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UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE – UNESC
CURSO DE PÓS – GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA
SABRINA INÊS BATISTA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ENSINO – APRENDIZAGEM DE
MATRIZES
CRISCIÚMA, AGOSTO DE 2005.
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SABRINA INÊS BATISTA
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ENSINO – APRENDIZAGEM DE
MATRIZES
Monografia apresentada à Diretoria de Pósgraduação da Universidade do Extremo Sul
Catarinense – UNESC, para a obtenção do título de
especialista em Educação Matemática.
Orientador (a): Marilaine de Fraga Sant’Ana
CRISCIÚMA, AGOSTO DE 2005.
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RESUMO
Este trabalho tem a proposta de oferecer questões que complementem as aulas de
matemática do Ensino Médio no conteúdo de Matrizes. Estas questões foram
elaboradas utilizando a realidade local dos alunos. Apresentam-se as definições
sobre os conceitos de matrizes e suas operações, e o surgimento das matrizes, qual
a sua origem. Isto serve para nos dar a base conceitual e formal sobre o conteúdo.
Seguindo, no desenvolvimento do trabalho serão abordados os problemas com
enfoques sobre a realidade da comunidade, de uma forma prática e acessível. Estes
problemas podem ser utilizados na introdução dos conceitos de matrizes, por
exemplo, o problema do fluxo de carros para introduzir o conceito de adição de
matrizes, e também como exercícios extras. Estes problemas podem ser reescritos
para a realidade local em que cada comunidade escolar se situa. Como
considerações finais, temos que o trabalho poderá ser um incentivo, um colaborador
para professores que atuam no Ensino Médio, como mostrar para os alunos que as
matrizes são uma forma muito organizada de dispor os números facilitando a
compreensão de dados reais que cercam o cotidiano, e com isso poder programar,
fazer metas, e construir caminhos com fontes concretas. Não querendo dizer que
todas as noções e conceitos que os alunos aprendem na escola devam estar
sempre relacionados com a realidade deles, mas sim que devam servir de veículo
para desenvolver novas formas de compreender, interpretar e atuar na realidade,
tornando-se assim um cidadão reflexivo em relação ao mundo que o rodeia.
Palavra-chave: matrizes. conceitos. problemas.
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO...............................................................................................
5
1.1 Objetivos....................................................................................................
7
1.1.1 Objetivo Geral........................................................................................
7
1.1.2 Objetivos Específicos............................................................................
7
1.1.3 Metodologia............................................................................................
7
2 REFERENCIAL TEÓRICO............................................................................
9
3 MATRIZES E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS...........................................
15
3.1 Origem das Matrizes.................................................................................
15
3.1.1 Surgimento dos Primeiros Resultados da Teoria da Matriz..............
16
3.2 Definições e Conceitos de Matrizes........................................................
17
3.2.1 Tipos de Matrizes...................................................................................
17
3.2.2 Operações com Matrizes.......................................................................
18
3.2.3 Adição e Subtração de Matrizes...........................................................
18
3.2.4 Propriedades da Soma entre Matrizes.................................................
19
3.2.5 Multiplicação de Matrizes...................................................................... 19
3.2.6 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz.............................
19
3.2.7 Propriedades da Multiplicação.............................................................
19
3.2.8 Multiplicação entre Matrizes.................................................................
20
3.2.9 Propriedades do Produto entre Matrizes.............................................
20
3.2.10 Matriz Transposta................................................................................
20
3.2.11 Propriedades da Matriz Transposta...................................................
20
3.2.12 Matriz Inversa.......................................................................................
21
4
3.3 Problemas Envolvendo Matrizes.............................................................
21
3.3.1 Adição de Matrizes................................................................................
22
3.3.2 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz.............................
26
3.3.3 Multiplicação de Matrizes..................................................................... 27
3.3.4 Matriz Inversa.........................................................................................
31
4 MÉTODO HÚNGARO....................................................................................
34
4.1 Teorema Alocação Ótima.........................................................................
35
4.2 Método Húngaro.......................................................................................
36
4.2.1 Vamos Resolver agora o Problema 1, conhecido o Método
Húngaro............................................................................................................ 36
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS........................................................................... 41
REFERÊNCIAS................................................................................................. 43
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1 INTRODUÇÃO
Numa aula de Matemática, números não bastam para conseguir a
atenção dos alunos. Não pode ser desprezada a informação que trazem de casa, da
rua, etc.
Segundo Imenes (2002, p.18) “... o principal erro é gastar 95% do tempo
das aulas fazendo continhas, “o ensino deve estar voltado à resolução de
problemas”, diz ele ainda: “o equívoco é do modelo, não das pessoas”.
Nada mais empolgante para nossos alunos do que conseguirem enxergar
aplicações concretas sobre os conteúdos que aprendem em sala de aula, daí seria
mais claro conseguir responder aquelas questões que nos deixam frustrados, como
por exemplo, “por que aprender matemática? Onde vou usar isso?”
Segundo Iara Cristina Bazan da Rocha (2001, p.78), “o currículo da
matemática está repleto de conteúdos de alto nível de abstração que não tem
ligação com a vida dos alunos”, com base neste argumento isso aumenta a
dificuldade de compreensão desestimulando e desinteressando os alunos. Ainda diz,
“eu não estou
afirmando que se deve ensinar apenas aqueles conhecimentos
necessários no cotidiano do aluno, porque isso seria negar-lhe conhecimentos, ...
acredito sim, que é preciso partir da realidade do educando, daquilo que tem
significado para ele”.
“Um dos problemas mais sérios da educação é a relação da escola em
todos os níveis, até a universidade, com a sociedade. A escola privilegiando a
memorização e a repetição, automatiza o aluno”, ( FAINGUELERNT, 2003, p.83). O
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fracasso no ensino de matemática é decorrente do fracasso do ensino, da escola em
geral.
Ser professor não é só ensinar o domínio de uma técnica. O professor
deve ser um educador. Educar deve ser um ato de opção e também de
compromisso com o aluno e a sociedade.
