Exercícios de Revisão
Primitivas Imediatas
Algumas Fórmulas Úteis .....................................................................................................3
§1 Introdução Teórica ..............................................................................................................4
§2 Exercícios Resolvidos...........................................................................................................4
2.1 Potência...........................................................................................................................4
2.2 Exponencial ....................................................................................................................5
2.3 Logaritmo .......................................................................................................................6
2.4 ArcTan/ArcSin ...............................................................................................................7
§3 Exercícios Propostos ............................................................................................................8
§4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos.....................................................9
Bibliografia .........................................................................................................................10
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1
Tabela 1.1: Tabela de Primitivas Elementares
f
P f =F
c, c ∈ IR
cx
α
x (α≠− 1)
1
x
ex
x α+1
α +1
log x
ex
cos x
sin x
sin x
− cos x
sec2 x
tg x
cosec2 x
1
1+ x 2
1
−cotg x
arctg x
arcsin x
1− x 2
cosh x
sinh x
sinh x
cosh x
N.B.: Nesta colecção vamos reduzir todas as primitivas a determinar, às expressões nesta
tabela. Este aspecto deve ser bem ponderado pelos leitores, no contexto da avaliação a que
serão sujeitos, nas respectivas faculdades.
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2
Algumas Fórmulas Úteis
Fórmulas trigonométricas
1
cos x
sin 2 x + cos2 x = 1
sec x ≡
tg 2 x +1= sec 2 x
cotg 2 x +1= cosec2 x
cosec x ≡
1
sin x
sin 2 x = 2 sin x cos x
cos2 x = cos 2 x−sin 2 x
1 1
sin 2 x = − cos2 x
2 2
e i x ≡cis x = cos x +i sin x
sin x =
e ix −e −ix
2i
1 1
cos 2 x = + cos2 x
2 2
(fórmula de Euler)
cos x =
= 2cos 2 x− 1
= 1 − 2sin 2 x
i ≡ −1
e ix +e −ix
2
Funções hiperbólicas
sinh x ≡
e x −e −x
2
cosh x ≡
e x +e −x
2
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tgh x ≡
sinh x
cosh x
3
§1 Introdução Teórica
Definição 1.1: Primitiva
“Sejam f e F funções definidas no intervalo [a, b] ; F é diferenciável em todos os pontos
de [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem:
F ′(x ) = f ( x ) ,
diz-se que a função f é primitivável em [a, b] e que F é uma primitiva de f em [a, b] .”
Observação 1.2: Notação
“Para denotar uma primitiva F de uma função f é habitual usar-se uma das seguintes
notações: F ( x ) = Pf ( x ) = Px f (x ) = ∫ f ( x )dx .”
§2 Exercícios Resolvidos
Para resolver este grupo de exercícios, o método a utilizar é transformar a função a
primitivar, evidentemente sem a alterar, numa função do tipo das existentes na tabela de
