Resolução das atividades complementares
Matemática
4
M13 — Progressões Geométricas
p. 27
1 Qual é o 4o termo da PG (53x 1 1, 52x 1 1, 55 2 x, ...)? 5
Resolução:
a4 5 a1q3
2x 1 1
q 5 53x 1 1 5 52x
5
a4 5 53x 1 1 ? (52x)3 5 5
2 Qual é a razão da PG (x, x 1 4, x 1 6, ...)? 1
2
Resolução:
x14
x16
q5
5
→ (x 1 4)2 5 x ? (x 1 6) → x 2 1 8x 1 16 5 x 2 1 6x → x 5 28
x
x14
28 1 4
q5
→ q5 1
28
2
3 Três números reais formam uma PG de soma 13 e produto 27. Determine esses números.
(1, 3, 9) ou (9, 3, 1)
Resolução:
S 5 13; P 5 27
Seja a PG x , x, xq .
q
P 5 27 5 x ? x ? xq 5 x 3 → x 5 3
q
Substituindo x, vem: 3 , 3, 3q .
q
10 100 2 36
S 5 13 5 3 1 3 1 3q → 3q2 2 10q 1 3 5 0 → q 5
→ q 5 3 ou q 5 1
q
6
3
Se q 5 3 → (11, 3, 9)
Se q 5 1 → (9, 3, 1)
3
4 As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado formam, nessa ordem, uma PG. Quanto
mede o lado desse quadrado? 16
Resolução:
PG (,, 4,, ,2)
4, 5 ,2 → , 5 16
,
4,
5 Uma indústria em expansão vai aumentar sua produção de televisores em 10% a.m. durante seis
meses. Se o número de aparelhos fabricados, antes de iniciar o processo, é 1 000, qual será o número de
televisores previstos ao final do processo de expansão? 1 772
Resolução:
a1 5 1 000 (antes de iniciar o processo de expansão)
(1 000, 1 100, 1 210, ..., a7)
q 5 1,1
a7 5 a1q6
a7 5 a1 ? (1,1)6 5 1 000 ? 1,772 5 1 772
Ao final do processo de expansão, o número de televisores previsto será 1 772.
6 O 3o termo de uma PG é 45 e o 6o é 1 215. Qual é o 5o termo? 405
Resolução:
a3 5 45; a6 5 1 215
a1q2 5 45 (I)
a1q5 5 1 215 (II)
(II)
Fazendo
, temos: q3 5 27 → q 5 3 e a1 5 5.
(I)
a5 5 5 ? 34 5 405
7 Em uma PA não constante, cujo 1o termo é igual a 3, o 2o, o 4o e o 8o termos formam, nessa ordem,
uma PG. Determine essa PG. (6, 12, 24)
Resolução:
a1 5 3
(a2, a4, a8) formam uma PG.
a2 5 3 1 r; a4 5 3 1 3r; a8 5 3 1 7r → PG (3 1 r, 3 1 3r, 3 1 7r)
(3 1 3r)2 5 (3 1 r) ? (3 1 7r) → 9 1 18r 1 9r2 5 9 1 24r 1 7r2 →
→ 2r2 2 6r 5 0 → r 5 0 (não convém) ou r 5 3
a2 5 3 1 3 5 6; a4 5 3 1 9 5 12; a8 5 3 1 21 5 24
PG (6, 12, 24)
8 Dada a PG (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão q e termos positivos, verifique se a seqüência formada pelos
logaritmos decimais de seus termos, na mesma ordem, é uma PA, PG ou nenhuma das duas. PA de razão log q
Resolução:
(a1, a2, a3, ..., an, ...) → PG de razão q
a2
a
a
a
5 3 5 q → log 2 5 log 3 5 log q
a1
a2
a1
a2
Usando a propriedade do log, temos:
log a2 2 log a1 5 log a3 2 log a2 5 log q
(log a1, log a2, log a3, ..., log an, ...) é uma PA de razão log q.