Por trabalhar com o Ensino Médio e sentir muito descaso dos alunos com
o conteúdo de matrizes, mesmo eles achando que o conteúdo é um dos mais fáceis,
é que senti a necessidade de aprofundar meus conhecimentos nesta área. Resolvi
então, elaborar este trabalho, buscando problemas em que fosse possível a
aplicação imediata de matrizes como uma introdução de conteúdos, em vez de início
formal e abstrato como venho trabalhando.
O trabalho foi realizado no município de Osório/RS, que é uma localidade
que possui muitas lagoas, propiciando o comércio de areia, é uma cidade de
passagem, pois fica em um ponto estratégico do litoral norte do Rio Grande do Sul.
Observando as características da cidade surgiu a motivação para elaborar os
problemas que estão presentes neste trabalho, relacionando as características
locais com o conteúdo formal de matrizes.
No terceiro capítulo apresentamos uma rápida descrição sobre a história
e as definições de matrizes. Neste mesmo capítulo serão abordados os problemas
envolvendo matrizes, onde estes podem ser utilizados como uma introdução de
conteúdos ou simplesmente como exercícios extras.
No quarto capítulo abordaremos o teorema da alocação ótima, que para
ser aplicado é necessário o conhecimento do método húngaro, que também está
neste capítulo. Dois problemas exemplificam a aplicação deste método.
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1.1 Objetivos
1.1.1 Objetivo Geral
Proporcionar ao aluno de Ensino Médio, aplicações práticas do conteúdo
de matrizes, mostrar para ele em que áreas profissionais são desenvolvidas e
necessárias à aplicação deste conhecimento.
1.1.2 Objetivos Específicos
Pesquisar a história do estudo de matrizes;
Revisar a bibliografia existente no que se refere a problemas de
matrizes;
Selecionar o material e os problemas práticos;
Relacionar os problemas com a comunidade escolar local.
1.1.3 Metodologia
Este trabalho terá como metodologia a pesquisa bibliográfica, realizada
na cidade de Osório/RS.
A análise nas bibliografias existentes será feita a partir das pesquisas
sobre matrizes, bem como a descrição e a atribuição de seus significados.
A pesquisa terá enfoque maior em encontrar problemas práticos que
envolvam matrizes.
8
A partir dos problemas selecionados, será feita a relação entre a
aplicação e a realidade escolar local.
9
2 REFERENCIAL TEÓRICO
A Matemática surgiu para resolver problemas do cotidiano das pessoas.
Problemas estes que vão do mais simples ao mais complexo, dependendo da
realidade e interesse das pessoas. Segundo Charmay (apud, PARRA, 1996, p. 36).
Sabemos que na história da matemática, os primeiros indícios de
construção de conhecimento matemático são heranças dos povos egípcios (2500
até 320 a.C.), onde usavam a matemática para resolução de problemas práticos
geralmente ligados ao comércio, construções de habitações e os grandes
monumentos estão no mundo até hoje, como as grandes pirâmides. A resolução
desses problemas era feita de maneira empírica, não havendo regras gerais para
solução de problemas semelhantes (FAINGUELERNT, 2003).
Já a civilização grega, apesar de também desenvolver a matemática
utilitária, dedicou-se fundamentalmente a organização formal da produção egípcia e
babilônica. Assim, a matemática ganhou uma linguagem simbólica própria,
substituíram-se às soluções particulares pelas generalizações e as experimentações
pelo método dedutivo.
Passou-se então a conceber como “matemática verdadeira” uma
matemática formal, pretensamente baseada em pura especulação intelectual, sem
qualquer ligação com o mundo real. Para o pensamento idealista as teorias
desenvolvidas por processos puramente mentais determinariam a realidade, os
fenômenos naturais. D’Ambrósio, consegue claramente identificar a diferença entre
a matemática utilitária e a matemática dos intelectuais, conforme diz:
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Platão distinguia claramente uma matemática utilitária, importante para
comerciantes e artesãos, mas não para intelectuais, para quem defendia
uma matemática abstrata, fundamental para aqueles que seriam os
dirigentes, a elite. (D’AMBRÓSIO, 1996, p. 36).
Com isso vemos que a matemática brotou de necessidades práticas do
cotidiano de uma determinada civilização, logo também podemos nós professores
resgatar essa prática para dentro de nossas salas de aula.
A Matemática tem se construído como resposta a perguntas traduzidas
em outros tantos problemas. Tais perguntas tem tido variações em suas origens e
em seu contexto: problemas da natureza doméstica, problemas formulados em
estreita vinculação com outras ciências.
Porém, este método de aprendizagem da matemática, não é realizado
sem dificuldades. Os problemas geralmente são encarados com uma certa
resistência: “as ferramentas ou noções elaboradas em uma determinada época
ocorrem, com efeito, em um contexto cultural, sócio-econômico, [...] que não é
aquele em que vivem nossos alunos”, conforme afirma (PARRA, 1996, p. 36).
Talvez este seja o principal enfoque que deve ser levado em conta no
ensino com esta metodologia: o contexto sócio-econômico-cultural do aluno, para
que tenha sentido, pois quando inserido na escola ele já vem com uma bagagem de
conhecimentos. Segundo (PARRA, 1996, p.36):
A questão essencial do ensino da matemática é então: como fazer para que
os conhecimentos ensinados tenham sentido para o aluno? O aluno deve
ser capaz não só de repetir ou refazer, mas também de ressignificar em
situações novas, de adaptar, de transferir seus conhecimentos para resolver
novos problemas. No princípio é desvendado as noções matemáticas como
ferramentas para resolver problemas, que permitirá aos alunos construir o
sentido. Só depois estas ferramentas poderão ser estudadas por si
mesmas.
Piaget destacou o papel da ação na construção de conceitos. não é feita,
obrigatoriamente, pela manipulação de material concreto, mas de uma ação
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problematizadora, “pensamento-ação”, que tende a constatação por parte do aluno e
o que dá sentido aos conceitos ou teorias são os problemas que eles permitem
resolver. Parra (1996, p.43) ao abordar sobre a existência do aprendizado em que
[...] a atividade matemática consiste com freqüência na elaboração de uma
estratégia, de um procedimento que permite aplicar o resultado de uma
ação ainda não realizada ou não atual, a respeito da qual se dispõe de
determinadas informações. [...] só existe aprendizado quando o aluno
percebe que existe um problema para resolver.
