GEOMETRIA DE POSIÇÃO OU
GEOMETRIA EUCLIDIANA
PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO;
PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS;
POSIÇOES RELATIVAS
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DE PONTO E PLANO
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO.
DETERMINAÇÃO DE PLANOS;
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA E UM PLANO;
POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO;
PARALELISMO;
PERPENDICULARIDADE.
GEOMETRIA EUCLIDIANA
HISTÓRIA
HISTÓRIA
PONTO, RETA E PLANO
De maneira geral e frequente, a sistematização de um
conhecimento pressupõe o estabelecimento de conceitos
iniciais já configurados, muitas vezes abstratos, mais
indispensáveis.
Na Geometria, por exemplo, não é diferente.
Aceitamos “sem muita resistência” as noções de ponto, retas e
plano que se dispõem num grande “palco” chamado espaço.
Esses elemenntos não possuem definição (são chamados
conceitos primitivos) e representam a “matéria-prima” com a
qual serão construídos os diversos conceitos geométricos.
PONTO
Foi descrito por Euclides
como “aquilo que não tem
partes”.
É aceito como um ente que
não tem dimensão, nem
massa e nem volume,
sendo, portanto,
adimensional.
É, normalmente,
representado por letras
maiúsculas do nosso
alfabeto.
RETA
O conceito de reta é aceito
como um ente
unidimensional, cuja única
dimensão é o comprimento.
A reta é entendida como um
ente sem espessura e sem
fim e, normalmente, é
representada por letras
minúsculas do nosso
alfabeto.
PLANO
A ideia de plano está
associada a um superfície
plana, sem espessura e sem
fronteiras.
O plano é bidimensional,
pois possui comprimento e
largura, portanto admite
duas retas perpendiculares.
Geralmente, é representado
por uma letra do alfabeto
grego.
ESPAÇO
Pode ser entendido como o
conjunto de todos os pontos.
É o mundo físico,
tridimensional por admitir
três retas perpendiculares
duas a duas.
Qualquer conjunto de
pontos, como triângulo,
cubo, pirâmide ou
qualquer outra figura
geométrica, é um
subconjunto do espaço
ou lugar geométrico do
espaço.
PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS
Com base nos conceitos primitivos já estabelecidos, podemos
enunciar proposições que podem ser divididas em duas
categorias:
Postulados ou axiomas: proposições que envolvem os
elementos primitivos e que, mesmo não permitindo uma
demonstração, são aceitos como verdadeiros.
Teoremas: proposições que podem ser demonstradas com
base em postulados anteriormente aceitos e/ou outros
teoremas já demonstrados.
POSTULADOS
POSTULADOS
POSTULADOS
CURIOSIDADE
POSIÇÕES RELATIVAS
ARTE - MATEMÁTICA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE
PONTO E RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DE
PONTO E PLANO
Dados um ponto P e um plano α, temos
duas possibilidades:
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO ESPAÇO
Na figura abaixo, estão destacados um cubo
e as retas, r, s e t, que contém algumas de
suas arestas:
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO ESPAÇO
As retas r e s não
intersectam e o plano
que passa pelos pontos
A, B, H e g contém as
duas retas.
Dizemos então, que as
retas r e s são
paralelas e coplanares.
r
s
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO ESPAÇO
Observe, agora, que as
retas s e t se
intersectam no ponto B
e o plano que passa
pelos pontos A, B, C e
D as contém.
Diremos, então, que as
retas s e t são
concorrentes e
coplanares.
t
s
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO ESPAÇO
Finalmente, vamos analisar
r e t.
Da mesma forma que as
retas r e s, elas não
possuem ponto em comum,
mas têm direções
diferentes.
Observe que não existe um
plano comum às duas.
Nesse caso, dizemos que r
e t são não-coplanares ou
reversas.
t
r
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO ESPAÇO
Podemos
organizar as posições relativas entre duas retas no seguinte quadro:
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS
RETAS NO ESPAÇO
DETERMINAÇÃO DE PLANOS
Você deve se lembrar que um postulados iniciais
afirma que três pontos distintos não-colineares
determinam um plano.
