MA14 - Aritmética
Unidade 15
Resumo
Primos de Fermat e de Mersenne
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 8 - Seção 8.1
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
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Primos de Fermat
Os números de Fermat são os números da forma
n
Fn = 22 + 1.
Fermat achava que esses números eram todos primos.
De fato, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65 537 são primos.
Em 1732, Euler mostrou que
5
F5 = 22 + 1 = 4 294 967 297 = 641 · 6 700 417,
portanto, composto, desfazendo assim esta crença de Fermat.
Os números de Fermat primos são chamados de primos de Fermat.
Até hoje, não se sabe se existem outros primos de Fermat além dos
quatro primeiros.
No Exemplo 6.18(a), como consequência do Corolário 6.17 do livro
texto, observamos que
(Fn , Fm ) = 1,
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se n 6= m.
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Primos de Mersenne
Os números de Mersenne são os números da forma
Mp = 2p − 1,
onde p é um número primo.
No intervalo 2 ≤ p ≤ 5 000 os números de Mersenne que são
primos, chamados de primos de Mersenne, correspondem aos
seguintes valores de p:
2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1 279, 2 203,
2 281, 3 217, 4 253 e 4 423.
Até o presente momento, o maior primo de Mersenne conhecido é
M57 885 161 , descoberto em janeiro de 2013 e que possui no sistema
decimal 17 425 170 dı́gitos.
Anteriormente, em agosto de 2008, havia sido descoberto o primo
M43 112 609 , que tinha no sistema decimal 12 978 189 dı́gitos.
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Teorema de Dirichlet
Enunciaremos a seguir, sem demonstração, um resultado profundo
devido a Lejeune Dirichlet:
Teorema (Dirichlet)
Em uma PA de números naturais, com primeiro termo e razão
primos entre si, existem infinitos números primos.
A demonstração deste resultado é bem difı́cil e pertence à teoria
analı́tica dos números.
Nos limitamos no texto a demonstrar alguns casos particulares do
teorema. O primeiro caso particular é o seguinte:
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Proposição
Na progressão aritmética 3, 7, 11, 15, . . . , 4n + 3, . . . existem
infinitos números primos.
O que a proposição nos diz é que existem infinitos primos da forma
4n + 3.
A prova de que existem infinitos primos da forma 4n + 1 é um
pouco mais sutil.
Em outras seções provaremos outros casos particulares.
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Exercı́cio
Mostre que existem infinitos números primos da forma 6n + 5.
Solução
Note que todo número primo ı́mpar maior do que 3 é da forma
6n + 1 ou 6n + 5.
O conjunto Λ = {6n + 1; n ∈ N} é fechado multiplicativamente.
De fato,
(6n + 1)(6n0 + 1) = 6(6nn0 + n + n0 ) + 1.
Suponhamos, por absurdo, que haja apenas um número finito de
números primos 5 < p1 < · · · < pk da forma 6n + 5.
Portanto, o número a = 6(p1 · p2 · · · pk ) + 5 não é divisı́vel por
nenhum dos números primos 5, p1 , . . . , pk e, consequentemente,
sua decomposição em fatores primos só pode conter primos da
forma 6n + 1. Logo, a é da forma 6n + 1, o que é uma
contradição, pois é da forma 6n + 5.
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