Além de tudo temos ainda as idéias de Etnomatemática, tendência da
Educação Matemática, que para Fiorentini (1995, p.26), a Etnomatemática tem como
idéias principais:
[...] o ponto de partida do processo ensino-aprendizagem seriam os
problemas da realidade. Estes seriam identificados e estudados
conjuntamente pelo professor e pelo alunos. A relação aluno-professor é
dialógica: troca de conhecimentos entre ambos, atendo sempre à iniciativa
dos primeiros. O método de ensino preferido por essa tendência será,
portanto, a problematização (tanto do saber popular como daquele
produzido pelos matemáticos) [...] trata-se de um método de ensino que
completa a pesquisa e o estudo/discussão de problemas que dizem respeito
à realidade dos alunos.
Na atuação em sala de aula temos que realmente saber o real significado
desta metodologia, a resolução de problemas, pois é comum confundir problemas
com atividades de verificação do conhecimento matemático. Segundo Decon (2002,
p.54) “a acepção usualmente atribuída à palavra ‘problema’ na Matemática escolar
é limitada e por vezes equivocada”. Para o autor Decon (2002, p.54) “os problemas
são entendidos como uma atividade que envolve adestramento, treinamento do uso
de alguma habilidade específica do conhecimento matemático e, previamente
conhecida pelo aluno”.
Resolver um problema é encontrar meios desconhecidos para um fim
nitidamente imaginado. Se o fim por si só não sugere de imediato os meios,
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se por isso temos que procurá-los refletindo conscientemente sobre como
alcançar o fim temos de resolver um problema. (POLYA, apud DECON et al,
2002, p.55).
E ainda:
[...] podemos dizer que o significado da resolução de problemas na
perspectiva de trazer contribuições para a educação matemática reside no
fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a
questionar o problema, a transformar e gerenciar dados de um problema, a
formular novos problemas e conjecturas, a produzir suas próprias
estratégias, o que, por um lado, abre a oportunidade de os alunos
ampliarem seus conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos
inerentes à matemática e, por outro, desencadeia uma nova perspectiva dos
alunos diante dos problemas, da Matemática, da sociedade e do mundo em
geral. (DECON, 2002, p. 59).
Segundo D’Ambrósio (1996, p. 36)
[...] a instrumentação para a vida depende, numa democracia, de uma
preparação para a participação política, para bem votar e para acompanhar
os procedimentos políticos. Para isso há necessidade de alguma
capacidade de analisar e interpretar dados estatísticos, de noções de
economia e da resolução de situações de conflito e de decisão. Assim, não
podem faltar, no currículo, estudos de estatística e probabilidade, economia
e situação de conflito.
Conforme D’Ambrósio (2001, p. 112) relata em seu artigo para a revista
Educação Matemática, “o grande desafio que nós, educadores matemáticos,
encontramos é tornar a matemática interessante, isto é, atrativa; relevante, isto é,
útil; e atual, isto é, integrada no mundo de hoje”. O fracasso escolar, particularmente
em educação matemática, é irreversível no quadro conservador que predomina. A
sociedade está mudando, as crianças estão mudando, o conhecimento está se
aperfeiçoando, e para isso nós professores em sala de aula é necessário reavaliar
as nossas práticas para também conseguir se renovar juntamente com a
comunidade que está em nossa volta.
A sociedade está mudando muito rápido que muitas vezes nossos alunos
possuem mais informações e tecnologias avançadas em suas casas, como
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computador, internet, DVD, que os professores. E como então conseguir a atenção
desses adolescentes com conteúdos remotos sem graça e de pura abstração. É por
isso que cada vez mais precisamos formular problemas em que consigamos
relacionar o conteúdo formal com a realidade local, pois estamos tentando alguma
coisa, e fazendo alguma coisa, agora o que não podemos permitir acontecer é
deixar de tentar.
Não é possível ignorar a sociedade que está a nossa volta e o sistema em
que vivemos, igualmente, a matemática e a educação não podem ser insensíveis
aos problemas maiores afetando o mundo moderno, principalmente a exclusão de
indivíduos, comunidades, e até nações, dos benefícios da modernidade. A
matemática é o maior fator de exclusão nos sistemas escolares. O número de
reprovações e evasões é intolerável. Faz-se necessário ampliar as oportunidades de
escolaridade e de pesquisa com a utilização plena dos recursos de ensino à
distância. E naturalmente repensar, profundamente, os modelos correntes de
avaliação.
A violência urbana e o crescente uso de drogas estão presentes no nosso
cotidiano. Isso se insere numa questão maior, que não pode ser ignorada, que é a
violação da paz, em suas várias dimensões: paz interior, paz social, paz ambiental e
paz militar. Essa questão maior, geralmente ignorada por matemáticos e educadores
matemáticos, tem tudo a ver com o desgaste e o desinteresse dos alunos pela
educação e pelas aulas de matemática.
Naturalmente, todos os esforços para dirigir a ciência para o objetivo
maior de uma humanidade feliz e digna dependem de uma ética científica e
tecnológica e da incorporação de valores no fazer científico e tecnológico.
14
3 MATRIZES E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
15
Neste capítulo apresentamos a origem, definições e conceitos das
matrizes. Os problemas aqui relacionados poderão ser utilizados em sala de aula
como introdução de conteúdo ou como exercícios extras sala de aula como
introdução de conteúdo ou como exercícios extras.
3.1 Origem das Matrizes
É um conjunto de números que são operados essencialmente da mesma
maneira, isto sugere tratá-los em bloco, de forma única. Esta forma de tratamento é
dada através do uso de elementos matemáticos chamados matrizes.
Foi apenas em meados do século XIX que as matrizes tiveram sua
importância detectada e saíram da sombra dos determinantes, pois alguns
matemáticos da época como Sylvester ainda via as matrizes como meros
ingredientes dos determinantes.
Conforme o texto do site www.expoente.com.br o primeiro a lhes dar um
nome foi Cauchy, por volta de 1826, ele as chamou de tableau, que significa tabela.
O nome matriz só veio com James Joseph Sysvester, 1850. Seu amigo
Cayley, com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices, 1858, divulgou esse
nome e começou a demonstrar sua utilidade.