9 Em uma PG crescente a soma do 3o e 4o termos é 9 e a soma do 5o e 6o termos é 36. Determine o 8o
termo dessa PG. 96
Resolução:
a3 1 a4 5 9 → a1q2 1 a1q3 5 9 → a1q2 ? (1 1 q) 5 9 (I)
a5 1 a6 5 36 → a1q4 1 a1q5 5 36 → a1q4 ? (1 1 q) 5 36 (II)
(II)
Fazendo
, temos: q2 5 4 → q 5 2.
(I)
Como a PG é crescente, então: q 5 2 e a1 5 3 .
4
3
7
7
a8 5 a1q 5 ? 2 5 96 a8 5 96
4
10 Em uma PG a diferença entre o 2o e o 1o termos é 5, e a diferença entre o 4o e o 3o termos é 20.
)
(
Determine essa PG. (5, 10, 20, 40, ...) ou 2 5 , 10 , 2 20 , 40
3 3
3
3
Resolução:
a2 2 a1 5 5 → a1q 2 a1 5 5 → a1(q 2 1) 5 5 (I)
a4 2 a3 5 20 → a1q3 2 a1q2 5 20 → a1q2(q 2 1) 5 20 (II)
(II)
Fazendo
, temos: q2 5 4 → q 5 2.
(I)
Se q 5 2 → a1 5 5 → (5, 10, 20, 40, ...)
)
)
(
(
Se q 5 22 → a 1 5 2 5 → 2 5 , 10 , 2 20 , 40
3
3 3
3
3
5
10
20
Resposta: (5, 10, 20, 40, ...) ou 2 ,
, 2 , 40
3 3
3
3
11 Qual é a razão da PG obtida após o acréscimo de cinco termos entre 8 e 81 ? 3 ou 2 3
Resolução:
8 , ... 5 termos ..., 81
9
8
total de termos 5 7
a 1 5 8 ; a 7 5 81
9
8
6
a 7 5 a 1q6 → 81 5 8 ? q6 → q6 5 36 → q 5 3
8
9
2
2
Ou seja, q 5 3 ou 2 3 .
2
2
(
)
9
8
2
2
12 A partir de um quadrado de lado constrói-se uma seqüência de quadrados cujo lado de cada um
deles é o dobro do lado do quadrado anterior. A seqüência formada pelas áreas desses quadrados, na mesma
ordem, é uma PA, PG ou nenhuma das duas? E a seqüência dos perímetros?
As áreas formam PG de razão 4; os perímetros formam PG de razão 2.
Resolução:
lados (,, 2,, 4,, 8,, ...)
2
2
áreas (,2, 4,2, 16,2, 64,2, ...) → 4,2 5 16,2 5 4 (é uma PG de razão 4)
,
4,
perímetros (4,, 8,, 16,, 32,, ...) → 8, 5 16, 5 2 (é uma PG de razão 2)
4,
8,
As áreas formam uma PG de razão 4, e os perímetros formam uma PG de razão 2.
p. 31
13 Seja ƒ uma função de �* em V tal que f (x) 5 2 ? 3x. O produto f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... ? f (10) é igual a:
a) 655
b) 6110
c) 210 ? 355
d) 210 ? 3110
e) 25 ? 355
Resolução:
f(x) 5 2 ? 3x
f(1) 5 2 ? 3
f(2) 5 2 ? 32
f(3) 5 2 ? 33
..
.
f(10) 5 2 ? 310
Pn 5 (a 1 ? a 10)10
Pn 5 (2 ? 3 ? 2 ? 310)10 5 (22 ? 311)5 5 210 ? 355
14 Em uma PG decrescente, tem-se a1 5 21621 e a21 5 232. Calcule o produto dos 21 primeiros termos.
Resolução:
PG decrescente, produto de número ímpar de termos → produto < 0
21 024 2
P21 5 2 (a 1 ? a 21)21
21
P21 5 2 [( 216)
21
? (232)]
5
5 2 24
2
21
5 2 221 5 2210 ?
