Geometria Riemanniana
Ficha 11
A entregar ate a aula de Terca-feira dia 5 de Dezembro
1. Calcule a curvatura de Gauss S 2 , usando coordenadas esfericas, sem recorrer as equaco~es
de estrutura de Cartan.
2. Use as equaco~es de estrutura de Cartan para calcular a curvatura de Gauss do plano hiperbolico, i.e. do semiplano superior H = f(x; y ) 2 R2 : y > 0g com a metrica
1
g = 2 (dx
y
dx + dy dy):
S 1 equipada com a metrica Riemanniana
g = dr dr + f 2 (r)d d;
onde r e uma coordenada local em I R e e a coordenada angular usual em S 1 .
3. Considere M
=
I
(a) Calcule a curvatura de Gauss desta metrica.
(b) Para que funco~es f (r) e a curvatura escalar constante?
N~
ao precisam de entregar:
S 2 equipada com a metrica Riemanniana
g = A2 (r)dr dr + r2 d d + r2 sin2 d' d';
onde r e uma coordenada local em I R e (; ') s~ao coordenadas esfericas em S 2 .
4. Considere M
=
I
(a) Calcule o tensor de Ricci e a curvatura escalar desta metrica.
(b) O que acontece quando A2 (r) = (1 r2 ) 1 ? E quando A2 (r) = (1 + r2 ) 1 ?
(c) Para que funco~es A(r) e a curvatura escalar constante?
5. Seja M a imagem da parametrizac~ao ' : (0; +1) R ! R3 dada por
'(u; v ) = (u cos v; u sin v; v );
e seja N a imagem da parametrizac~ao
1) R ! R3 dada por
: (0; +
(u; v ) = (u cos v; u sin v; log u):
Considere em M e N as metricas Riemannianas induzidas pela metrica Euclidiana de
Mostre que a aplicac~ao f : M ! N denida por
f ('(u; v )) =
(u; v )
preserva a curvatura de Gauss mas n~ao e uma isometria local.
1
R3 .