Conforme o dicionário Mirador (1992, p.112) matriz significa: “...2. lugar
onde alguma coisa se gera ou cria. 3. Aquilo se gera. ... 7. Número complexo cujos
termos, agrupados em quadro retangular, permitem operações algébricas, aplicáveis
sobretudo á teoria do átomo...”
16
Atualmente, as matrizes são muito utilizadas em várias áreas de
conhecimento. Suas aplicações se dão na Matemática, Física, Engenharia e
Computação.
3.1.1 Surgimento dos Primeiros Resultados da Teoria das Matrizes
Costuma-se dizer que um primeiro curso de Teoria da Matrizes – ou de
sua versão mais abstrata, a Álgebra Linear – deve ir no mínimo até o Teorema
Espectral. Pois bem, esse teorema e toda uma série de resultados auxiliares já eram
conhecidos antes de Cayley iniciar a estudar as matrizes como uma classe notável
de objetos matemáticos.
Como se explica isso? Esses resultados, bem como a maioria dos
resultados básicos da Teoria das Matrizes, foram descobertos quando os
matemáticos dos séculos XVIII e XIX passaram a formas através da notação e
metodologia matricial, mas naquela época elas eram tratadas escalarmente.
Mostremos aqui a representação de uma forma quadrática de duas
variáveis, tanto via notação escalar com a mais moderna notação matricial:
Q(x,y)=ax² + 2bxy + cy² = x y a b x
·
·
ac y
O primeiro uso implícito da noção de matriz ocorreu quando Lagrange C.
1790 reduziu a caracterização dos máximos e mínimos, de uma função real de
várias variáveis, ao estudo do sinal da forma quadrática associada à matriz das
segundas derivadas dessa função. Sempre trabalhando escalarmente, ele chegou à
conclusão que hoje expressamos em termos de matriz positiva definida. Após
17
Lagrange, já no século XIX, a Teoria das Formas Quadráticas chegou a ser um dos
assuntos mais importantes em termos de pesquisa, principalmente no que toca ao
estudo de seus invariantes. Essas investigações tiveram como subproduto a
descoberta de uma grande quantidade de resultados e conceitos básicos de
matrizes.
Assim que podemos dizer que a Teoria das Matrizes teve como a mãe a
Teoria das Formas Quadráticas, pois que seus métodos e resultados básicos foram
lá gerados. Hoje, contudo, o estudo das formas quadráticas é um mero capítulo da
Teoria das Matrizes.
3.2 Definições e Conceitos de Matrizes
Matriz é um conjunto de números dispostos em m linhas e n colunas.
Dizemos que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n).
Uma matriz A de ordem m x n, pode ser indicada como A=(aij)mxn, onde
ali é o elemento da linha i e coluna j da matriz.
3.2.1 Tipos de Matrizes
1) Matriz linha: possui apenas 1 (uma) linha;
2) Matriz coluna: possui apenas 1 (uma) coluna;
3) Matriz quadrada: possui o mesmo número de linhas e de colunas;
4) Matriz diagonal: é uma matriz quadrada que possui os elementos da
diagonal principal diferentes de zero e os demais elementos iguais a
zero;
18
5) Matriz identidade: é uma matriz diagonal que possui os elementos da
diagonal principal iguais a 1 (um) e os demais elementos iguais a zero;
6) Matriz nula: possui todos os elementos iguais a zero;
7) Matriz triangular superior:
é uma matriz quadrada em que os
elementos localizados abaixo da diagonal principal são nulos;
8) Matriz triangular inferior: é uma matriz quadrada em que os elementos
localizados acima da diagonal principal são nulos.
3.2.2 Operações com Matrizes
As operações possíveis de serem realizadas entre duas ou mais matrizes
são a adição, subtração, multiplicação e transposição.
3.2.3 Adição e Subtração de Matrizes
Para somarmos ou subtrairmos duas matrizes basta que somemos ou
subtraiamos os seus elementos de mesma posição. Nas operações de adição e
subtração de matrizes só podemos somar ou subtrair matrizes de mesma ordem 18
matriz resposta terá a mesma ordem das matrizes somadas ou subtraídas. Desta
forma, a soma A(m x n) + B(m x n)= C(m x n).
3.2.4 Propriedades da Soma entre Matrizes
a) Comutativa: A + B = B + A
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b) Distributiva: (A + B) + C = A + (B + C)
c) Matriz Neutro: A + 0 = 0 + A = A
d) Matriz Inversa: A + (-A) = (-A) + A = 0
3.2.5 Multiplicação de Matrizes
Separamos a multiplicação de matrizes em dois casos: multiplicação de
um número real por uma matriz e multiplicação de matrizes entre si.
3.2.6 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
Para multiplicarmos um número real por uma matriz, basta que cada
elemento da matriz seja multiplicado pelo número real em questão.
3.2.7 Propriedades da Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
a) k. (n. A) = (k.n).A
b) (k+n). A = k.A + n.A
c) k.(A + B) = k.A + k.B
d) 1.A = A
e) 0.A = A
f) K.0 = 0
3.2.8
Multiplicação entre Matrizes
20
Para que exista o produto de duas matrizes A e B, o número de colunas
de A, tem que ser igual ao número de linhas de B. Logo, a matriz resposta terá o
número de linhas de A e o número de colunas de B, assim, A(m x n) x B(n x q) =
C(m x q).
3.2.9
Propriedades do Produto ente Matrizes
a) A.B é diferente de B.A
b) (A.B).C = A.(B.C)
c) C.(A + B) = C.A + C.B
d) (A + B).C = A.C + B.C
e) A.I = I.A
f) A.0 = 0
3.2.10 Matriz Transposta
A matriz transposta é conseguida quando trocamos linhas por colunas e
vice-versa.