primitivas elementares (Tabela 1.1), e de seguida primitivá-la imediatamente recorrendo à
dita tabela. Em geral nesta fase inicial, além da Tabela 1.1 vamos usar o seguinte resultado:
Teorema 2.1: Regra da Derivada da Função Composta
“
d
[F (u (x ))] = F ′(u(x )).u ′(x ) ”
dx
2.1 Potência
P ⎡⎣ xα ⎤⎦ =
xα +1
α +1
P ⎡⎣uα u′⎤⎦ =
uα +1
α +1
2.1.1 Primitive as seguintes funções:
(a)
x4
3
− 2x 2 + 3
3
x
(b)
3
(c)
x2 + 25 x
x − 23 x
x
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4
Resolução:
x4
x 5 2 3 3 −2
3
1
− 2 x 2 + 3 ) = P x 4 − 2 P x 2 + 3 P x −3 =
− x − x
3
3
15 3
2
x
(a)
P(
(b)
3
5
P(3 x 2 + 25 x ) = P x 2 3 +2P x 1 / 5 = x 5 / 3 + x 6 / 5
5
3
(c)
P
x − 23 x
x
x
x ⎞
− 2 3 3 ⎟ = P x −1/ 2 − 2 P x −2 / 3 = 2 x − 6 3 x
2
x
x ⎠
⎛
= P⎜
⎝
2.2 Exponencial
P ⎡⎣ eu u′⎤⎦ = eu
P ⎡⎣e x ⎤⎦ = e x
2.2.1 Primitive as seguintes funções:
4
(a)
x3 e x
(b)
(c)
e
x
e
sin 2 x
x
cos 2 x
1x
(d)
e
x2
Resolução:
(a)
4
4
1
1
1 4
1
Exponencial: P( x 3 e x ) = P 4 x 3 e x = 4 P u ′e u = e u = e x
u=x 4
4
4
4
e
x
=2P
1
= 2Pu ′e u = 2e u = 2e
x
Exponencial: P
(c)
1
1
1
1
Pu ′e u = e u = e sin 2 x
Exponencial: P (e sin 2 x cos 2 x) = P 2cos2 x e sin 2 x =
u
x
=sin 2 2
2
2
2
(d)
Exponencial: P
x
2 x
e
x
(b)
u= x
e1 x
⎛ 1
⎞
= − P⎜ − 2 e1 / x ⎟ = − Pu ′e u = −e u =−e 1 x
2
x
x
⎝
⎠ u =1 / x
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5
2.3 Logaritmo
⎡1⎤
P ⎢ ⎥ = log x
⎣x⎦
⎡ u′ ⎤
P ⎢ ⎥ = log u
⎣u ⎦
2.3.1 Primitive as seguintes funções:
(a)
(b)
(c)
ex
1+ 4e x
sin x − cos x
sin x + cos x
1
x log x
Resolução:
(a)
Logaritmo: P
4e x
ex
1
1
1 u′ 1
=
P
=
P = log u = log 1 + 4e x
x
x
4
1 + 4e 4 1 + 4e u =1+ 4e x 4 u 4
(b)
Logaritmo: P
sin x − cos x
cos x − sin x
u′
=− P
= − P =−log u = −log sin x + cos x
sin x + cos x
sin x + cos x u =sin x + cos x u
(c)
Logaritmo: P
1x
1
u′
=P
= P = log u = log log x
xlog x
log x u =log x u
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2.4 ArcTan/ArcSin
⎡ u′ ⎤
P⎢
= arctan ( u )
2
⎣1 + u ⎥⎦
⎡ u′ ⎤
P⎢
⎥ = arcsin ( u )
2
1
−
u
⎣
⎦
⎡ 1 ⎤
P⎢
= arctan ( x )
2
⎣1 + x ⎥⎦
⎡ 1 ⎤
P⎢
⎥ = arcsin ( x )
2
−
1
x
⎣
⎦
2.4.1 Primitive as seguintes funções:
x2
1 + x6
(a)
1
(c)
e
(e)
1− x4
e 2x
1 + e 4x
(d)
1− x
x
x
(b)
x
1− e
1
(f)
2x
x 1 − log 2 x
Resolução:
(a) P
3x 2
x2
x2
u′
1
1
1
1
=
P
=
P
= P
= arctg u = arctg x 3
6
3 2
3 2
2
3
1+ x
1 + ( x ) 3 1+( x ) u = x3 3 1 + u 3
(b)
P
(c)
P
(d)
(e)
(f)
P
x
1− x
4
=P
1
x 1− x
u′
1
1
1
2x
1
= P
=2 P
= arcsinu = arcsin x 2
2
2
2
u
=
x
2
2
1− u 2
1 − (x ) 2
1 − (x )
=P
x
2 2
1
x
1− x
=2P
( )
1− ( x)
1 2 x
2
= 2P
u= x
u′
1− u2
= 2arcsinu = 2 arcsin x
1
2e 2 x
1
1
1
u′
e2x
e2x
=
=
= P
= arctg u = arctg e 2 x
P
P
4x
2x 2
2 x 2 u =e2 x
2
2 1+ u 2
2
1+ e
1 + (e ) 2 1 + (e )
ex
P
( )
1− e
P
= P
x 2 u =e x
1
x 1 − log 2 x
u′
1− u
=P
2
= arcsinu = arcsin e x
1x
1 − (log x )
= P
2 u = log x
u′
1− u2
= arcsinu = arcsin(log x)
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§3 Exercícios Propostos
3.1 Preencha a primeira coluna da tabela seguinte:
Tabela 1.2: Tabela de Primitivas Imediatas
f
P f =F
cu
α +1
u
α +1
log u
eu
sin u
− cos u
tg u
− cotgu
arctg u
arcsin u
sinh u
cosh u
Note que u = u ( x ) .
