MAP2110 - Modelagem e Matemática
13 de maio de 2010
Lista de Exercícios 2
1. Mostre que se A é uma matriz quadrada n × n e o sistema Ax = b não tem
variáveis livres, então o sistema AT y = c também não tem variáveis livres.
Demonstração.
Ax = b não tem variáveis livres ⇐⇒ A é inversível
⇐⇒ det A , 0
⇐⇒ det AT , 0
⇐⇒ AT y = c não tem variávies livres
2. Calcule os determinantes:
0 0 1 2
0 0 8 1
1 0 7 5
0 2 0 0
1 7 3 7
5 4 0 3
4
1
3
3
5
0
6
3
2
4
7
1
1
3
1
1
0
1
1
0
5
0
1
1
1
1
1
4
0
1
0
1
1
1
3
1
0
1
1
1
1
4
0
0
1
1
1
0
1
Demonstração. Vamos usar escalonamento. Para a primeira matriz, temos
5
3
2 1 0 7
0
3
4 2 0
0 2 0
0
3
4 0 1
2
4
6 0
0
1
2
4
6 = 0 0 −15 −31 −45
0 0 8
1
1
3 −17
0 −4
2
−9 2
2
2
5 0 7 −4
0 4 −35 −22 −15 −9 0 −35 −22 −21 −17
4
6 1 2
−15
−31
−45
0 −15 −31 −45
15
10
15
= 2 =
2
15
2
0
10
15
2
48 119 193 0 48 119 193 O último determinante pode ser facilmente calculado e tem valor
resultado, portanto, é 10445.
Para a segunda matriz temos:
1 1 0 0 0 1 1 1
0 1 0 3 1 1 0 1
1 0 4 1 1 1 = 0 −1
1 5 1 1 1 1 0 4
1 1 1 1 4 0 0 0
3 0 1 1 1 0 0 −3
1 1 1 0 3
0 0
0 4 4
2 1 0 −12
= 0 1 −11 −3 −4 = 1 1
4 −1 0 1 1
0 1 10 4 0 0 9
0 −14 5 = −12 −7 −3 = 525
9
0
1
10445
.
2
O
0 1 1 1 1 0 1 0 4 −1
1 −3
−14 5 −7 −3
4 −1
0
1
0
0
4
1
1
1
0
3
1
1
1
1
2
3. Mostre que tr(AB) = tr(BA).
Demonstração. Sabemos que se A e B são matrizes n × n então
n
X
(A)ik (B)k j .
(AB)i j =
k=1
Assim,
tr(AB) =
n
n X
n
X
X
(A)lk (B)kl
(AB)ll =
l=1 k=1
l=1
n X
n
X
=
(B)kl (A)lk
k=1 l=1
n
X
=
(BA)kk = tr(BA)
k=1
4. O autovalor de A é definido por λ se det(A − λI) = 0.
Seja P inversível. Prove que λ é autovalor de A se, e só se, λ é autovalor de
PAP−1 .
Demonstração. Como PP−1 = I, temos que
det(PAP−1 − λI) = det(P(AP−1 − λP−1 ))
= det(P) det((A − λI)P−1 )
= det(A − λI) det(PP−1 )
Portanto, det(A − λI) = 0 ⇐⇒ det(PAP−1 − λI) = 0.
3
5. Ache todas as matrizes 2 × 2 e 3 × 3 tais que
(a) Ak = A, para algum k ∈ N, k ≥ 2;
(b) Ak = 0, para algum k ∈ N.
Demonstração. Esperava-se que o aluno fosse capaz de perceber que as
matrizes se comportam de maneira diferente dos números (reais ou complexos).
(a) Os determinantes das matrizes reais que satisfazem Ak = A para algum
k satisfazem a equação x(xk−1 − 1) = 0 e por isso são iguais a 0, 1 ou
−1 (dependendo da paridade de k).
Analisando primeiro o caso em que o determinante é nulo, temos que
pelo menos duas linhas da matriz são proporcionais.
Se A é 2 × 2 e k = 2, denotando
"
#
a1 a2
A=
a1 b a2 b
temos as equações



a1 (a1 + a2 b − 1)






a2 (a1 + a2 b − 1)



a1 b(a1 + a2 b − 1)





a2 b(a2 b + a1 − 1)
=0
=0
=0
=0
Supondo a1 = 0 temos a2 = 1/b (descartando o caso óbvio da matriz
nula) e assim
"
#
0 a2
0 1
Se a1 , 0, a1 = 1 − ba2 e assim,
"
#
1 − ba2 a2
b − b2 a2 a2
Se o determinante for um e k = 2, só a identidade resolve, se k > 2
temos
"
#
2π
2π
− sin k−1
cos k−1
±
2π
2π
sin k−1
cos k−1
4
Se A é 3 × 3, escrevemos


a1 a2 a3 


A = a4 a5 a6 


a7 a8 a9
e obtemos as equações



a21 + a2 a3






a2 (a1 + a4 )







a3 (a1 + a4 )






a24 + a2 a3




a3 (a1 + a4 )







a3 (a1 + a4 )






a3 (a1 + a4 )






a3 (a1 + a4 )





a3 (a1 + a4 )
= a1
= a2
= a3
= a4
= a3
= a3
= a3
= a3
= a3
(b) Temos que det A = 0, por isso pelo menos duas linhas são proporcionais:
#
"
a1 a2
A=
a1 b a2 b
Assim, temos que, se a1 = 0 então ba22 = 0 o que (tirando a matriz
nula) implica que b = 0 e a2 é qualquer.
O caso em que A é 3 × 3 fica como exercício computacional.
5
6. Sabendo que 17 divide os números
mostre que o determinante
4 0
4 2
5 9
6 6
8 5
40375, 42075, 59041, 66691, 85204,
3
0
0
6
2
7
7
4
9
0
5
5
1
1
4
também é divisível por 17, sem calcular o determinante diretamente.
Demonstração. Sabemos que se A e B são matrizes quadradas de mesmas
dimensões, então det(AB) = det A det B.
Assim,

4
4

det 5

6
8
0
2
9
6
5
3
0
0
6
2
7
7
4
9
0
 
5 1
 
5 0
 
1 · 0
 
1 0
 
4 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
 104  4

103  4
 102  = 5
 101  6
 8
100
0
2
9
6
5
3
0
0
6
2
7
7
4
9
0
40375
42075
59041
66691
85204
Como a última matriz tem uma coluna com múltiplos de 17, seu determinante é múltiplo de 17. A matriz composta de zeros e potências de 10 tem
determinante igual a 1 e equivale a 4 operações elemantares.
7. Seja A uma matriz 3 × 3 cujas entradas são 0 ou 1. Qual é o maior valor
possível para det(A)?
Demonstração. Seja


a1 a2 a3 
a4 a5 a6  ,


a7 a8 a9
seu determinante é a1 a5 a9 + a2 a6 a7 + a3 a4 a8 − a1 a6 a8 − a2 a4 a9 − a3 a5 a7 .
Queremos maximizar este valor sujeito a a j ∈ {0, 1}.
Note que este determinante não pode ser 3. De fato, se os três primeiros
termos da soma acima são 1, a matriz consiste apenas de uns e portanto seu
determinante nulo.
Agora se, por exemplo, a1 = a5 = a9 = 0 então o determinante fica a2 a6 a7 +
a3 a4 a8 = 2 se cada um dos termos for 1.
6