3.2.11 Propriedades da Matriz Transposta
a) (A)
t
=A
t
t
b) (A + B) = A + B
t
c) (n.A) = n.A
t
t
t
t
d) (A.B) = B . A
t
21
t
e) no caso de matrizes quadradas, se A = A, então dizemos que a matriz
A é simétrica
t
f) ainda para matrizes quadradas, se A = -A, dizemos que a matriz A é
anti-simétrica
t
g) sendo A uma matriz anti-simétrica, temos que A + A = 0 (matriz nula)
3.2.12 Matriz Inversa
Chamamos de matriz inversa á matriz quadrada de ordem n que, ao ser
multiplicada pela matriz inicial, resulta na matriz identidade, ou seja: A . A
= In
3.3 Problemas Envolvendo Matrizes
Os problemas propostos estão direcionados conforme a realidade de
Osório/RS, que por sua vez é uma cidade que possui muitas lagoas e com isto a
exploração do comércio de areias acarreta um grande número de jazidas. As jazidas
aqui citadas serão identificadas por letras maiúsculas.
Osório é uma cidade que possui uma agricultura de arroz muito forte,
onde há muitas terras, conforme será mostrado no exemplo 2, com isso há muitas
vendas de hectares de terras.
3.3.1 Adição de Matrizes
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1) Na época de final de ano a Polícia Rodoviária Federal de Osório/RS,
faz uma contagem de quantos veículos trafegam passando por Osório/RS. O
registro aqui abordado é realizado no fim de semana de Natal e do Ano Novo
durante três dias consecutivos: Quinta-feira, Sexta-feira e Sábado, em dois horários
classificados de maior índice de tráfego de veículos pela PRF/RS, que são das 13
horas às 14 horas e das 19 horas às 20 horas, conforme mostram as tabelas abaixo:
Tabela 1 – Registro de maior índice de tráfego (Matriz Natal)
Hora
13H – 14H 19H – 20H
Dia
Quinta- feira
Sexta- feira
Sábado
300
800
900
630
1560
1800
Fonte: Sabrina Inês Batista
Tabela 2 – Registro de maior índice de tráfego (Matriz Ano Novo)
Hora
13H – 14H 19H – 20H
Dia
Quinta- feira
Sexta- feira
Sábado
432
953
2040
660
3840
2880
Fonte: Sabrina Inês Batista
Qual o número total de carros que passou pela cidade de Osório/RS nos
dois finais de semana, conforme a contagem realizada pela PRF/RS?
Solução:
Com este tipo de problema, conseguimos introduzir o conceito de adição
de matrizes com a realidade local, sem a formalidade do conceito abstrato em si.
Assim é possível que o aluno possa relacionar a aplicação real com o conceito
formal (muitas vezes abordado abstratamente).
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O próprio aluno será capaz de adicionar as duas matrizes sem conhecer o
significado da definição do conceito de adição de matrizes.
Logo, o número total de veículos que passaram por Osório, onde a Polícia
Rodoviária Federal (PRF) coletou os dados é a soma das duas matrizes.
Então, temos:
300
630
800
1.560
900
1.800
+
432
660
953
3.840
2.040
2.880
=
732
1.290
1.753
5.400
2.940
4.680
Claro, que sabemos que entrarão mais carros para o Litoral Norte do Rio
Grande do Sul, entre os horários que os dados não foram coletados.
Com este tipo de problema, podemos explorar outras idéias, como por
exemplo:
a) Quantos carros passam por minuto no posto da PRF/RS?
b) Qual seria a matriz minuto nesses dias e nesses horários?
c) Qual a média de pessoas que se direcionam para o Litoral Norte, se a
média de pessoas por carro é de três?
d) Como fica a rede de esgoto das cidades litorâneas?
As matrizes são instrumentos matemáticos que facilitam o manuseio dos
números distribuídos em tabela, oferecendo uma organização dos dados recolhidos,
mostrando uma visão mais ampla e concreta do que está acontecendo a nossa
volta. Com isso podemos programar, fazer planos para melhorar a qualidade de vida
da região, onde é possível valorizar os empreendimentos característicos de uma
determinada região.
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Osório, contudo é uma cidade de passagem e por ela passam milhares de
pessoas em épocas festivas principalmente, e por que não incentivar a população a
realizar trabalhos com dados matematicamente reais?
Portanto conseguimos ver que quando formulamos problemas que
envolvem a realidade local, ampliamos o conhecimento e abrimos fronteiras para os
nossos alunos, mostrando que a matemática surgiu no mundo para solucionar
problemas reais e cotidianos.
2) Considerando as produções de sorvete de quatro sabores de uma
sorveteria artesanal nos meses de dezembro, janeiro e fevereiro, que são
distribuídos em 3 potes diferentes com os seguintes pesos 500 ml, 1000ml e
2000ml. Qual seria a produção total dos três meses?
Tabela 3 – Produção de Dezembro
Sabores
Chocolate Morango Creme Flocos
Potes
500
1000
2000
Sabrina Inês Batista
131
89
50
200
75
50
150
60
50
205
80
50
Tabela 4 – Produção de Janeiro
Sabores
Chocolate Morango Creme Flocos
Potes
500
1000
2000
150
73
610
250
100
70
175
114
50
193
32
65
Fonte: Sabrina Inês Batista
Tabela 5 – Produção de Fevereiro
Sabores Chocolate Morango Creme Flocos
25
Potes
120
43
32
500
1000
2000
Fonte: Sabrina Inês Batista
80
25
28
65
32
41
31
17
18
3) Uma indústria automobilística produz dois modelos, nas cores azul,
verde e branco, nos meses de agosto e setembro, conforme mostra as tabelas
abaixo:
Tabela 6 - Agosto
Modelo
A
Cor
Azul
Verde
Branco
B
200 190
180 150
120 100
Fonte: Sabrina Inês Batista
Tabela 7 - Setembro
Modelo
A
B
Cor
Azul
Verde
Branco
220 205
210 170
130 110
Fonte: Sabrina Inês Batista
Qual a produção total desses meses?
4) Para facilidade de cálculo e entendimento, uma loja vende quatro tipos
diferentes de mercadorias (a, b, c, d) e que o programa de controle de estoque
dessa loja seja matricial.
a) Que matriz quadrada representaria o estoque mensal inicial, sabendo
que no dia primeiro do mês havia 80 unidades de a, 50 unidades de b,
35 unidades de c e 50 unidades de d?
