Curso Wellington –Matemática – Permutação e Princípio Fundamental da
Contagem – Prof Hilton Franco
1.
Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de
Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser
produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo
aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última
deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não
podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova
poderão ser produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português,
qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A?
2. O perfil lipídico é um exame médico que avalia a dosagem dos quatro tipos principais de
gorduras (lipídios) no sangue: colesterol total (CT), colesterol HDL (conhecido como “bom
colesterol”), colesterol LDL (o “mau colesterol”) e triglicérides (TG). Os valores desses quatro
indicadores estão relacionados pela fórmula de Friedewald: CT = LDL + HDL + TG/5. A tabela
abaixo mostra os valores normais dos lipídios sanguíneos para um adulto, segundo o
laboratório SangueBom.
Indicador
CT
LDL
Valores normais
Até 200 mg/dl
Até 130 mg/dl
HDL
Entre 40 e 60 mg/dl
TG
Até 150 mg/dl
a) O perfil lipídico de Pedro revelou que sua dosagem de colesterol total era igual a 198 mg/dl,
e que a de triglicérides era igual a 130 mg/dl. Sabendo que todos os seus indicadores
estavam normais, qual o intervalo possível para o seu nível de LDL?
b) Acidentalmente, o laboratório SangueBom deixou de etiquetar as amostras de sangue de
cinco pessoas. Determine de quantos modos diferentes seria possível relacionar essas
amostras às pessoas, sem qualquer informação adicional. Na tentativa de evitar que todos
os exames fossem refeitos, o laboratório analisou o tipo sanguíneo das amostras, e detectou
que três delas eram de sangue O+ e as duas restantes eram de sangue A+. Nesse caso,
supondo que cada pessoa indicasse seu tipo sanguíneo, de quantas maneiras diferentes
seria possível relacionar as amostras de sangue às pessoas?
3. Uma rede é formada de triângulos equiláteros congruentes, conforme a representação
abaixo.
Uma formiga se desloca do ponto A para o ponto B sobre os lados dos triângulos, percorrendo
X caminhos distintos, cujos comprimentos totais são todos iguais a d.
Sabendo que d corresponde ao menor valor possível para os comprimentos desses caminhos,
X equivale a:
a) 20
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b) 15
c) 12
d) 10
4. A prefeitura de certo município solicitou ao Governo Federal uma verba para a execução
das seguintes obras:
• saneamento básico;
• calçamento de ruas;
• construção de uma escola;
• construção de uma creche;
• construção de casas populares.
O Governo Federal aprovou a concessão da verba solicitada, na condição de que fosse
estabelecida uma ordem na execução das obras, de modo que, tendo sido liberada a verba
para a primeira obra, a verba para a segunda só seria liberada após a conclusão da primeira, e
assim sucessivamente até a execução da última obra. Nesse contexto, considere o
planejamento feito pela prefeitura:
• a primeira obra escolhida foi a construção das casas populares;
• o calçamento das ruas só poderá ser executado com o saneamento básico concluído.
Atendendo às condições estabelecidas pelo Governo Federal e ao planejamento da prefeitura,
é correto afirmar que o número de maneiras possíveis e distintas para a realização dessas 5
obras é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
5. Considerando um sorteio de n objetos, sorteados um a um, em uma coleção de m objetos
distintos (onde m é estritamente maior que n, e ambos são maiores ou iguais a dois), analise as
afirmativas e conclua.
(
) Se o sorteio for feito sem reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios
possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração
(combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente maior que a
quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante
(arranjos).
(
) Se o sorteio for feito com reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios
possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração
(combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente maior que a
quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante
(arranjos).
(
) Se o sorteio for feito sem reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios
possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração
(combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente menor que a
quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante
(arranjos).
(
) Se o sorteio for feito com reposição dos objetos sorteados, a quantidade de sorteios
possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é levada em consideração
(combinações) é, independentemente dos valores de m e n, estritamente menor que a
quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos sorteados é relevante
(arranjos).
( ) Independentemente, se o sorteio for feito com ou sem reposição dos objetos sorteados, a
quantidade de sorteios possíveis nos quais a ordem dos elementos sorteados não é
levada em consideração (combinações) é, independentemente dos valores de m e n,
estritamente menor que a quantidade de tais sorteios nos quais a ordem dos elementos
sorteados é relevante (arranjos).
6.
a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem
repetição, entre 1, 3, 5, 6, 8, 9?
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b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são
divisíveis por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são
divisíveis por 4?
7.
Um grafo é uma figura constituída de um número finito de arestas ou arcos, cujas
extremidades são chamadas vértices. Em um grafo, a “ordem de um vértice” é o número de
extremidades de arestas ou arcos que se apoiam naquele vértice.
A figura 1 é um grafo cujos vértices A e C possuem ordem 3 (o vértice A é o apoio de um arco
cujas extremidades coincidem) e os demais vértices possuem ordem 2.
Além disso, dizemos que um grafo admite um “passeio de Euler” se existir um caminho do qual
façam parte todas as arestas ou arcos desse grafo, sendo possível desenhá-lo sem tirar o lápis
do papel e passando-o uma única vez em cada aresta ou arco. Na figura 1 é possível fazer um
“passeio de Euler” partindo-se apenas dos vértices “A” ou “C”. Por exemplo, um possível
“passeio” pode ser representado pela sequência de vértices dada por: AABCDEFC.