2 5 21 024 2
15 Em uma PG com n termos, cujo 1o é 2, o último é 432 e a soma dos n termos é 518, calcule o valor de n. 4
Resolução:
a1 5 2; an 5 432
an 5 a1 ? qn 2 1
a (qn 2 1)
a qn 2 a 1
a qn 2 1q 2 a 1
a q 2 a1
S5 1
5 1
5 1
5 n
q 21
q 21
q 21
q 21
a nq 2 a 1
S5
q 21
432q 2 2
518 5
→ 518q 2 518 5 432q 2 2 → 86q 5 516 → q 5 6
q 21
an 5 a1qn 2 1
432 5 2 ? qn 2 1 → 432 5 2 ? 6n 2 1 → 216 5 6n 2 1 → 63 5 6n 2 1 → n 5 4
16 Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência (1, 2x, 22x, 23x, 24x, ...).
Resolução:
a (q10 2 1)
S10 5 1
q 21
a 1 5 1; q 5 2x
S10 5
210x 2 1
2x 2 1
1 (210x 2 1)
210x 2 1
→
S
5
10
2x 2 1
2x 2 1
17 Considere a PG (1, 3, 9, ...). Se a soma dos p primeiros termos dessa PG é 3 280, então p é igual a:
a) 9
b) 8
c) 7
d) 6
e) 5
Resolução:
a (qn 2 1)
S5 1
; a 1 5 1; q 5 3
q 21
1 (3p 2 1)
3 280 5
→ 6 560 5 3p 2 1 → 38 5 3p → p 5 8
3 21
18 Uma pilha de folhas de zinco foi formada da seguinte maneira: colocou-se na primeira vez uma folha
e em cada uma das vezes seguintes tantas folhas quantas já estavam na pilha. Calcule a altura da pilha após a
décima vez sabendo que a espessura de uma folha é 1 mm. 512
Resolução:
(1, 1, 2, 4, 8, ...) → é uma PG a partir do segundo termo; a1 5 1 e q 5 2.
Após a décima vez, a soma das folhas é o nono elemento da PG mais 1.
a (qn 2 1)
1 (29 2 1)
S5 1
115
1 1 5 512
q 21
221
Cada folha possui espessura de 1 mm; então: E 5 512 ? 1 5 512 mm.
19 Considere a PG (a1, a2, a3, ..., an, ...), de razão 1 , e cuja soma dos quatro primeiros termos é 20.
3
Determine o 4o termo. 1
2
Resolução:
S 4 5 20; q 5 1
3
4
a 1 1 2 1
3
→ 2 40 5 a 2 80 → a 5 27
S 4 5 20 5
1
1
1 21
3
81
2
3
3
a 4 5 a 1q3 → a 4 5 27 1 → a 4 5 1
2 3
2
()
( )
()
20 Resolva a equação x 1 2x 1 4x 1 8x 1 ... 1 512x 5 682. x 5 2
3
Resolução:
(x 1 2x 1 4x 1 8x 1 ... 1 512x) → é uma soma de PG de a1 5 x e q 5 2.