26
b) Que matriz quadrada V representaria a venda mensal, supondo que
naquele mês o movimento foi de 70 de a, 60 de b, 20 de c e 35 de d?
c) Que matriz quadrada C representaria as compras mensais para
reposição de estoque, supondo que naquele mês as compras foram 90
de a, 50 de b, 20 de c e 45 de d?
3.3.2 Multiplicação de um Número Real por uma Matriz
1) Suponhamos que uma empresa produz três sabores de sorvete e cada
sabor tem os seguintes ingredientes, conforme mostra a tabela abaixo:
Tabela 8 – Matriz Sabor
Ingredientes
Leite
Sabor
(litros)
Chocolate
Creme
Flocos
20
40
15
Chocolate Baunilha
(I)
(mg)
700
0
450
0
500
40
Liga
(mg)
10
14
8
Fonte: Sabrina Inês Batista
Para aumentar a produçao de sorvetes em 40%, quanto será preciso de
cada ingrediente?
Solução:
Um aumento de 40% significa multiplicar os valores dos elementos por
0,40.
Aumentar em 40% um valor é somar a ele 40% do seu próprio valor. Daí:
s = sorvete
s
aumentar 40%
s + 40%s = s + 0,4s
= s (1 + 0,4)
= 1,4.s
27
Logo, devemos multiplicar o valor inicial de cada ingrediente por 1,4.
Então temos:
1,40 x
20
700
0
10
40
0
500
14
15
450
40
8
=
28
980
0
14
56
0
700
19,6
21
630
56
11,2
2) Para produzir um aparelho eletrodoméstico, uma indústria gasta 5
peças de tipo a, 3 do tipo b, 1 do tipo c e 4 do tipo d. Supondo que o estoque da
empresa no início do mês fosse 7000 peças de a, 4000 de b, 1500 de c e 5000 de d,
responda:
a) Qual é a matriz estoque inicial e qual é a matriz C, peças consumidas
por um aparelho?
b) Qual é a equação matricial que representa a matriz estoque e do
número x de aparelhos produzidos por mês?
c) Supondo que a indústria produziu no mês 1000 aparelhos, qual é o
estoque, sem reposição, dessas peças no final do mês?
3.3.3 Multiplicação de Matrizes
1) Uma doceira produz negrinho e branquinho. Para fazer negrinho
precisam de uma lata de leite condensado, uma xícara de açúcar, uma colher de
manteiga e uma xícara de Nescau. E o branquinho uma lata de leite condensado,
uma xícara de açúcar e três colheres de manteiga. Com esta receita ela consegue
fazer 60 unidades de cada doce.
28
Tabela 9 – Matriz Ingredientes
Doces
Negrinho Branquinho
Ingredientes
400
45
20
45
Leite condensado (mg)
Açúcar (g)
Manteiga (g)
Nescau (g)
400
45
60
0
Fonte: Sabrina Inês Batista
Em dezembro foram encomendados 1250 negrinhos e 1100 branquinhos.
Em novembro 500 negrinhos e 450 branquinhos. Qual será o número necessário de
ingredientes para produzir a encomenda?
Tabela 10 – Matriz Quantidade
Mês
Novembro Dezembro
Doces
Negrinho
Branquinho
500
450
1250
1100
Fonte: Sabrina Inês Batista
Solução:
a) Precisa ver quantas receitas precisará para conseguir entregar a
encomenda.
Negrinho:
Branquinho:
500% 60
9
1.250% 60
21
450% 60
8
1.100% 60
19
Tabela 11 – Matriz Receita
Mês
Novembro Dezembro
Receita
Negrinho
Branquinho
9
8
21
19
29
Fonte: Sabrina Inês Batista
b) Multiplica-se a matriz ingrediente pela matriz receita:
400
400
9
21
6.800
16.000
45
45
8
19
765
1.800
20
20
660
1.560
45
0
405
945
x
=
c) A matriz resposta é a matriz ingrediente/receita.
Tabela 12 – Matriz Ingredientes/Receita
Receita
Negrinho Branquinho
Ingredientes
Leite condensado (mg)
Açúcar (g)
Manteiga (g)
Nescau (g)
6.800
765
660
405
16.000
1.800
1.560
0
Fonte: Sabrina Inês Batista
2) A tabela a seguir mostra nas linhas os sabores de sorvete mais
consumidos e nas colunas o número de consumidores durante o verão de 2002 até
o verão de 2004.
Tabela 13 – Matriz Sorvete/Ano
Ano
Sorvete
Flocos
2002
2003
2004
3.825 2.548 2.977
30
2.198 2.210 3.123
5.617 3.808 4.028
1.445 1.766 2.738
Creme
Chocolate
Morango
Fonte: Sabrina Inês Batista
A matriz anterior pode ser multiplicada por uma matriz que traga o valor
de cada sabor de sorvete, para obterem os valores arrecadados em cada um deles.
Podem também ser multiplicada por uma matriz que indique o valor das
diferentes formas de vender o sorvete, por exemplo, que indique o preço da
casquinha, o preço do copinho, o preço do cascão e o preço da cestinha.
Contudo podemos observar que se pode adequar os problemas com a
nossa realidade local, motivando cada vez mais os alunos para aprender a
matemática.
3) Uma indústria fabrica três modelos diferentes de televisores. A tabela
14 mostra o número de teclas e alto-falantes usados em cada aparelho, A, B e C, e
a tabela 15 mostra produção que a fábrica planeja fazer para os mesmos de
novembro e dezembro:
Tabela 14 – Matriz Componente
Aparelho
A
Componentes
Teclas
Alto-falantes
Fonte: Sabrina Inês Batista
B
C
10 12 15
2 2 4
Tabela 15 – Matriz Modelo
Mês
Novembro Dezembro
Modelo
31
A
B
C
800
1.000
500
2.000
1.500
1.000
Fonte: Sabrina Inês Batista
Quantas teclas e quantos alto-falantes serão necessários para a produção
dos dois meses?
3.3.4 Matriz Inversa
Segundo Di Pierro Netto (200) podemos conferir o problema abaixo:
1) Com o advento da Internet como meio de comunicação, em algumas
áreas, para que uma mensagem possa ser enviada com segurança, ela é codificada.
Uma forma de codificar uma mensagem é utilizando matrizes e suas
inversas.