Usamos a palavra “determinar” no sentido de indicar
com precisão, ou seja, sabemos que por três pontos
não alinhados temos um único plano passando.
Com base no postulado anterior, vamos estudar
outras três formas de determinar um plano.
DETERMINAÇÃO DE PLANOS
O primeiro caso é um postulado e os outros três são teoremas.
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA
E UM PLANO
A reta r não intersecta o
plano γ.
Por isso, dizemos que a reta
r é paralela ao plano
Já a reta t tem todos os seu
pontos pertencentes ao
plano γ.
Como a reta e o plano são
conjuntos de pontos,
podemos dizer que a reta
está contida no plano
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA RETA
E UM PLANO
Observe, agora, a reta s.
A intersecção dela com
plano g é o ponto P.
Quando uma reta e um
ponto possuem apenas um
ponto em comum, dizemos
que a reta é concorrente
com o plano.
Podemos afirmar também
que a reta e o plano são
secantes
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA
RETA E UM PLANO
POSIÇÕES RELATIVAS DE UMA
RETA E UM PLANO
Se uma reta é concorrente a um plano em
um ponto P e forma um ângulo reto com
todas as retas do plano que passam por P,
dizemos que ela é perpendicular ou
ortogonal ao plano.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS
PLANOS NO ESPAÇO
Um bloco de madeira que tem
o formato de um paralelepípedo
foi cortado em duas partes
iguais, por um plano diagonal,
conforme ilustra a figura a
seguir.
O plano que passa pelos
pontos A, B, C, e D não
intersecta, por exemplo, o que
passa por E, F, G e H.
Podemos dizer, então, que os
planos são paralelos.
Observe o plano que passa
pelos pontos B, D, H e F e o
que passa pelos pontos B, C, G
e F.
A intersecção deles é a reta
que passa pelos pontos B e F.
Quando dois planos não são
paralelos, são chamados
concorrentes ou secantes e
têm em comum uma reta.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS
PLANOS NO ESPAÇO
Conceito
Dois planos são
perpendiculares se, e
somente se, um deles
contém uma reta
perpendicular ao outro.
A figura anterior ilustra dois
planos perpendiculares p e
g;
Planos perpendiculares são
concorrentes e formam um
ângulo reto.
Neste conceitos, paredes e
tetos de uma sala de aula
são representações sempre
disponíveis e ilustram a
condição de
perpendicularismo entre
planos com rápida
visualização.
PARALELISMO
Já estudamos as posições
relativas entre uma reta e um
plano e entre dois planos.
Vamos agora, analisar com
mais detalhes alguns teoremas
importantes.
É evidente que, em muitos
casos, a intuição é suficiente
para a compreensão da
proposição geométrica em
questão.
Com os conhecimentos
adquiridos até então, você está
em uma situação muito melhor
para compreender a
demonstração de uma teorema.
Se uma proposição for clara e
ficar bem entendida apenas
com a leitura e um pouco de
imaginação, excelente!
Porém, se a intuição não “der
conta do recado”, procure
acompanhar a demonstração
passo a passo, para que o
entendimento seja completo.
TEOREMA 1
Se uma reta é paralela a um plano, então ela é
paralela a uma reta desse plano.
Demonstração:
Vamos construir um plano π que contém a reta m e intersecta o
plano β segundo a reta n.
TEOREMA 1
As retas m e n estão
contidas no plano p, logo
são coplanares e não
possuem ponto em comum,
pois, por hipóteses, a reta m
é paralela ao plano b e a s
está contida no plano b.
Se m e n são coplanares e
não têm ponto em comum,
então elas são paralelas.
Note que, para demonstrar esse teorema, utilizamos o
método direto, também chamado de demonstração direta.
TEOREMA 2
Se uma reta não-contida em
um plano é paralela a uma reta
deste, então ela é paralela ao
plano.
Para demonstra o teorema,
vamos estabelecer inicialmente
as hipóteses e a tese.
Demonstração:
Se as retas r e s são
paralelas, existe um plano β
que contém r e s.
Assim, a reta s está contida
nos planos a e b.