Consideres os grafos:
Os que admitem um “passeio de Euler” são apenas:
a) I e III.
b) I e IV.
c) I, II e V.
d) I, III e IV.
e) I, IV e V.
8.
Um marcador digital é formado por sete segmentos no formato de um 8. Para formar um
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símbolo, cada segmento pode ficar iluminado ou apagado, com pelo menos um segmento
iluminado.
Dizemos que um símbolo é conexo se não existe segmento iluminado isolado dos demais. Por
exemplo: os três símbolos representados na figura 1 a seguir são conexos e distintos; já o
símbolo da figura 2 não é conexo.
Os símbolos ilustrados têm, todos, três segmentos iluminados.
Desenhe TODOS os símbolos conexos formados por três segmentos iluminados.
9. No aniversário de 20 anos de uma escola, seu fundador fez a seguinte declaração:
“Nesses 20 anos, formamos 25 alunos que hoje são professores desta casa e 30
alunos que hoje são médicos. Entretanto, em nenhum ano formamos mais do que dois desses
médicos e nem mais do que três desses professores.”
É correto afirmar que, certamente,
a) em todos os anos formou-se pelo menos um dos professores.
b) em todos os anos formou-se pelo menos um dos médicos.
c) em pelo menos um ano não se formou nenhum médico e nenhum professor.
d) em pelo menos um ano formou-se pelo menos um médico e pelo menos um professor.
e) em pelo menos um ano formou-se pelo menos um médico e nenhum professor.
10.
Muitos consideram a Internet como um novo continente que transpassa fronteiras
geográficas e conecta computadores dos diversos países do globo. Atualmente, para que as
informações migrem de um computador para outro, um sistema de endereçamento
denominado IPv4 (Internet Protocol Version 4) é usado. Nesse sistema, cada endereço é
constituído por quatro campos, separados por pontos. Cada campo, por sua vez, é um número
inteiro no intervalo [0, 28 - 1]. Por exemplo, o endereço IPv4 do servidor WEB da UFF é
200.20.0.21. Um novo sistema está sendo proposto: o IPv6. Nessa nova versão, cada
endereço é constituído por oito campos e cada campo é um número inteiro no intervalo [0, 216 1].
Com base nessas informações, é correto afirmar que
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a) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o quádruplo do número de endereços
diferentes do sistema IPv4.
b) existem exatamente 4.(28 - 1) endereços diferentes no sistema IPv4.
c) existem exatamente 232 endereços diferentes no sistema IPv4.
d) o número de endereços diferentes no sistema IPv6 é o dobro do número de endereços
diferentes do sistema IPv4.
e) existem exatamente (28 - 1)4 endereços diferentes no sistema IPv4.
11. Dois times de basquete, cada um deles representando uma Etec, vão disputar um torneio.
As regras do torneio são as seguintes: o primeiro que ganhar dois jogos seguidos ou um total
de três jogos vence o torneio.
Por exemplo, considerando as Etecs A e B, tem-se que:
• se A vence o primeiro e o segundo jogos, então A vence o torneio ou
• se B vence o primeiro; A, o segundo; B, o terceiro; A, o quarto e B, o quinto jogo; então B
vence o torneio.
Supondo que não haja empates, o número de modos distintos pelos quais o torneio pode se
desenvolver até a final é
a) 12.
b) 10.
c) 6.
d) 5.
e) 3.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Uma máquina contém pequenas bolas de borracha de 10 cores diferentes, sendo 10 bolas de
cada cor. Ao inserir uma moeda na máquina, uma bola é expelida ao acaso.
Observe a ilustração:
12. Para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, o menor número de moedas a
serem inseridas na máquina corresponde a:
a) 5
b) 13
c) 31
d) 40
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Um país possui 1.000.000 de eleitores, divididos igualmente entre 10 estados. A tabela a seguir
mostra o resultado final da votação para a escolha do novo presidente, quando todos os
eleitores votaram.
Candidato
X
Percentual dos eleitores
52%
Y
25%
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Z
20%
Votos brancos e nulos
3%
13. Analisando o percentual de votos recebidos pelo candidato X na eleição, é correto afirmar
que
a) os votos recebidos por ele foram dados em pelo menos 6 estados diferentes.
b) ele foi necessariamente o mais votado em todos os estados do país.
c) ele necessariamente recebeu votos em todos os estados do país.
d) é possível que ele não tenha sido primeiro colocado em nenhum dos 10 estados.
e) é possível que ele não tenha recebido votos em 5 estados diferentes.
14. A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do
ponto A ao ponto B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos
sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O número de percursos
diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até B é:
a) 95 040.
b) 40 635.
c) 924.
d) 792.
e) 35.
15. João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes
da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por
exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele saíra da cidade A, visitando as cidades B, C, D,
E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras
informa o custo do deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento
entre cada uma das cidades.
Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar
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os cinco clientes.
Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os
trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1 min30s para examinar uma
sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as sequências possíveis no problema é
de
a) 60 min.
b) 90 min.
c) 120 min.
d) 180 min.
e) 360 min.
16. Observe a tirinha de quadrinhos, a seguir:
A Mônica desafia seus amigos, numa brincadeira de “cabo de guerra”.
Supondo que a posição da Mônica pode ser substituída por qualquer um de seus amigos, e
que ela pode ocupar o outro lado, junto com os demais, mantendo-se em qualquer posição, o
número de maneiras distintas que podem ocorrer nessa brincadeira será igual a
a) 60.
b) 150.
c) 600.
d) 120.
17. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 5 algarismos distintos. Entre
eles, são divisíveis por 5:
a) 120 números.
b) 30 números.
c) 60 números.
d) 20 números.
e) 180 números.
18. Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F).
(
(
) Sabe-se que uma matriz A é inversível se existir uma matriz B tal que AB = BA = In, onde
 11 7 
− 2
3 7 
2 