As letras do alfabeto podem ser associadas a números, como 0 para o
espaço em branco, 1 para a letra A, 2 para a letra B, e assim sucessivamente.
Então, a mensagem pode ser transformada numa seqüência numérica, no caso,
uma matriz B.
O que se faz: multiplica-se uma matriz A inversível pela matriz B, obtendose a matriz AB. A mensagem é enviada na forma da matriz AB. O receptor dessa
-1
mensagem precisará ter a matriz A
para, multiplicando
decodificar a mensagem enviada, pois:
A x (AB) = B (matriz original da mensagem).
Observe o seguinte exemplo:
-1
A
pela matriz AB,
32
Seja A = 1
2
a matriz codificada de mensagens
2
3
Sua inversa é dada
-1
Por = A x A =
2
3
c
d
0
1
1
2 .
a
b =
1
0
-1
A =
2
-1
-3
2
A mensagem a ser codificada é “Em Estudo Matrizes”, que colocada na
forma de matriz dará:
E
U
E
S
T
U
D
O
M
A
T
R
I
Z
E
S
5
21
5
19
20
21
4
15
13
1
20
18
9
29
5
19
5
B=
21
13
5
19
20
21
4
15
1 20
18
9
26
5
19
A mensagem codificada (matriz ab) que será enviada via Internet será:
A.B=
=
1
2
2
3
.
5
21
5
19
20
21
4
15
13
1
20
18
9
26
5
19
31
23
45
38
73
14
53
49
45
70
92
67
120
87
33
Ou seja: 31, 23, 45, 55, 38, 73, 14, 53, 49, 49, 45,..., 23, 87.
O receptor da mensagem, de posse da matriz inversa A
-1
multiplicará a
matriz inversa por AB, obtendo B (mensagem original)
-1
A
AB =
=
Como
-3
2
2
-1
5
21
13
1
31
23
45
55
38
73
14
53
49
45
70
92
67
120 23
87
.
5
20
19
18
20
9
21
26
4
5
15
19
que é a mensagem original
o microcomputador realiza as operações com muita rapidez
podemos enviar grandes mensagens codificadas.
Tanto que alguns sistemas de segurança são matriciais.
Sugiro também outro problema com um contexto diferente.
2) Uma filial de uma rede de escolas precisa enviar, pela Internet, as
notas de seus alunos por meio de uma matriz N. por segurança, multiplica a matriz
N pela matriz A =
4 1
-3 -1
codificadora. Calcule a matriz inversa de A e verifique
qual das matrizes a seguir, já codificadas, é a que representa a de maior nota.
(Adoramos: (espaço, 0); (A,1); (B,2),...)
4 MÉTODO HÚNGARO
34
Neste capítulo estudaremos o teorema da alocação ótima.
Para aplicar este teorema é necessário conhecer o Método Húngaro, que
é um procedimento de cinco passos. Aqui apresentaremos o método de acordo com
os problemas citados por Anton, transferindo-os para a realidade local.
Com dois problemas citados neste capítulo é possível compreender como
é desenvolvido este método.
Problema 1
Existem 4 (quatro) jazidas, chamadas A, B, C e D localizadas em lugares
diferentes. Cada jazida tem uma escavadeira. As escavadeiras devem ser
transportadas 4 (quatro) diferentes locais de construção. As distâncias entre as
escavadeiras e os locais de construção são dadas em quilômetros, conforme a
tabela abaixo:
Jazida
Quadro 1 – Local de Construção
1
2
3
4
A 90 75 75 80
B 35 85 55 65
C 125 95 90 105
D 45 110 95 115
Fonte: Sabrina Inês Batista
Como devem ser transportadas as escavadeiras para os locais de
construção para minimizar a distância total percorrida?
Para resolver este tipo de problema usamos o seguinte teorema:
4.1 Teorema Alocação Ótima
35
Se um número é somado ou subtraído de todas as entradas de uma linha
ou coluna de uma matriz-custo, então uma alocação de tarefas ótima para a matrizcusto resultante é também uma alocação de tarefas ótima para matriz-custo original.
Definição 1: dada uma matriz-custo C de ordem n x n, uma alocação de
tarefas é um conjunto de n entradas da matriz tais que não há duas da mesma linha
ou coluna.
Uma alocação ótima é definida como segue.
Definição 2: a soma das n entradas de uma alocação é chamada o custo
da alocação. Uma alocação com o menor custo possível é denominada uma
alocação ótima.
Para resolver o problema acima é necessário definir a matriz-custo, que
para este problema é a matriz 4 x 4.
90
75
75
80
35
85
55
65
125
95
90
105
45
110
95
115
Para aplicar este teorema é preciso conhecer o Método Húngaro, que é
um procedimento de cinco passos a uma dada matriz-custo. O Método Húngaro só
vale para matriz-custo de ordem n x n.
4.2 Método Húngaro
36
1) Com a matriz-custo subtraímos a menor entrada de cada linha de
todas as entradas da mesma linha.
2) Subtraímos a menor entrada de cada coluna de todas as entradas da
mesma coluna.
3) Riscamos um traço ao longo de linhas e colunas de tal modo que
todas as entradas zero da matriz-custo são riscadas e utilizando um número mínimo
de traços. Existem métodos computacionais que fazem isto, mas em matrizes de
ordem pequena, conforme, o exemplo podemos fazer o processo manualmente.
4) Teste de Otimilidade
(i)
se o número mínimo de traços necessários para cobrir os
zeros é n, então uma alocação ótima de zeros é possível e
encerramos o procedimento.
(ii)
se o número mínimo de traços necessários para cobrir os
zeros é menor do que n, então ainda não é possível uma
alocação ótima de zeros. Continue com o passo 5.
5) Determinamos a menor entrada não riscada por nenhum traço.
Subtraímos esta entrada de todas as entradas não riscadas e depois a some a todas
as entradas riscadas tanto horizontal quanto verticalmente. Retornamos ao passo 3.
