Exercícios Resolvidos de Análise Combinatória e
Probabilidade em LTEX
A
S. R. Santos e L. A. M. S. Junior
Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro, Brasil
9 de setembro de 2008
Resumo
Este texto contém exercícios resolvidos de Análise Combinatória e
Probabilidade do livro do Morgado e do Degroot.
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Introdução
Este texto surgiu da necessidade de prover os discentes de material com exercícios sobre probabilidade no caso discreto. A teoria necessária para a resolução
dos exercícios não se encontra aqui.
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Combinações e Permutações
2.1
Princípio da Adição e da Multiplicação
1. Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com
um alfabeto de 26 letras?
R: A primeira letra pode ser selecionada de 26 maneiras. Escolhida a
primeira, a segunda pode ser escolhida de 25 maneiras. Escolhida a segunda, a terceira pode ser escolhida de 24 maneiras. Assim, podem ser
formadas 26 × 25 × 24 = 15600 palavras com 3 letras diferentes.
2. Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla
escolha, com cinco alternativas por questão?
R:5 × 5 × 5 × . . . × 5 = 510 = 9765625
3. Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarísmos são distintos?
R:9 × 9 × 8 × 7 = 4536
4. De quantos modos podem ser escolhidos um presidente e um secretário de
um conselho que tem 12 membros?
R:12 × 11 = 132
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5. De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em la?
R:5 × 4 × 3 = 60
6. Quantos números de quatro dígitos são maiores do que 2400 e:
(a) têm todos os dígitos diferentes;
Se o número começar por 2 teremos uma única opção para o primeiro
algarísmo. O segundo pode ser o 4 ou maior (6 opções). O terceiro
não pode ser igual ao primeiro e ao segundo algarísmos (8 opções) e
o quarto não pode ser igual aos 3 algarísmos anteriores (7 opções).
Nesse caso, teremos 1 × 6 × 8 × 7 = 336 números.
Se o número não começar por dois, o primeiro algarísmo ∈
/ {0, 1, 2}
(7 opções). O segundo algarísmo não poderá ser igual ao primeiro (9
opções). O terceiro algarísmo não poderá ser igual aos dois anteriores
(8 opções) e o último não poderá ser igual aos anteriores (7 opções).
Nesse caso teremos: 7 × 9 × 8 × 7 = 3528 números.
Assim, são 336 + 3528 = 3864 números.
(b) não têm dígitos iguais a 3, 5 ou 6?
Se o número começar por 2 teremos uma única opção para o primeiro
algarísmo. O segundo algarísmo ∈
/ {0, 1, 2, 3, 5, 6} (4 opções). Os dois
últimos algarísmos ∈
/ {3, 5, 6} (7 opções cada). Nesse caso teremos:
1 × 4 × 7 × 7 = 196 números. Mas os dois últimos algarísmos não
podem ser iguais a zero, quando o primeiro for igual a 2 e o segundo
igual a 4, pois o número tem que ser maior do que 2400. Logo,
teremos 196 − 1 = 195 números
Se o número não começar por dois, o primeiro algarísmo ∈
/ {0, 1, 2, 3, 5, 6}
(4 opções). O segundo, terceiro e quarto algarísmos ∈
/ {3, 5, 6} (7
opções cada). Nesse caso teremos: 4 × 7 × 7 × 7 = 1372 números.
Assim, são 195 + 1372 = 1567 números.
(c) têm as propriedades a e b simultâneamente?
Se o número começar por 2 teremos uma única opção para o primeiro
algarísmo. O segundo ∈
/ {0, 1, 2, 3, 5, 6} (4 opções). O terceiro ∈
/
{3, 5, 6} e não pode ser igual ao primeiro e ao segundo algarísmos (5
opções) e o quarto ∈
/ {3, 5, 6} e não pode ser igual aos 3 algarísmos
anteriores (4 opções). Nesse caso, teremos 1×4×5×4 = 80 números.
