INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA
2ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO – PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ
Geometria Espacial: Elementos iniciais de Geometria Espacial
Introdução:
A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana)
e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre
esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos
de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos
realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas.
Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.
Planos e Retas
Um plano é um subconjunto do espaço R3 (espaço tridimensional) de tal modo que quaisquer dois
pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no
conjunto.
Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.
Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um
mesmo plano.
Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas
perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.
Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e
elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma
reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa
mesma casa.
A determinação do ângulo entre duas retas reversas pode ser feita tirando-se, por um ponto de
uma delas, uma reta paralela à outra. Se o ângulo entre as reversas for de 90º, diremos que tais
retas são ORTOGONAIS. Por exemplo, na figura abaixo, são ortogonais as retas r, que passa
pelos pontos A e B e s, que passa pelos pontos E e F.
1
Posições de pontos, retas e planos
Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta).
Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto.
Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto.
Duas retas paralelas que não se sobrepõem.
Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe.
Duas retas concorrentes.
Dois segmentos de reta concorrentes.
Posições de retas e planos
Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R3.
Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s
inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada. (figura 1).
Reta secante a um plano: Uma reta é secante a um plano no espaço R3, se ela intersecta o
plano em um único ponto. A reta secante será dita perpendicular ao plano, se toda reta desse
plano, passando por P, é perpendicular à reta. (figura 2) Podemos ainda dizer que, se uma reta r
é perpendicular a um plano, toda reta contida nesse plano será ortogonal ou perpendicular à reta
r.
(fig. 1)
(fig. 2)
Distância de um ponto a um plano
Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do
segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra
extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento. Se o ponto P estiver no
plano, a distância é nula.
Obs: A projeção ortogonal de um segmento de reta AB, sobre um plano qualquer, é um outro
segmento A’B’, formado pelas interseções das retas perpendiculares ao plano, passando por
esses pontos.
A’
B’
OBS: Se o segmento AB tem comprimento k e o ângulo que ele forma com sua projeção ortogonal
é α, podemos demonstrar que o comprimento da projeção ortogonal A’B’ será igual a
k. cosα.
α. Você consegue fazer essa demonstração?
2
Posições entre planos:
1.
2.
3.
4.
Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta.
Planos paralelos no espaço R3 são planos que não têm interseção.
Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro.
Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral,
basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos
concorrentes.
5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).
EXERCÍCIOS DE INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ESPACIAL
1. Coloque V ou F, conforme sejam verdadeiras ou falsas as afirmativas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
(o)
Por um ponto passam infinitas retas ( )
Por dois pontos distintos passa uma única reta ( )
Três pontos distintos são sempre colineares ( )
Por dois pontos distintos passa um único plano. ( )
Um plano contém infinitos pontos ( )
Pelos 4 vértices de um retângulo passa um único plano ( )
Uma reta está contida em inúmeros planos ( )
Três pontos distintos e não colineares determinam um plano. ( )
Por duas retas paralelas passa um único plano ( )
Duas retas coplanares são concorrentes. ( )
Duas retas perpendiculares são concorrentes. ( )
Se duas retas formam ângulo reto, então são perpendiculares. ( )
Duas retas ortogonais determinam um único plano. ( )
Duas retas reversas podem ser paralelas a um mesmo plano. ( )
Se dois planos são paralelos e distintos, então toda reta concorrente com um deles também será
concorrente com o outro. ( )
(p) Uma reta perpendicular a um plano, forma ângulo reto com todas as retas contidas no plano. ( )
2. Considerando o sólido ABCD, constituído por 4 faces contidas em planos distintos, classifique
as retas r e s definidas nos casos abaixo:
A
B
D
“ Um pouco mais de trabalho,
um pouco mais de audácia,
um pouco mais de persistência,
um pouco mais de entusiasmo,
um pouco mais de decisão.
É isto que eu chamo de SORTE.”
(Autor Desconhecido)
C
(a) r contém AC e s contém AD.
3
(b) r contém CD e s contém os pontos médios de AC e AD.
(c) r contém BC e s contém o ponto A e o baricentro do triângulo BCD.
3. Considerando o cubo da figura abaixo (6 faces quadradas em planos distintos), classifique em
verdadeiras ou falsas as afirmativas que se seguem:
H
G
E
F
D
C
A
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
As
As
As
As
As
retas
retas
retas
retas
retas
que
que
que
que
que
B
contêm
contêm
contêm
contêm
contêm
os
os
os
os
os
segmentos
segmentos
segmentos
segmentos
segmentos
AE e BF são reversas. ( )
EF e BC são ortogonais.( )
BG e GF são concorrentes. (
AC e EG são paralelas. ( )
BG e DE são reversas. ( )
)
4. (EsPCEx) Considere as afirmações que se seguem e assinale a única alternativa correta.
I.
Se uma reta é paralela a dois planos distintos, então esses planos são paralelos.
II. Dadas duas retas reversas, sempre existe uma terceira reta que se apoia em ambas.
III. Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então é perpendicular à interseção
desses planos.
(a)
(b)
(c)
(d)
Somente I é verdadeira
Somente II é verdadeira
II e III são verdadeiras.
I e III são verdadeiras.
5. Assinalar a única alternativa FALSA.
(a) Um plano fica determinado por duas retas paralelas distintas.
(b) Por um ponto do espaço pode-se tirar uma reta paralela a uma reta dada, e somente uma.
(c) Toda reta não situada sobre um plano e paralela a uma reta contida nesse plano é paralela ao
plano.
(d) Por um ponto fora de um plano pode-se tirar uma reta paralela a esse plano, e somente uma.
(e) Se duas retas são paralelas, todo plano que corta em um único ponto uma delas corta também
a outra.
6. (EsPECEx) Um ponto D não pertence ao plano determinado pelos pontos A, B e C. Pode-se
dizer que os pontos A, B, C e D determinam:
(a) 4 planos e 6 retas
(b) 4 planos e 4 retas
(c) 2 planos e 3 retas
(d) nenhum plano
4
7) Um ponto móvel P, com velocidade constante de 10 m / s, percorre uma trajetória retilínea
que forma um ângulo de 60º com um plano α, partindo deste plano e afastando-se do mesmo.
Calcular a distância do ponto P ao plano α, 8 segundos após a partida.
8)
A
Plano α
Plano β
B
C
Na figura acima, as arestas AB e BC, do bloco retangular, medem, respectivamente
4 cm e 4 3 cm . Calcular o menor ângulo formado pelos planos α e β , indicados.
D
9)
A
C
B
A
“casinha“ ao lado possui um telhado
simétrico com “seção frontal” constituída por
um triângulo isósceles com a base BC medindo
4m. Se a cumeeira AD está localizada a 2 m de
distância do plano horizontal que passa por B e
C (Teto), obtenha o ângulo formado pelos
planos que contêm as duas faces do telhado.
10) É verdadeira ou falsa a afirmação?: “se duas retas distintas r e s formam um ângulo
reto, então elas são perpendiculares” Justifique a sua resposta.
GABARITO
1) V V F F V V V V V F V F F V V V
2) a) Concorrentes
b) Paralelas
c) Reversas
3) a) F b) V c) V d) V e) V
4) C
5) D
6) A
7) 69,2 m
8) 30º
9) 90º
10) FALSA, pois elas poderiam ser reversas (ortogonais), caso não fossem retas
de um mesmo plano (coplanares)
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