Barbara Ryden, Capítulo 3
Resumo livre
3.1 – Princípio de Equivalência
Este princípio estabelece que um campo gravitacional é indistinguível de um
referencial sob aceleração, não-inercial. Analogamente, um referencial em
queda livre se comporta como um referencial inercial.
O exemplo clássico dessa equivalência é imaginar-se numa cabine sem
janelas e isolada, de cujo interior não se percebe nada do que ocorre no
exterior. Se sentimos que as coisas são aceleradas numa direção, somos
levados a crer que estamos em repouso na superfície de um objeto massivo,
como a Terra. Mas ao se abrirem as janelas percebemos que estamos
viajando pelo espaço intergaláctico, longe de qualquer concentração de
matéria. Necessariamente, deduzimos que a força peso sentida no interior da
cabine corresponde a uma força não-inercial, resultante de a cabine estar sob
aceleração com relação aos pontos do espaço à sua volta.
Essa incapacidade de se distinguir entre um referencial em repouso sob a
ação da gravidade e um sendo acelerado pelo espaço na ausência de matéria
só é possível pelo fato de que a massa inercial é igual à gravitacional. Ou
seja, a massa que caracteriza a resistência de um corpo a uma força (massa
inercial m_i) tem o mesmo valor do que a que produz o campo gravitacional
m_g. Não fosse esse o caso, poderíamos usar diferentes objetos, com
diferentes materiais e massas inerciais e dintinguir entre as duas situações,
pois objetos teriam m_i / m_g distintos. Dizer que m_i = m_g constitui,
portanto, numa formulação alternativa para o Princípio de Equivalência.
Note que o Princípio, ao falar da indistinguibilidade entre a presença de
gravidade num referencial em repouso e um referencial acelerado, tem
profundas implicações.
Sabemos que num referencial acelerado, um feixe de luz parecerá percorrer
uma trajetória curva. Sendo assim, pelo princípio de equivalência, essa deve
ser a trajetória da luz num referencial em repouso na presença de um objeto
massivo. Isso significa que o espaço na presença de massa tem curvatura. Na
verdade, a relatividade geral, que é também uma teoria de gravitação, lida
com um espaço-tempo curvo, enquanto que a gravitação clássica trata
espaço e tempo como variáveis separadas, sendo que o espaço é assumido
como tendo geometria plana, dita Euclidiana.
A luz, numa visão clássica, percorre o espaço vazio em trajetória retilínea. Para conciliar
esse resultado com a trajetória curva percorrida na presença de matéria, falamos que a luz
percorre uma geodésia, que é a menor trajetória ligando dois pontos num dado espaço.
No espaço Euclidiano, a geodésia se resuma a uma reta.
3.2 – Curvatura e métrica
Uma forma de quantificar a curvatura do espaço em grande escala é a de se
desenhar nele um grande triângulo, digamos com vértices na Via-Láctea, no
QSO 3C273 e no aglomerado de galáxias Abell 370. Nos posicionamos em
cada vértice do triângulão e determinarmos o ângulo entre as direções dos
outros dois vértices no céu (ou seja, o ângulo correspondente àquele vértice).
Aí somamos os 3 ângulos. Num espaço Euclidiano, essa soma seria 180
graus. Se o espaço tiver curvatura finita (o espaço plano tem raio de
curvatura infinito), essa soma vai ser diferente. Uma curvatura positva
(negativa) leva à soma > (<) 180 graus, de acordo com as fórmulas 3.8 e
3.10.
Uma outra forma de quantificar curvatura, essa na verdade mais completa, é
construindo o intervalo entre dois pontos próximos num dado espaço. Esse
intervalo (na verdade elevado ao quadrado) é dado por 3.6 e 3.7 para o caso
de um espaço plano. Para um espaço de curvatura positiva, como a superfície
de uma esfera (para usar um exemplo de 2D), temos que o intervalo é dado
por 3.9, enquanto que para uma curvatura negativa temos 3.11.
A extensão para o caso 3D dessas métricas é dada pelas expressões 3.12 (ou
3.13), 3.14 e 3.15, respectivamente para curvatura infinita, positiva e
negativa. Uma representação sintética dessas métricas é dada pelas
expressões 3.16 a 3.18, onde k é um parâmetro que quantifica a curvatura.
3.3 – Métrica de Robertson-Walker
As métricas relevantes para a relatividade não se limitam a intervalos
espaciais, mas se estendem a intervalos espaço-temporais. A relatividade
restrita, por exemplo, utiliza a métrica de Minkowski (3.20), onde vemos um
primeiro exemplo de inclusão da variável tempo em adição às 3 variáveis
espaciais. Fica fácil de ver, pelos argumentos em torno das expressões 3.21 a
3.23, que a luz tem um intervalo ds=0 nesta métrica, ou seja, ela descreve
uma linha geodésica nula.
Já a métrica de Robertson-Walker, dada por 3.24 (ou 3.25) é o caso mais geral
de um espaço-tempo homogêneo e isotrópico. Vemos nela a presença da
constante de curvatura k, além do fator de escal a(t) e do raio de curvatura
R_0. Vemos que esses parâmetros são suficientes para determinar a
geometria do espaço.
As coordenadas (r,theta,phi) são ditas co-móveis e não se alteram com a
expansão do Universo. O tempo é também uma coordenada da métrica e
parametriza a expansão. Como o universo é homogêneo e isotrópico, todos
os observadores devem ver a mesma sequência de eventos, de forma que
podemos falar de um tempo cósmico, compartilhado por todos os
observadores.
3.4 – Distância própria
Se consideramos a trajetória geodésica de uma partícula entre dois pontos,
ela deve preservar theta e phi (ou seja, dtheta=dphi=0), pois a menor
distância entre esses dois pontos será ao longo da coordenada radial r que os
liga. Assim, temos a definição de distância própria dada por 3.28 (ou 3.29),
que nada mais é do que a distância co-móvel r entre os dois pontos
multiplicada pelo fator de escala.
A Lei de Hubble resulta imediatamente ao derivarmos a distância própria no
tempo, conforme demonstrado pelas expressões 3.30 a 3.33
Note que velocidades de recessão (ou seja, a derivada espacial da distância
própria) podem superar c, pois elas são velocidades de dilatação do espaço
e não velocidades de partículas físicas no espaço.
Seja agora a trajetória de um fóton, com ds=0 e dtheta=dphi=0.
Contrariamente ao espaço de Minkowski, da RE, temos agora a inclusão do
fator de escala na relação entre dt e dr, conforme mostrado na expressão
3.38. Conforme o raciocínio que segue, dois máximos de onda emitidos por
uma fonte a uma distância co-móvel r de um observador, terão que preservar
o valor da integral sobre o tempo do lado esquerdo. Disso resulta uma
relação entre os comprimentos de onda emitido pela fonte, recebido pelo
observador e o fator de expansão nos instantes da emissão e recepção. Essa
relação é dada pela expressão 3.45 e pode ser re-escrita em função do
redshift z de acordo com 3.46.