Logo, α ∩ β = s
TEOREMA 2
• Vamos supor que a reta não é paralela ao plano α , portanto há um ponto P em comum com α (P ∈α ).
• Como P ∈ r e r ⊂ β , então P ∈ β .
• Mas se P ∈ β e P ∈α , temos que P ∈ s e, dessa forma,
P ∈ r e P ∈ s , o que é absurdo, já que, por hipótese, as
retas r e s são paralelas.
• Assim, a suposição é falsa e a reta r é paralela ao plano a.
Observe que, para
determinar o teorema,
fizemos uma suposição e,
utilizamos as hipóteses e
consequências de tal
suposição, chegamos a uma
contradição.
Esse método é conhecido
como método de
demonstração indireta,
também chamado de
demonstração por redução
ao absurdo.
CONCEITO
Uma condição necessária e suficiente para
que uma reta, não contida em um plano, seja
paralela a este é que ela seja paralela a uma
reta desse plano.
TEOREMA 3
Se um plano contém duas
retas concorrentes,
paralelas a um outro plano,
então esses planos são
paralelos.
Demonstração:
Novamente, vamos
utilizar o método de
redução do absurdo.
Suponha que exista
uma reta t de modo que
α ∩ β = t.
• Se s // β , s ⊂ α e α ∩ β = t , então s //t;
Por outro lado;
• Se r // β , r ⊂ α e α ∩ β = t, então r // t.
TEOREMA 3
De onde se conclui que as
retas r e s são paralelas à
reta t.
Tal afirmação é absurda,
pois, por hipótese, r e s são
concorrentes no ponto P e
isso contraria o Postulado
de Euclides.
Portanto, os planos a e b
não têm ponto em comum e
são paralelos.
Observe como ficaria a
figura se a suposição fosse
verdadeira:
Uma condição necessária e
suficiente para que dois
planos sejam paralelos é
que um deles contenha
duas retas concorrentes,
paralelas ao outro ao plano.
PERPENDICULARIDADE
Vamos, agora, estudar alguns teoremas
importantes sobre uma condição especial
geométrica: a perpendicularidade, que é
qualidade ou posição de perpendicular entre
retas e planos no espaço
TEOREMA 4
Se uma reta é
ortogonal a duas retas
concorrentes de um
plano, então ela é
perpendicular
(ortogonal) ao plano.
Observe, por meio das
figuras a seguir, as
possibilidades para a
situação descrita.
TEOREMA 4
Conceito:
Se uma contém uma reta
perpendicular a outro plano,
então os planos são
perpendiculares.
Uma condição
necessária e suficiente
para que uma reta
perpendicular a um
plano é que ela seja
ortogonal a duas retas
concorrentes desse
plano, no ponto de
intersecção.
TEOREMA 5
Se dois planos são perpendiculares e uma reta
contida em um deles for perpendicular à reta
intersecção dos dois planos, então essa reta é
perpendicular ao outro plano.
TEOREMA 5
Demonstração:
Como α ┴ β, então o plano a
contém uma reta t
perpendicular ao plano β.
Assim, essa reta é
perpendicular à reta s.
Por hipótese, a reta r, contida
em α, é perpendicular à reta s
e, portanto, r // t.
Mas se r // t e t ┴ β, então r ┴ β.
A demonstração feita desse
último teorema é direta ou
indireta.
A demonstração foi direta, pois
utilizamos as hipóteses numa
sequência de raciocínio que
não gerou uma contradição
(absurdo).
TEOREMA 6
Se duas retas são reversas,
existe uma única reta
perpendicular a ambas.
Novamente não vamos
demonstrar com rigor esse
teorema, pois se exigiriam
alguns procedimentos que
vão além do nosso
propósito.
Observe, com atenção, a
ilustração a seguir que
mostra duas retas reversas
e a reta perpendicular
comum.
m e n são reversas
v┴m
v┴n
Observe que m e n não
necessariamente são
ortogonais.
RESOLUÇÃO DE ATIVIDADES
P. 28 – exercício 1
P 30 – exercícios 1 e 2
P. 32 – exercícios 1 e 2
P. 35 – exercício 1
P. 37 – exercício 1