Turma:
MA 620 Geometria
Segundo Semestre de 2007
Segunda Chamada
Nome:
RA:
Questões Pontos
Q1
Q2
Q3
Q4
Q5
Total
Justifique cuidadosamente todas as suas respostas. Todos os teoremas demonstrados
no livro texto podem ser utilizados sem demonstração na solução dos problemas abaixo
desde que corretamente enunciados.
Questão 1 (1 ponto cada item)
Verdadeiro ou falso?
(a) Quatro pontos distintos não coplanares determinam três planos distintos.
(b) Duas retas distintas e ortogonais e concorrentes a uma terceira são sempre paralelas
entre si.
Solução:
(a) Verdadeiro. Dos axiomas da geometria espacial, sabemos que três pontos distintos
determinam um plano. Dados quatro pontos distintos não coplanares A, B, C e D,
podemos definir três planos distintos usando os seguintes pontos: ABC, ACD e BCD.
(b) Falso. Sejam r e s duas retas ortogonais e concorrentes. Então r e s definem um
plano α; seja t uma reta perpendicular a α e passando pelo ponto de interseção entre r
e s. Então t é ortogonal a s mas não é paralela a r.
Questão 2 (2 pontos)
Suponha que os planos α, β e γ têm exatamente um ponto em comum. Mostre que não
existe nenhuma reta simultaneamente paralela a α, β e γ.
Solução:
Seja r uma reta paralela aos planos α e β; então r também é paralela a reta s dada pela
interseção entre os planos α e β. Como s é secante a γ, então r também é secante a
γ. Portanto, não existe nenhuma reta simultaneamente paralela a planos α, β e γ cuja
interseção é exatamente um ponto.
Questão 3 (2 pontos)
Seja r uma reta secante a um plano α e P um ponto exterior à reta e ao plano. Mostre
que existe uma única reta passando por P , paralela ao plano α e concorrente à reta r.
Solução:
Seja Q o ponto de interseção entre r e α. A reta r e o ponto P definem um plano β
que é secante ao plano α, pois α e β possuem o ponto Q em comum; segue ainda que a
interseção entre α e β é uma reta q passando pelo ponto Q. No plano β existe uma única
reta s passando pelo ponto P e que é paralela a reta q; esta reta também é claramente
concorrente a reta r.
Questão 4 (1 ponto cada item)
Seja r uma reta perpendicular ao plano α. Demonstre as seguintes propriedades.
(a) Toda reta paralela à reta r também é perpendicular ao plano α.
(b) Todo plano paralelo ao plano α também é perpendicular à reta r.
Solução:
(a) Seja s uma reta paralela a reta r, e seja β o plano por elas definido. Então β e α
são secantes em uma reta t que é ortogonal a reta r. Como s é paralela a r, ela também
é ortogonal a reta t. Agora seja q uma reta contida em α que é ortogonal a t; como r é
perpendicular a α, r também é ortogonal a q. Seja q 0 a reta em α que é paralela a q e
que passa pelo ponto de interseção entre s e α. Segue que s também é ortogonal a q 0 .
Portanto s é ortogonal a duas retas distintas de α, então s é perpendicular a α.
(b) Como r é perpendicular a α, existem duas retas distintas p e q contidas em α que são
ortogonais a reta r. Agora seja β um plano paralelo a α e sejam p0 e q 0 retas paralelas
a p e q, respectivamente, contidas em β. Segue que r também é ortogonal a p0 e q 0 ,
portanto r também é perpendicular ao plano β.
Questão 5 (2 pontos)
Seja O a projeção ortogonal de um ponto P sobre um plano α. Considere uma circunferência de centro O continda no plano α. Mostre que todas as retas tangentes a esta
circunferência estão à mesma distância do ponto P .
Solução:
Lembre que a distância de um ponto a uma reta é definida como sendo a medida do
segmento de reta ortogonal a reta dada e passando pelo ponto dado.
Sejam r e s duas retas contidas em α e tangentes à circunferência centrada em O. Como
r e s são ortogonais ao raio, então ambas estão a uma distância de O igual ao raio da
circunferência. Como distância de O para P é fixa, temos que a distância de P às retas
r e s são iguais.