EXERCÍCIOS DE REVISÃO – MATEMÁTICA
3a SÉRIE – ENSINO MÉDIO
ASSUNTO : POLINÔMIOS
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1) Calcule o valor numérico de cada polinômio dado a seguir:
a) A(x) = -2x3 – x2 + 3x – 7, para x = -1.
b) B(x) = 2x4 - 2x2 + 5x – 1, para x = 2.
c) C(x) = -x7 + 2x6 + x5 – 3x4 + 5x3 – 2x2 + x + 4, para x = -2.
d) D(y) = -2y4 -2y3 – 2y2 – 2y – 2, para y = 1.
e) E(z) = 6z2 + 2z – 4, para z = - .
2) Determine o polinômio P(x) do 2o grau, sabendo que P(7) = 0, P(-1) = 17 e P(0) = 7. Calcule então o
valor da expressão y = 2P(-3) + P(5).
3) Determine o polinômio A(x) do 3o grau, sabendo que A(0) = A( 1) = - 4, A(2) = -2 e A(-1) = - 8.
Calcule então o valor de A(5).
4) Sabe-se que o polinômio B(x) do 2o grau é tal que B(0) = 5, B(1) = 7 e B(-2) = 19. Calcule ao
valores de x para os quais B(x) = 9.
5) No polinômio C(x) = 2x3 + ax2 + bx + 6, tem-se C(2) = 44, C(1) = 15 e C(0) = 6. Resolva a equação
C(x) = 0.
6) Sabendo que P(x) = -k2x3 + (2k + 3)x2 – (3k2 – 1)x + k + 5, em que P(1) = -18. Determine os valores
do real k.
7) (MACK – SP) – Determine m∈R para que o polinômio P(x) = (m – 4)x3 + (m2 – 16)x2 + (m + 4)x
+ 4 seja de grau 2.
8) Para que valores de a∈R o polinômio P(x) = (a2 – 9)x2 + (a + 3)x + 5 é do 1o grau?
9) Discuta , para m∈R, o grau dos polinômios
a) P(x) = (m – 4)x3 + ( m + 2)x2 + x + 1.
b) Q(x) = (m2 – 4)x2 + (m – 2)x + m
10) Se A(x) é um polinômio de 3o grau, B(x) é do 1o grau e C(x) é do 2o grau, qual é o grau do
polinômio
a) S(x) = A(x) + B(x) + C(x)?
b) P(x) = A(x).B(x).C(x)?
c) Q(x) = A(x) : B(x)?
d) R(x) = A(x).B(x) : C(x)?
e) S(x) = A(x).B(x) + B(x).C(x)?
11) (PUC – SP) – Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha (m + n + p)x4 – (p + 1)x3 +
+ mx2 + (n – p)x + n = 2mx3 + (2p + 7)x2 + 5mx + 2m.
12) (FEI – SP) – Determine A, B e C na decomposição
1
.
13) (FAAP – SP) – Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio P1(x) = a(x + c)3 + b(x + d)
seja idêntico a P2(x) = x3 + 6x2 + 15x + 14.
14) Se os polinômios A(x) = 5x3 + (a + b)x2 – 10x + 8 e B(x) = (a2 + 4)x3 + 7x2 – (b + 2)x – 2c são
idênticos, calcule os reais a, b e c.
15) Resolva cada equação a seguir, sem usar a Fórmula de Báskara [sugestão: escreva cada equação
na forma de um quadrado perfeito do tipo (a + b)2 ou (a – b)2. Veja o exemplo]
a) 2x2 – 4x – 6 = 0 (exemplo)
Resolução:
1o) Divida a equação por 2 e passe o -6 para o outro lado: x2 – 2x = 3;
2o)Aproveitando que o primeiro termo já é um quadrado perfeito, temos (x – b)2 = x2- 2x + b2= 3 + b2
Sendo que 2.x.b = 2x ⇒ b = 1 e, então, (x – 1)2 = 3 + 12⇒ (x – 1)2 =4 ⇒ (x – 1) = ±√4 = ±2. Então,
x – 1 = 2 ou x – 1 = -2 ⇒ x = 3 ou x =-1 ⇒ S = {-1 , 3}.