5 11 é a matriz  5
3



− 
 2
2  .
In é a matriz unidade de ordem n. A inversa da matriz
) Um restaurante típico da região do litoral oferece as seguintes entradas: casquinha de siri,
panqueca de siri, ostras, saladas, caranguejo. Os pratos principais são: peixe com
gengibre, indaiá, caldeirada, filé de linguado. As sobremesas disponíveis são bolinho de
polvilho, bolo de pinhão, mbojape (bolo de milho), canjica, arroz doce, milho. Com toda
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(
(
essa variedade, um cliente pode escolher de noventa formas diferentes uma entrada,
um prato principal e uma sobremesa.
) Se numa pesca típica no estuário de Guaratuba um pescador pesca seis garoupas, dois
robalos e dez betaras, e se um peixe destes for escolhido ao acaso, a probabilidade de
ele não ser betara é igual à probabilidade de ele ser robalo ou garoupa.
π 
 =
) É verdadeira a igualdade sen  8 
2+ 2
.
2
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.
a) V – F – V – F.
b) V – F – F – F.
c) V – F – V – V.
d) F – V – F – F.
e) F – V – V – V.
19. Identifique as afirmativas a seguir como verdadeiras (V) ou falsas (F).
(
(
 1− x 
f ( x ) = log 
 , então f ( 2 ) + f ( 3 ) = − log ( 6 ) .
 1+ x 
) Dada a função
 3
3
2
i são ± 
−i
.
 2
2 