Se o número não começar por dois, o primeiro algarísmo ∈
/ {0, 1, 2, 3, 5, 6}
(4 opções). O segundo algarísmo ∈
/ {3, 5, 6} e não poderá ser igual
ao primeiro (6 opções). O terceiro algarísmo ∈
/ {3, 5, 6} e não poderá
ser igual aos dois anteriores (5 opções) e o último ∈
/ {3, 5, 6} e não
poderá ser igual aos anteriores (4 opções). Nesse caso teremos:
4 × 6 × 5 × 4 = 480 números.
Assim, são 480 + 80 = 560 números.
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7. O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B possui 7 elementos.
Quantas são as funções f : A 7−→ B ? Quantas são as funções injetoras
f : A 7−→ B ?
Em uma função, cada elemento do conjunto A tem que corresponder a um
elemento do conjunto B. Para cada elemento de A temos 7 opções para
correlacionar com B. Logo temos 7 × 7 × 7 × 7 = 74 = 2401 funções.
Em uma função injetora, cada elemento do conjunto A tem que corresponder a um único elemento do conjunto B, ou seja, não pode ter dois
elementos de A se correlacionando com o mesmo elemento de B. Para o
primeiro elemento de A temos 7 opções para correlacionar com B. Escolhido este, para o segundo elemento de A temos 6 opções para correlacionar
com B e assim por diante. Logo temos 7×6×5×4 = 840 funções injetoras.
8. Quantos divisores naturais possui o número 360? Quantos são pares?
R: 360 = 23 ×32 ×51 . Os divisores naturais de 360 são da forma 2a ×3b ×5c ,
com a = 0, 1, 2, 3; b = 0, 1, 2 e c = 0, 1. Logo, são 4×3×2 = 24 os divisores
naturais de 360. E 3 × 3 × 2 = 18 são pares.
9. Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos
dois dígitos iguais?
R: Os números com 4 dígitos são 9 × 10 × 10 × 10 = 9000.
Números com 4 dígitos distintos: 9 × 9 × 8 × 7 = 4536.
Agora, basta diminuir: 9000 − 4536 = 4464.
10. Quantos subconjuntos possui um conjunto que tem n elementos?
R: Um conjunto pode ser representado na forma A = {a1 + a2 + . . . + an }.
O primeiro elemento de A, a1 , pode pertencer ao subconjunto ou não. O
segundo também. E assim sucessivamente até o n-ésimo elemento. Logo,
o número de subconjuntos de A é 2 × 2 × . . . × 2 = 2n .
11. De quantos modos podemos arrumar oito torres iguais em um tabuleiro
de xadrez (8 × 8) de modo que não haja duas torres na mesma linha nem
na mesma coluna?
R: Na primeira coluna temos 8 modos de colocar a torre. Na segunda, 7.
Na terceira, 6 e assim sucessivamente. Logo, temos 8 × 7 × . . . × 1 = 8! =
40320.
12. Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares da
revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não vazias
de revistas dessa banca é possível formar?
R: Ω = {(a, b, c) : a = números de revistas A, b = número de revistas B e c =
número de revistas C}
#Ω = 6 × 7 × 11 = 462. Porém, o terno (0, 0, 0)não nos serve. Logo, o
número de coleções não vazias será 462-1=461.
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13. De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposição
três cartas. Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de copas,
a segunda é um rei e a terceira não é uma dama?
R: Vamos dividir o problema em três partes.
Primeira parte: Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de
copas e não é o rei de copas e não é a dama de copas e a segunda é um rei
e a terceira não é uma dama? 11 × 4 × 46 = 2024
Segunda parte: Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é o rei
de copas e a segunda é um rei e a terceira não é uma dama? 1×3×46 = 138
Terceira parte: Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é
a dama de copas e a segunda é um rei e a terceira não é uma dama?
1 × 4 × 47 = 188
Logo, São 2024 + 138 + 188 = 2350 extrações.
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