b) -3x2 + x + 2 = 0
c) –x2 + 12x – 11 = 0
d) x2 + 2x – 15 = 0
e) 5x2 + 3x – 8 = 0
16) Determine o quociente e o resto de cada divisão indicada a seguir:
a) (2x3 - 4x2 – 4) : (x – 3)
b) ( -x4 – 3x2 + x – 1) : (x2 – 1)
c) ( 6x5 – 2x3 + 5) : (x3 – x + 2)
d) (2x4 - x3 + 3x2 – x + 2) : (x2 + x)
e) (3x3 – 4x2 – x + 8) : (2x – 3)
f) (-x6 + 2x – 5) : (3x3 – 2)
17) São dados os polinômios A(x) = 2x3 – 3x2 + x + 4, B(x) = x2 – x + 2 e R(x). Sabe-se que R(x) é o
resto da divisão de A(x) por B(x). Calcule x, tal que R(x) = 0.
18) Se R(x) = 3x4 + 2x2 – x + 2, S(x) = x3 – 1 e T(x), que é o resto da divisão de R(x) por S(x). Calcule
a soma dos valores de x tais que T(x) = 2.
19) São dados os polinômios C(x) = 2x5 – 3x4 + x3 + 4, D(x) = x2 – 2x e E(x). Sabe-se que E(x) é o
resto da divisão de C(x) por D(x). Calcule os valores de x para os quais se tem E(x) < 0.
20) Se L(x) = 3x5 + x4 – x3 + 2x, M(x) = x3 – 2x e N(x), que é o resto da divisão de L(x) por M(x).
Determine todos os valores de x para os quais se tem N(x) > 54.
21) Sendo A(x), B(x), Q(x) e R(x), respectivamente, o dividendo, o divisor, o quociente e o resto de
cada divisão descrita a seguir, determine, em cada caso, o polinômio desconhecido:
a) B(x) = 3x – 1, Q(x) = x2 – x + 3 e R(x) = 11. Determine A(x).
b) A(x) = x3 – 4x2 – x + 4, Q(x) = x – 1 e R(x) = 0. Determine B(x).
c) A(x) = 2x4 – 2x3 – 13x2 + 10x – 1, B(x) = 2x2 + 4x – 3. Determine R(x).
22) Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão de 2x3 + mx2 + nx – 1 por 2x2 – x – 1.
23) (CESGRANRIO – RJ) – Sabendo que o polinômio P(x) = x3 + 2x2 + mx + n é divisível por H(x)
= x2 + x + 1, calcule o valor de m + n.
24) (ITA – SP) – Sabendo que P(x) = x3 + px + q é divisível por H(x) = x2 + ax + b e por g(x) = x2 +
+ rx + s, demonstre que b = -r(a + r).
25) Sejam os polinômios P(x) = 3x3 – 2x2 – 12x + 8 e Q(x) = 2x3 – x2 – 8x + 4.
a) Sabendo que P(-2) = 0, escreva P(x) na forma fatorada.
b) Sabendo que Q(2) = 0, escreva Q(x) na forma fatorada.
c) Simplifique a expressão
.
26) Duas das raízes do polinômio A(x) = 2x4 + x3 - 5x2 – 6x são -1 e 2, e uma das raízes do polinômio
B(x) = x3 – 6x2 + 3x + 10 é 5. Simplifique a expressão
.
27) Sabendo-se que - é raiz dupla do polinômio P(x) = 4x4 + 8x3 – 3x2 – 7x – 2 ,
a) Resolva a equação 4x4 + 8x3 – 3x2 – 7x – 2 = 0.
b) Escreva P(x) na forma fatorada.