3.2 Primitive as seguintes funções:
x3
(a)
(d)
1 − x4
x5
1+ x6
(g) xe − x
2
(b)
(e)
(h)
e 6x
1 − e 6x
2x + x / 2
3 sin x
(1 + cos x )
2
(c)
x
1+ x2
(f) 3 sin x + 2 x 2
(i) x 1 + x 2
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8
3.3 Primitive as seguintes funções:
(a) e 2 sin x cos x
(b) tan x
(d) sin 3 x cos 3 x
(e)
ex
4 + e2x
(h)
(g)
(c)
1
1 + x arctan x
(
2
)
arcsin x
1− x2
(f)
1
x +2
2
1
(1 + x )
(i)
x
x
1 − 2x 4
§4 Sugestões para as resoluções dos Exercícios Propostos
3.1 O que se está a pedir não é que primitive, mas sim que derive a 2ª coluna, resultando:
f
cu ′
u ′u α
u
u′
u ′e u
u ′ cos u
u ′ sin u
u ′ sec 2 u
u ′cosec 2 u
u′
1+ u2
u′
1− u2
u ′ cosh u
u ′ sinh u
3.2
(a)
P
x3
1− x
4
(
)
= P x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = −
(
)
1
1
1 u1 2
1
=−
P − 4 x 3 ( 1 − x 4 ) −1 2 = − P u ′ u − 1 2 = −
4
4
412
2
1− x4
(b)
P
e6 x
1 − e6x
(
)
(
)
1
1
1 u1 2
1
= P e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P −6e 6 x ( 1 − e 6 x ) −1 2 = − P u ′ u −1 2 = −
= − 1 − e6x
6
6
6 12
3
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9
(c) P
x
1
2x
1 u′ 1
1
= P
= P = log u = log 1 + x 2
2
2
2
1 + x 2 1 + x u =1+ x 2 2 u 2
(
)
x5
1
1 6x 5 1 u ′ 1
=
P
= P = log u = log(1 + x 6 )
6
6
6
1+ x 6 1+ x 6 u 6
(d)
P
(e)
2x 3
(g) − 0.5e − x
(f) 3 cos x + 2 / 3x 3
[
(h) P 3 sin x(1 + cos x )
−2
3
] = 1 + cos
x
2
(i) 1 / 3(1 + x 2 )2
3
3.3
(a)
1 2 sin x
e
2
(b) log cos x
(c)
⎛ x ⎞
arctan⎜
⎟
2
⎝ 2⎠
1
(d)
[
] [
] [
]
P (sin 3 x cos 3 x ) = P (1 − sin 2 x )cos x sin 3 x = P cos x sin 3 x + P cos x sin 5 x =
(
)
⎡1 / 1 + x 2 ⎤
(e) P ⎢
⎥ = log arctan x
⎣ arctan x ⎦
(g) 1 / 2 arctan(e x / 2 )
1
3
⎡ 1
2
− ⎤
(
(h) P ⎢
arcsin x ) 2 ⎥ = (arcsin x ) 2
2
⎣ 1− x
⎦ 3
sin 3 x sin 6 x
−
4
6
⎤
⎡
⎢ 1/ 2 x ⎥
(f) 2 P ⎢
= 2 arctan
2 ⎥
⎢ ⎛⎜1 + x ⎞⎟ ⎥
⎠⎦
⎣⎝
( )
( )
(i)
1
2 2
(
arcsin 2 x 2
( x)
)
Bibliografia
[1] “Introdução à Análise Matemática” J. Campos Ferreira (Fundação Gulbenkian, 1990).
[2] “Calculus, Vol. I” T. M. Apostol (John Wiley, 1976).
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