) As raízes do número complexo 2 i são
( n!)
1
=
,
( 2n ) ! 10 n deve ser igual a 4.
2
(
) Para que
(
) É correta a igualdade
4 + 2 3 = 1 + 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta, de cima para baixo.
a) F – V – F – V.
b) V – F – F – V.
c) V – F – V – V.
d) V – V – V – F.
e) F – V – F – F.
20. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) Em O homem que calculava, de Malba Tahan, pseudônimo do professor Júlio César de
Mello e Souza, o leitor não somente aprende Matemática como também belos exemplos de
ensinamentos morais, apresentados ao longo das histórias que compõem o livro. Um dos
problemas mais conhecidos é o da divisão dos 35 camelos que deveriam ser repartidos por
três herdeiros, do seguinte modo: o mais velho deveria receber a metade da herança; o
segundo deveria receber um terço da herança e o terceiro, o mais moço, deveria receber
um nono da herança. Feita a partilha, de acordo com as determinações do testador, acima
17
referidas, ainda haveria a sobra de um camelo mais 18 de camelo.
02) Considere a operação Ψ que aplicada a um par (x, y) nos dá a raiz quadrada da soma de x
com y, ou seja, x Ψ y = x + y Se x = 3a  + 1 e y = a + 15 e aplicarmos a operação Ψ,
obteremos 2 a + 4 .
04) Na tabela seguinte está representada a distribuição, por turno, dos alunos da última fase do
curso de Matemática de uma universidade.
Diurno
Mulheres
9
Noturno
4
Homens
5
2
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Três alunos do curso são escolhidos ao acaso para formarem a comissão de formatura. A
probabilidade de que a comissão seja composta por duas pessoas do noturno e uma do
diurno é de 7/38.
08) Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma
2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino
Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as
medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56.
16) Formados e colocados em ordem alfabética os anagramas da palavra AMOR, a posição
correspondente à palavra ROMA é a 23ª.
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Gabarito:
Resposta
da
a) 14! versões diferentes da prova
b) As questões serão assim dispostas:
questão
1:
PPPPPPP MGMGGGM
PPPPPPP MGGMGGM
PPPPPPP MGGGMGM
PPPPPPP GMGMGGM
PPPPPPP GGMGMGM
PPPPPPP GMGGMGM
7! , 4!. 3! . 6 = 4.354.560
7!.4!.3!
6
=
35
c) P = 7!.7!
Resposta
da
questão
2:
198
mg
dL
a) Sabendo que a dosagem de colesterol total é igual a
e que a de
130
mg
dL,
triglicérides é igual a
temos:
130
⇔ HDL = 172 − LDL.
5
De acordo com a tabela, para indicadores normais devemos ter:
198 = LDL + HDL +
HDL = 172 − LDL
LDL ≤ 130
LDL ≤ 130
LDL ≤ 130
⇒ e
⇒ e
40 ≤ HDL ≤ 60
40 ≤ 172 − LDL ≤ 60
112 ≤ LDL ≤ 132
⇒ 112 ≤ LDL ≤ 130.
Portanto, o intervalo possível para o nível de LDL é [112, 130].
b) Sem qualquer informação adicional, é possível relacionar as amostras às pessoas de
P5 = 5! = 120 maneiras. Se cada pessoa indicasse seu tipo sanguíneo, seria possível relacionar
+
+
as amostras de sangue O de P3 = 3! = 6 maneiras, enquanto que as amostras de sangue A
poderiam ser relacionadas de P2 = 2! = 2 maneiras. Desse modo, pelo PFC, o resultado pedido
é 6 ⋅ 2 = 12.
Resposta
[B]
da
questão
3:
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O menor caminho será formado por dois lados inclinados (decidas) e quatro lados horizontais.
6!
P6 2, 4 =
2!.4! = 15
Resposta
[C]
da
questão
4:
4!
= 12
2
(foi divido por 2 pois o saneamento básico deve aparecer antes do calçamento)
Resposta
F F F V F.
da
questão
5:
(F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos;
(F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos;
(F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos;
(V) Verdadeiro.
(F) O número de combinações é menor ou igual ao número de arranjos.
Resposta
da
questão
6:
Resposta
[E]
da
questão
7:
Os únicos grafos que admitem um passeio de Euler são o I (ABCDEFA), o IV (CDEFDACBB)
e o V (DEFDABCA).
Resposta
da
questão
São 16 símbolos conexos com três segmentos iluminados.
8:
Resposta
[D]
9:
da
questão
Como em nenhum ano a escola formou mais do que 3 professores, em pelo menos 9 anos
foram formados professores.
Por outro lado, em nenhum ano a escola formou mais do que 2 médicos. Logo, em pelo
menos 15 anos foram formados médicos.
Portanto, como 9 + 15 = 24 > 20, temos que em pelo menos um ano formou-se pelo menos um
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médico e pelo menos um professor.
Resposta
[C]
da
questão
10:
8
8
8
Há (2 − 1) − 0 + 1 = 2 números inteiros no intervalo [0, 2 − 1]. Logo, pelo PFC, existem
8
8
8
8
32
exatamente 2 × 2 × 2 × 2 = 2 endereços diferentes no sistema IPv4.
Resposta
[B]
da
questão
11:
Há 10 modos distintos pelos quais o torneio pode se desenvolver:
AA
BB
BAA
ABB
BABB
ABAA
BABAB
ABABA
ABABB
BABAA
Resposta
[C]
da
questão
12:
Inserindo 3 × 10 = 30 moedas ainda teríamos a possibilidade de obtermos exatamente 3 bolas
de cada cor. Logo, para garantir a retirada de 4 bolas de uma mesma cor, deverão ser
inseridas 30 + 1 = 31 moedas.
Resposta
[A]
da
questão
13:
1000000
= 100.000
10
De acordo com o enunciado, cada estado do país possui
eleitores. Logo,
0,52
⋅
1000000
=
520.000
X
como o candidato
obteve
votos, pelo Princípio das Gavetas de
 520000 − 1