an 5 a1 ? qn 2 1
512x 5 x ? 2n 2 1 → 29 5 2n 2 1 → n 5 10
x (210 2 1)
S 5 682 5
→ 682 5 1 023x → x 5 2
221
3
2
S5
3
{}
21 Uma PA e uma PG têm ambas quatro termos, a mesma soma e os primeiros termos iguais a 1. A
razão da PG é 2. Calcule a razão da PA. 11
6
Resolução:
PG (1, b2, b3, b4); q 5 2 → (1, 2, 4, 8)
1 (24 2 1)
5 15
221
PA (1, a 2, a 3, a 4); S 5 15
(a 1 a 4) 4
(1 1 a 4) 4
S5 1
→ 15 5
→ a 4 5 13
2
2
2
13
11
a 4 5 a 1 1 3r →
5 1 1 3r → r 5
2
6
S5
22 Em um experimento realizado em um laboratório colocaram-se 100 bactérias em um meio propício
à sua reprodução e determinou-se que a população dobrava a cada 20 minutos. O tempo t para obter 5 000
bactérias foi tal que:
c) 2 h , t , 2h 30min
e) 2h 50min , t , 3h
a) 1 h , t , 1h 40min
d) 2h 30min , t , 2h 50min
b) 1h 40min , t , 2 h Resolução:
PG (100, 200, 400, ..., 5 000)
a1 5 100; q 5 2
an 5 a1qn 2 1
5 000 5 100 ? 2n 2 1 → 50 5 2n 2 1
Observe que 32 < 50 < 64, então: 32 < 2n 2 1 < 64 → 25 < 2n 2 1 < 26
5 < n 2 1 < 6 → 6 < n < 7 → 5 ? 20 < t < 6 ? 20 → 100 < t < 120 → 1h 40min < t < 2 h
p. 34
23 Obtenha a soma dos termos da seqüência (an) dada por an 5 9n 2 2 ? 101 2 n. 10
9
Resolução:
an 5 9n 2 2 ? 101 2 n
a 1 5 921 ? 100 5 1
9
0
21
a 2 5 9 ? 10 5 1
10
1
22
a 3 5 9 ? 10 5 9
100
1
q 5 10 5 9
1
10
9
a1
S5
12q
1
9
S5
→ S 5 10
9
9
12
10
24 A soma 1 1 x2 1 x4 1 ... 1 x2n 2 2 1 ... é igual a 9. Determine x. x 5 2 2
3
Resolução:
(1 1 x2 1 x4 1 ... 1 x2n 2 2) → é uma soma de PG infinita
a1 5 1; q 5 x2
a1
S5
12q
S5
2 2
1
5 9 → 9 2 x 2 5 1 → 9x 2 5 8 → x 5
2
3
12x
25 Resolva a equação 1 2 x 1 x2 2 x3 1 ... 1 (2x)n 2 1 1 ... 5 4. 2 3
Resolução:
(1 2 x 1 x2 2 x3 1 ... 1 (2x)n 2 1) → é uma soma de PG infinita
a1 5 1; q 5 2x
a1
S5
5 1 5 4 → 4 1 4x 5 1 → x 5 2 3
12q
11x
4
S 5 23
4
{ }
4
26 A partir de um quadrado de lado constrói-se uma seqüência de quadrados (Q1, Q2, Q3, ...) em que o
lado de cada quadrado Qn, n . 1, mede metade do lado do quadrado anterior. Qual é a soma dos perímetros
dos quadrados dessa seqüência? 8
Resolução:
(
)
lados ,, , , , , , , ...
2 4 8
(
)
perímetros 4,, 2,, ,, , , ... → é uma PG de a 1 5 , e q 5 1
2
2
a1
S perímetross 5
5 4, → S perímetros 5 8,
12q
12 1
2
27 Seja x 5 3 a 2 ? 3 3 a 2 ? 3
3 3
a2 ?
3 3 3 3
a 2 ... . Obtenha x sabendo que a 5 2π. 2π
Resolução:
2
3
2
2
2
1
2
1
2
1 ...
2
( 1 1 19 1 271 1 ...),
a 2 ? 9 a 2 ? 27 a 2 ... 5 a 3 ? a 9 ? a 27 ... 5 a 3 9 27
5a 3
em que 1 1 1 1 1 1 ... é uma PG infinita de a 1 5 1 e q 5 1 .
3
9
27
3
3
1
a1
3
S5
5
5 1
12q
2
12 1
3
x5
)
(
Portanto, x 5 a
2?
1
2
5 a 5 2π.
28 Uma seqüência de círculos é tal que cada círculo tem raio medindo um terço do raio do círculo
anterior, com exceção do primeiro círculo. Qual deve ser o raio do primeiro círculo para que a soma das
áreas dos círculos dessa seqüência seja igual a 1? 2 2
3 π
Resolução:
raio r, r , r , ...
3 9
2
2
área πr 2, π r , π r , ... → é uma PG infinita de a 1 5 πr 2 e q 5 1
9
81
9
2
a1
2
2
S 515
5 πr
5 1 → πr 2 5 8 → r 5
→ r5 2 2
12q
1
9
3 π
3
π
12
9
(
(
)
)
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