4.2.1 Vamos Resolver agora o Problema 1, conhecido o Método Húngaro
Existem quatro jazidas, chamadas A, B, C e D localizadas em lugares
diferentes. Cada jazida tem uma escavadeira. As escavadeiras devem ser
transportadas a quatro diferentes locais de construção. As distâncias entre as
37
escavadeiras e os locais de construção as dadas em quilômetros, conforme a tabela
abaixo:
Quadro 2 – Local de Construção
1
2
3
4
A 90 75 75 80
B 35 85 55 65
C 125 95 90 105
D 45 110 95 115
Jazida
Fonte: Sabrina Inês Batista
Como devem ser transportadas as escavadeiras para os locais de
construção para minimizar a distância total percorrida?
Solução: aplicação do Método Húngaro
1. Temos a matriz-custo de acordo com o problema. Subtraímos o menor
número (menor entrada) de cada linha.
90
75 75 80
1ª linha = -75
15
35
85 55 65
2ª linha = -35
125
95 90 105
3ª linha = -90
35
45 110 95 115
4ª linha = -45
0
0
0
5
0 50 20 30
5
0 15
65 50 70
Todas as linhas já contêm entradas zero.
Só falta a 4ª coluna ter entrada zero.
15
0
35
0
0
0
5
50 20
30
5
0
15
65 50
70
15
4ª coluna = -5
0
0
0 50 20
25
35
0
5
0
10
0 65 50
65
38
2. Riscamos
as entradas zero da matriz com um número mínimo de
traços horizontais e verticais.
15
0
0
0
0
50
20
25
35
5
0
10
65
50
65
0
Como o número de traços é 3 e n = 4, então o número de traços é
diferente da ordem da matriz (t = n), logo não é possível ter uma alocação ótima de
zeros, pois devemos ter t = n.
Subtraímos 20 de todas as entradas não riscadas e somamos 20 às duas
entradas riscadas por 2 traços.
15
+
0
35
0
0
0
5
50 20 30
+
5
40
0
5
0
0 30
0
5
0 10
55
65 50 65
0
5
0 10
45 30 45
Como o número de traços continua sendo 3, subtraímos 5 (menor
entrada) de todas as entradas não riscadas e somamos 5 às duas entradas riscadas
por dois traços.
39
35
+
0
55
+
o
0
0
5
30
20
5
5
0
10
45
30
45
40
0
5
0
0 25
0
0
0
5
55
0
0 40 30 40
Agora o número de traços é igual a n, então a matriz deve conter uma
alocação ótima de zeros.
3. Por tentativa e erro, nós podemos encontrar as seguintes alocações
ótimas de zeros.
Jazida
Quadro 3 – Local de Construção
1
2
3
4
Resulta
A
90
75
75
80
B
35
85
55
65
C 125
95
90 105
D
45
110 95 115
40
0
55
0
Fonte: Sabrina Inês Batista
1ª opção: Jazida A
construção 4
80 +
Jazida B
construção 3
55 +
Jazida C
construção 2
95 +
Jazida D
construção 1
2ª opção: Jazida A
construção 2
75
Jazida B
construção 4
65 +
45 +
_____________
275 kilômetros
0
25
0
40
5
0
0
30
0
0
5
40
40
Jazida C
construção 3
Jazida D
construção 1
90 +
45 +
_____________
275 Kilômetros
Vamos sugerir um outro problema que utiliza o Método Húngaro com
outro contexto relatando a realidade local do comércio de areias.
Problema 2
Um negociante de terrenos vai vender 3 terrenos num leilão eletrônico.
Ele recebe propostas para cada um dos terrenos de 4 interessados, mas estes
interessados afirmam que podem honrar no máximo uma das propostas. As
propostas estão na tabela, os valores são de mil reais:
Interessados
Quadro 4 – Propostas
1 2 3 Fictício
A 15 25 20
25
B 19 23 12
12
C 20 30 15
30
D 20 50 30
30
Fonte: Sabrina Inês Batista
Como o negociante deveria alocar os quatro terrenos para maximizar a
soma das propostas correspondentes?
Observe que deve ser acrescentada uma coluna de terreno fictício para
obter uma matriz-custo quadrada. O interessado que receber o terreno fictício não
recebe nenhum terreno real.
41
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Conforme o objetivo geral do trabalho esta pesquisa procurou abranger
mais problemas reais e práticos, que possuem uma aplicação imediata sobre o
conteúdo de matrizes para que possa enriquecer nossas aulas. Assim o aluno,
mesmo que não goste de estudar matemática, poderá relacionar o conteúdo formal
com a realidade em que vive.
Embora, acredite que as matrizes sejam aplicáveis a muitas áreas e em
muitas profissões, restringimos as aplicações propostas neste trabalho às mais
adequadas à região de Osório/RS.
Os problemas elaborados, foram desenvolvidos a partir da realidade local,
situado em Osório, Rio Grande do Sul. Como já citado, Osório é uma cidade de
muitas lagoas, terras em grande quantidade que são muito aproveitadas para o
cultivo e plantio de arroz. É também uma cidade de passagem, por onde trafegam
muitos veículos diariamente e principalmente em datas festivas como Natal, Ano
Novo, Carnaval e feriados em geral, por estar localizada em um ponto estratégico
para quem deseja se deslocar para o Litoral Norte do Rio Grande do Sul, para Santa
Catarina ou outros Estados do Brasil.
Formulando problemas desenvolvidos para a realidade local, podemos
explorar muitas idéias para nossos alunos em relação à qualidade de vida. Contudo
a matemática não é uma disciplina que está somente dentro da sala de aula,
conseguimos ver que ela realmente pertence ao nosso cotidiano, e com isso
podemos nos preparar para o futuro, buscando uma vida de qualidade em todos os
42
sentidos, com base em fatos reais, planejando e traçando uma meta para nossas
vidas.
43
REFERÊNCIAS
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[s.d.].
DANTE, Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2 ed.
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Campinas: Papirus, 1996.
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Núcleo Integrador Matemática Curso de Complementação para Licenciatura:
.Metodologia de Matemática. [s.ed.]. Florianópolis: UFSC/LED, 2002. 104 p. 54-59.
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Matemática no fracasso do ensino? In: Revista Educação Matemática. [s.I.]:
[s.ed.], p. 27.2003.
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44
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TROTTA, FERNANDO. Matemática por assunto. v. 5. São Paulo: Scipione, 1988.