 +1= 6
Dirichlet, temos que ele recebeu votos em pelo menos  100000 
estados.
[x]
Obs.:
é o maior inteiro menor do que ou igual a x.
Resposta
[D]
D = para direita
da
questão
14:
C = para cima
Em qualquer caminho mais curto a pessoa terá que se deslocar 7 vezes para direita e 5 vezes
para cima, em qualquer ordem.
Exemplo DDCDCDDCCDCD
logo o número de percursos será dado por:
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P127,5 =
12!
= 792
7!.5!
Resposta
[B]
da
questão
15:
5! = 120 sequências possíveis para se visitar as 5 cidades. Desconsiderando as simétricas,
termos 60 sequências para visitar, logo o tempo necessário será de 1,5. 60 = 90 minutos.
Resposta
[D]
da
questão
16:
questão
17:
Cinco crianças para cinco posições.
P5 = 5! = 120
Resposta
[A]
da
O números divisíveis por 5, utilizando os algarismos acima, deverão terminar em 5.
Logo, teremos 5! números possíveis, isto é, 120.
Resposta
[A]
da
questão
18:
questão
19:
 −11 7 
3 1   2
2  =  1 0 

⋅


−3   0 1 
 5 11  5


 2
2 
(Verdadeira)
(Falsa) 5.4.6 = 120
(Verdadeira) eventos complementares.
(Falsa)
π
π
π
cos = cos 2 − sen 2
4
8
8
π
π
cos = 1 − 2sen2
4
8
2
π
= 1 − 2sen2
2
8
sen
π
=
8
2− 2
2
Resposta
[B]
da
1− 2
1− 3
1
 -1 
 -2 
+ log
= log   .log   = log = log6 −1 = − log6
1
+
2
1
+
3
3
4
6
 
 
(Verdadeira)
(o gabarito oficial
considerou esta questão como certa, mas não existe logaritmo de número negativo. A
passagem assinalada contraria a definição.
log
2
 3 i 3
3i
+

 =
2
2 
2
(Falsa) 
Página 13 de 15
4!
1
=
8!
1680
(Falsa) Fazendo n = 4 temos
( 1+ 3 )
(Verdadeira)
2
= 1+ 2 3 + 3 ⇔ 1+ 3 = 4 + 2 3
Resposta
01 + 04 = 05
da
1 1
35
1
35 –  +
+  35 =
2
3
9
18


01) (verdadeira), pois
02) (falsa) 3a + 1 + a + 15 = 4a + 16 = 4.(a + 4) = 2 a + 4
6.5
.14
7
2
=
20.19.18 38
2
04)(verdadeira)
08) (falsa) 8.7.6 = 336
16) (falsa) começando por:
A ---- 3!
M-----3!
O ----3!
RA ....2!
RM....2!
ROAM
ROMA (vigésima quarta posição)
questão
20:
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
20/09/2011 às 18:24
Permutação
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1..................101902.............Matemática.........Fuvest/2011............................Analítica
2..................102002.............Matemática.........Unicamp/2011.........................Analítica
3..................95132...............Matemática.........Uerj/2011................................Múltipla escolha
4..................104197.............Matemática.........Ufpb/2011...............................Múltipla escolha
5..................104575.............Matemática.........Upe/2011................................Verdadeiro/Falso
6..................101880.............Matemática.........Fuvest/2011............................Analítica
7..................106244.............Matemática.........Unesp/2011............................Múltipla escolha
8..................100665.............Matemática.........Ufrj/2011.................................Analítica
9..................102959.............Matemática.........Insper/2011.............................Múltipla escolha
10................100677.............Matemática.........Uff/2011..................................Múltipla escolha
11................101167.............Matemática.........G1 - cps/2011.........................Múltipla escolha
12................99052...............Matemática.........Uerj/2011................................Múltipla escolha
13................102933.............Matemática.........Insper/2011.............................Múltipla escolha
14................91012...............Matemática.........Unesp/2010............................Múltipla escolha
15................100313.............Matemática.........Enem/2010.............................Múltipla escolha
16................93665...............Matemática.........Uemg/2010.............................Múltipla escolha
17................97212...............Matemática.........Unemat/2010..........................Múltipla escolha
18................98447...............Matemática.........Ufpr/2010................................Múltipla escolha
19................98451...............Matemática.........Ufpr/2010................................Múltipla escolha
20................93388...............Matemática.........Ufsc/2010................................Somatória
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